概率论与数理统计习题集及答案可编辑修改word版.docx
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《概率论与数理统计》作业集及答案
第1章概率论的基本概念
§1.1随机试验及随机事件
1.
(1)一枚硬币连丢3次,观察正面H﹑反面T出现的情形.样本空间是:
S=;
(2)一枚硬币连丢3次,观察出现正面的次数.样本空间是:
S=;
2.
(1)丢一颗骰子.A:
出现奇数点,则A=;B:
数点大于2,则B=.
(2)一枚硬币连丢2次,A:
第一次出现正面,则A=;B:
两次出现同一面,则=;C:
至少有一次出现正面,则C=.
§1.2随机事件的运算
1.设A、B、C为三事件,用A、B、C的运算关系表示下列各事件:
(1)A、B、C都不发生表示为:
.
(2)A与B都发生,而C不发生表示为:
.(3)A与B都不发生,而C发生表示为:
.(4)A、B、C中最多二个发生表示为:
.
(5)A、B、C中至少二个发生表示为:
.(6)A、B、C中不多于一个发生表示为:
.
2.设S={x:
0≤x≤5},A={x:
1 2≤<4}: 则 (1) A⋃B=, (2) AB=,(3)AB= , (4)A⋃B=,(5)AB=。 §1.3概率的定义和性质 1.已知P(A⋃B)=0.8,P(A)=0.5,P(B)=0.6,则 (1)P(AB)=, (2)(P(AB))=,(3)P(A⋃B)=. 2.已知P(A)=0.7,P(AB)=0.3, §1.4古典概型 则P(AB)=. 1.某班有30个同学,其中8个女同学,随机地选10个,求: (1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3)至少有2个女同学的概率. 2.将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1.5条件概率与乘法公式 1.丢甲、乙两颗均匀的骰子,已知点数之和为7,则其中一颗为1的概率是。 2.已知P(A)=1/4,P(B|A)=1/3,P(A|B)=1/2, §1.6全概率公式 则P(A⋃B)=。 1.有10个签,其中2个“中”,第一人随机地抽一个签,不放回,第二人再随机地抽一个 签,说明两人抽“中‘的概率相同。 2.第一盒中有4个红球6个白球,第二盒中有5个红球5个白球,随机地取一盒,从中 随机地取一个球,求取到红球的概率。 §1.7贝叶斯公式 1.某厂产品有70%不需要调试即可出厂,另30%需经过调试,调试后有80%能出厂,求 (1) 该厂产品能出厂的概率, (2)任取一出厂产品,求未经调试的概率。 2.将两信息分别编码为A和B传递出去,接收站收到时,A被误收作B的概率为0.02,B被误收作A的概率为0.01,信息A与信息B传递的频繁程度为3: 2,若接收站收到的信息是A,问原发信息是A的概率是多少? §1.8随机事件的独立性 1.电路如图,其中A,B,C,D为开关。 设各开关闭合与否相互独立,且每一开关闭合的概率 均为p,求L与R为通路(用T表示)的概率。 3.甲,乙,丙三人向同一目标各射击一次,命中率分别为0.4,0.5和0.6,是否命中,相互独立,求下列概率: (1)恰好命中一次, (2)至少命中一次。 第1章作业答案 §1.11: (1)S={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT}; (2)S={0,1, 2,3} 2: (1)A={1, 3,5} B={3, 4,5, 6}; (2)A={正正,正反},B={正正,反反},C={正正,正反,反正}。 §1.21: (1) ABC; (2) ABC;(3) ABC;(4)A⋃B⋃C;(5) AB⋃AC⋃BC; (6) AB⋃AC⋃BC 或ABC+ABC+ABC+ABC; 2: (1)A⋃B={x: 1 (2)AB={x: 2≤x≤3};(3) AB={x: 3 (4)A⋃B={x: 0≤x≤1或2≤x≤5};(5)AB={x: 1 §1.31: (1) P(AB)=0.3, (2)P(AB)=0.2,(3) P(A⋃B) =0.7.2: P(AB))=0.4. §1.41: (1)C2C8 /C10, (2)((C10+C1C9 +C2C8)/C10,(3)1-(C10+C1C9)/C10. 82230 22822 82230 2282230 4 2: P3/43. §1.51: .2/6;2: 1/4。 §1.61: 设A表示第一人“中”,则P(A)=2/10 设B表示第二人“中”,则P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A) =2⋅1 109 +8⋅2=2 10910 两人抽“中‘的概率相同,与先后次序无关。 2: 随机地取一盒,则每一盒取到的概率都是0.5,所求概率为: p=0.5×0.4+0.5×0.5=0.45 §1.71: (1)94% (2)70/94;2: 0.993; §1.8.1: 用A,B,C,D表示开关闭合,于是T=AB∪CD, 从而,由概率的性质及A,B,C,D的相互独立性 P(T)=P(AB)+P(CD)-P(ABCD) =P(A)P(B)+P(C)P(D)–P(A)P(B)P(C)P(D) =p2+p2-p4=2p2-p4 2: (1)0.4(1-0.5)(1-0.6)+(1-0.4)0.5(1-0.6)+(1-0.4)(1-0.5)0.6=0.38; (2)1-(1-0.4)(1-0.5)(1-0.6)=0.88. 第2章随机变量及其分布 §2.1随机变量的概念,离散型随机变量 1一盒中有编号为1,2,3,4,5的五个球,从中随机地取3个,用X表示取出的3个球 中的最大号码.,试写出X的分布律. 2某射手有5发子弹,每次命中率是0.4,一次接一次地射击,直到命中为止或子弹用尽为止,用X表示射击的次数,试写出X的分布律。 §2.2 0-1分布和泊松分布 1某程控交换机在一分钟内接到用户的呼叫次数X是服从λ=4的泊松分布,求 (1)每分钟恰有1次呼叫的概率; (2)每分钟只少有1次呼叫的概率; (3)每分钟最多有1次呼叫的概率; 2设随机变量X有分布律: X23,Y~π(X),试求: p0.40.6 (1)P(X=2,Y≤2); (2)P(Y≤2);(3)已知Y≤2,求X=2的概率。 §2.3贝努里分布 1一办公室内有5台计算机,调查表明在任一时刻每台计算机被使用的概率为0.6,计算 机是否被使用相互独立,问在同一时刻 (1)恰有2台计算机被使用的概率是多少? (2)至少有3台计算机被使用的概率是多少? (3)至多有3台计算机被使用的概率是多少? (4)至少有1台计算机被使用的概率是多少? 2设每次射击命中率为0.2,问至少必须进行多少次独立射击,才能使至少击中一次的概率 不小于0.9? §2.4随机变量的分布函数 ⎧0x<-1 1设随机变量X的分布函数是: F(x)= ⎪ ⎨0.5 -1≤x<1 ⎪x≥1 (1)求P(X≤0);P(0 (2)写出X的分布律。 2设随机变量X的分布函数是: F(x)= ⎧⎪Ax ⎨1+x ⎪⎩0 x>0 x≤0 求 (1)常数A, (2)P(1 ≤2). §2.5连续型随机变量 ⎧kx 0 1 0 设连续型随机变量X的密度函数为: f(x)=⎨ ⎩其他 (1)求常数k的值; (2)求X的分布函数F(x),画出F(x)的图形, (3)用二种方法计算P(-0.5 ⎧0x<1 2设连续型随机变量x≥0的分布函数为: F(x)= ⎪ ⎨lnx 1≤x ⎪x≥e (1)求X的密度函数f(x),画出f(x)的图形, (2)并用二种方法计算P(X>0.5). §2.6均匀分布和指数分布 1设随机变量K在区间(0,5)上服从均匀分布,求方程4x2+4Kx+K+2=0 有实根的概率。 2假设打一次电话所用时间(单位: 分)X服从=0.2的指数分布,如某人正好在你前面走进电话亭,试求你等待: (1)超过10分钟的概率; (2)10分钟到20分钟的概率。 §2.7正态分布 1随机变量X~N(3,4), (1)求P(2 (2)确定c,使得P(X>c)=P(X 2某产品的质量指标X服从正态分布,μ=160,若要求P(120 §2.8随机变量函数的分布 1设随机变量X的分布律为;X 0 1 2 p 0.3 0.4 0.3 Y=2X–1,求随机变量X的分布律。 ⎧2(1-x)0 0 2设随机变量X的密度函数为: f(x)=⎨, ⎩其他 Y=X2;求随机变量Y的密度函数。 3.设随机变量X服从(0,1)上的均匀分布,Y=-2lnX ,求随机变量Y的密度函数。 第2章作业答案 §2.11: p 2: p0.40.6×0.40.6×0.6×0.40.6×0.6×0.6×0.40.6×0.6×0.6×0.6×1 §2.21: (1)P(X=1)=P(X≥1)–P(X≥2)=0.981684–0.908422=0.073262, (2)P(X≥1)=0.981684, (3)P(X≤1)=1-P(X≥2)=1–0.908422=0.091578。 2: (1)由乘法公式: P(X=2,Y≤2)=P(X=2)P(Y≤2|X=2)=0.4×(e-2+2e-2+2e-2)=2e-2 (2)由全概率公式: P(Y≤2)=P(X=2)P(Y≤2|X=2)+P(X=3)P(Y≤2|X=3) =0.4×5e-2 +0.6×17e-3=0.27067+0.25391=0.52458 2 (3)由贝叶斯公式: P(X=2|Y≤2)= P(X=2,Y≤2) =0.27067 =0.516 P(Y≤2) 0.52458 §2.31: 设X表示在同一时刻被使用的台数,则X~B(5,0.6), (1)P(X=2)= C20.620.43 (2)P(X≥3)= C30.630.42+C40.640.4+0.65 5 (3)P(X≤3)=1- C40.640.4-0.65 5 (4)P(X≥1)=1- 5 0.45 5 2: 至少必须进行11次独立射击. §2.41: (1)P(X≤0)=0.5;P (2)X的分布律为: (0 =0.5;P(X≥1)=0.5, 2: (1)A=1, (2)P(1 ⎧0 ⎨ §2.51: (1)k=2, (2)F(x)=⎪x2 1 ⎪ ⎩ 0.5 0.5 =1/6 x<0 0≤x<1; x≥1 0 0.51 (3)P(-0.5 ⎰-0.5f(x)dx=⎰-0dx+⎰0 2xdx=; 4 或=F(0,5)–F(-0.5)= 1-0=1。 44 ⎧1/x1 2: (1)f(x)=⎨ ⎩ (2)P(X 0 其他 > 2)=1-ln2 §2.61: 3/52: (1)e-2 (2)e-2-e-4 §2.8 1: Y -1 1 3 p 0.3 0.4 0.3 §2.71: (1)0.5328,0.9996,0.6977,0.5; (2)c=3,2: σ≤31.25。 2: fY ⎧1(y)=⎪ (1- y)0 ,3: ⎧⎪1 fY(y)=⎨2 e-y/2 y>0; ⎪⎩0其他 ⎪⎩0 y≤0 第3章多维随机变量 §3.1二维离散型随机变量 1.设盒子中有2个红球,2个白球,1个黑球,从中随机地取3个,用X表示取到的红球 个数,用Y表示取到的白球个数,写出(X,Y)的联合分布律及边缘分布律。 2. 设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为: 试根椐下列条件分别求a和b的值; (1)P(X =1)=0.6; (2)P(X =1|Y=2)=0.5;(3)设F(x)是Y的分布函数,F(1.5)=0.5。 §3.2二维连续型随机变量 ⎧k(x+y) 0 1.(X、Y)的联合密度函数为: f(x,y)=⎨ ⎩0其他 求 (1)常数k; (2)P(X<1/2,Y<1/2);(3)P(X+Y<1);(4)P(X<1/2)。 ⎧kxy0 2. 0 (X、Y)的联合密度函数为: f(x,y)=⎨ ⎩其他 求 (1)常数k; (2)P(X+Y<1);(3)P(X<1/2)。 §3.3边缘密度函数 1.设(X,Y)的联合密度函数如下,分别求X与Y的边缘密度函数。 f(x,y)= 1 2(1+x2)(1+y2) -∞ -∞ 2.设(X,Y)的联合密度函数如下,分别求X与Y的边缘密度函数。 ⎧e-x f(x,y)=⎨ 0 ⎩0其他 §3.4随机变量的独立性 (1) P(Y=1)=1/3; 2ab1/9 (2) P(X > 1|Y=2)=0.5;(3)已知X与Y相互独立。 2.(X,Y)的联合密度函数如下,求常数c,并讨论X与Y是否相互独立? ⎧cxy2 f(x,y)=⎨ 0 ⎩0其他 第3章作业答案 §3.21: (1)k=1; (2)P(X<1/2,Y<1/2)=1/8;(3)P(X+Y<1)=1/3;(4)P(X<1/2)=3/8。 2: (1)k=8; (2)P(X+Y<1)=1/6;(3)P(X<1/2)=1/16。 +∞12 §3.31: fX(x)=⎰-∞2(1+x2)(1+y2)dy=(1+x2) -∞ fY(y)= +∞1dx= -∞(1+x)(1+y) 2 (1+y2) -∞ ⎧xe-x 2: fX(x)=⎨ ⎩0 x>0 ; x≤0 ⎧e-y fY(y)=⎨ ⎩0 y>0 ; y≤0 §3.41: (1)a=1/6b=7/18; (2)a=4/9b=1/9;(3)a=1/3,b=2/9。 2: c=6,X与Y相互独立。 第4章随机变量的数字特征 §4.1数学期望 1.盒中有5个球,其中2个红球,随机地取3个,用X表示取到的红球的个数,则EX是: (A)1;(B)1.2;(C)1.5;(D)2. ⎧3x2 2≤x≤4 2.设X有密度函数: f(x)=⎪8 ⎪⎩0 求E(X), 其他 E(2X-1),E(1 X2 ),并求 X大于数学期望E(X)的概率。 3. 设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为: XY 012 已知E(XY)=0.65, 00.10.2a 则a和b的值是: 10.1b0.2 (A)a=0.1,b=0.3;(B)a=0.3,b=0.1;(C)a=0.2,b=0.2;(D)a=0.15,b=0.25。 4.设随机变量(X,Y)的联合密度函数如下: 求EX,EY,E(XY+1)。 f(x,y)=⎧xy 0 ⎨ ⎩ §4.2数学期望的性质 1.设X有分布律: X0123则E(X2-2X+3)是: p0.10.20.30.4 (A)1;(B)2;(C)3;(D)4. ⎧⎪5y 2.设(X,Y)有f(x,y)=⎨4 x2 ,试验证 E(XY)=E(X)E(Y),但X与Y ⎪⎩0其他 不 相互独立。 §4.3方差 1.丢一颗均匀的骰子,用X表示点数,求EX, DX. ⎧(x+1)/4 0≤x≤2 2.X有密度函数: f(x)=⎨ ⎩0 ,求D(X). 其他 §4.4常见的几种随机变量的期望与方差 1.设X ~ (2) Y~B(3, 0.6) 相互独立,则E(X-2Y), D(X-2Y)的值分别是: (A)-1.6和4.88;(B)-1和4;(C)1.6和4.88;(D)1.6和-4.88. 2.设X ~U(a, b), Y~N(4, 3) ,X与Y有相同的期望和方差,求a, b的值。 (A)0和8;(B)1和7;(C)2和6;(D)3和5. §4.6独立性与不相关性矩 1.下列结论不正确的是() (A)X与Y相互独立,则X与Y不相关; (B)X与Y相关,则X与Y不相互独立; (C)E(XY)=E(X)E(Y),则X与Y相互独立; (D)f(x,y)= fX(x)fY(y) ,则X与Y不相关; 2.若 COV(X,Y)=0,则不正确的是() (A)E(XY)=E(X)E(Y);(B)E(X+Y)=E(X)+E(Y); (C)D(XY)=D(X)D(Y);(D)D(X+Y)=D(X)+D(Y); 3.(X,Y)有联合分布律如下,试分析X与Y的相关性和独立性。 X Y -1 0 1 . -1 1/8 1/8 1/8 0 1/8 0 1/8 1 1/8 1/8 1/8 4.E(XY)=E(X)E(Y)是X与Y不相关的() (A)必要条件;(B)充分条件: (C)充要条件;(D)既不必要,也不充分。 5.E(XY)=E(X)E(Y)是X与Y相互独立的() (A)必要条件;(B)充分条件: (C)充要条件;(D)既不必要,也不充分。 6.设随机变量(X,Y)有联合密度函数如下: 试验证X与Y不相关,但不独立。 ⎧21x2y/4 f(x,y)=⎨ x2 ⎩0其他 第4章作业答案 §4.11: B;2: 3/2,2,3/4,37/64;3: D;4: 2/3,4/3,17/9; §4.21: D; §4.31: 7/2,35/12;2: 11/36; §4.41: A;2: B; §4.51: 0.2,0.355;2: -1/144,-1/11; §4.61: C;2: C;3: X与Y不相关,但X与Y不相互独立;4: C;5: A; 第5章极限定理 *§5.1大数定理 §5.2中心极限定理 1.一批元件的寿命(以小时计)服从参数为0.004的指数分布,现有元件30只,一只在用, 其余29只备用,当使用的一只损坏时,立即换上备用件,利用中心极限定理求30只元件至少能使用一年(8760小时)的近似概率。 2.某一随机试验,“成功”的概率为0.04,独立重复100次,由泊松定理和中心极限定理分别求最多“成功”6次的概率的近似值。 第5章作业答案 §5.22: 0.1788;3: 0.889,0.841; 第6章数理统计基础 §6.1数理统计
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