全国高中物理竞赛训练题及答案.docx
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全国高中物理竞赛训练题及答案
1、有一无限大的导体网络,它是由大小相同的正六边形网眼组成,如图(1.1),所有
六边形每边的电阻都为R,求结点a、b之间的电阻。
解析:
像这类求导体网络的等效电阻的题目,我们不可能由电阻的串并联关系求出等效
电阻,只能用电流的分步法,在
ab间引入一个电压Uab,在网络
d
中形成总电流I,再找出Iac,Iab与I的关系,最后由R
UI确
c
a
定Rab。
b
由网络的对称性可知,假设有电流
I从a点流入网络,必有
1I电流由a流向c,在c点又分为两支路电流,则
cb的电流为
图(1.1)
3
1I。
6
另一方面,假设有
I电流有b点流出网络,必有
1I
电流由c流向b,a和d分别有
1I
3
6
流向c。
将两种情况叠加,则有
I电流由a流入,从b流出,按电流的分步法,必有
I
I
I
Iac
6
2
3
方向经导线ac由a流向c
I
I
I
Iab
6
2
3
方向经导线cb由c流向b
所以a、b两点间的等效电阻为
Rab
Uab
IaRc
IRcbR
I
I
2、证明图(2.1)中的Y形电阻网络与图(
2.2)中的
形电阻网络的等效变化关系为:
1I1
R2
I22
R1
1I1
2
R12
I2
R3
R31
R23
I3
I3
3
3
图(2.2)
图(2.1)
R1R2
R2R3
R3R1
R1
R31R12
R12
R3
R23
R31
R12
R1R2
R2R3
R3R1
和
R2
R12R23
R23
R1
R23
R31
R12
R1R2
R2R3
R3R1
R3
R23R31
R31
R2
R23
R31
R12
解析:
所谓等效变换,就是指这两种网络联接方式之间,
仍保持电路中其余各部分的电
流和电压不变,即
Y形网络中三个端点的点位
U1,U2,U3及流过的电流
I1、I2、I3和
形网络中的三个端相同,见图(
2.1)和图(2.2).
如图(2.3),设流经电阻
R12、R23、R31的电流分别是
I12、I23、I31,对图(2.1)所
示的Y形网络有
I1R1
I2R2
U12
I3R3
I1R1
U31
I1
I2
I3
0
由此可得
I1
R3
U12
R2
U31
R2
R1R2R2R3
R1R2
R3R3R1
R3R1
对图(2.2)所示的网络有
U12
I1
I12
R12
I2
I12
R12
I23
R31
I31
U31
R23
I31
R31
I3
I1
I12
I31
图(2.3)
解得
U12
U31
I1
R12
R31
所以有
R3
U12
R2
U12
U31
R1R2R2R3R3R1
R1R2R2R3R3R1
U31
R31
R12
式中各对应项的系数相等
R1R2R2R3R3R1
R12
R3
R1R2
R2R3
R3R1
R31
R2
同理
R1R2
R2R3
R3R1
R23
R1
即证明了由Y形网络变成
形网络的等效变换关系式。
利用对应项的系数相等得出三条等式后进一步变换可证明由
形网络变成Y形网络等
效变换关系式。
利用Y—
变换,往往可以将复杂电路换成简单电路。
因此,要利用变换公
式的对称性,记住这一变换公式。
3、用均匀电阻线作成的正方形网络如图(3.1)所示,由9个相同的小正方形组成,小
正方形每边的电阻均为r8。
D
(1)在A、B两点间接入电池,其电动势E5.7V,内阻可忽略,
B
求流过电池的电流;
(2)若用导线连接
C、D两点,求通过此导线的电流(略去导线的
A
电阻)。
C
解析:
(1)等效电路逐渐变化如图(
3.2)所示,则易得
图(3.1)
RAB
40(),I
E
1(A)
7
RAB
F
D
D
8I
4
4
E
B
B
I
12
E
4
4
A
A
A
B
C
图(3.2)
(2)若用导线连线C、D两点,则
E
I
8+96
20
而I
96
I8
20
得I0.267(A)
4、电动势分别为E1和E2,内阻r1和r2的两个电池,用一个电动势为
E和内阻为r的电
池代替,分别如图(
4.1)和(4.2)所示,流过
R的电流不变,并与R无关。
问,E和r应
随E1、E2、r1、r2怎样变化,如果开始不是两个而是
n个电动势分别为
E1、E2、
、En和
内阻为r1、r2、
、rn的电池,那么E和r的公式应是怎样?
解析:
对图(4.1)所示的电路,设通过电池
E1、E2的电流强度分别为
I1、I2,则
E1
I1r1
IR
E2
I2r2
IR
I
I1I2
由以上三式解出:
E1
E2
E1IR
E2IR
r1
r2
I
r2
R
R
r1
1
r2
r1
对图(4.2)所示电路有
E1r1
E2r2
R
图(4.1)
Er
R
I
E
r
R
根据题给条件,两个
I
应该相等,化简后得
R(E1
E2)r(E1
E2)RE(11)E
r1
r2
r1
r2
r1r2
要使两个多项式完全相等,只有对应项的系数相等,这就是说
E1
E2
E(
1
1
r1
r2
r1
)
r2
r(E1E2)E
r1r2
由此得
E1
E2
r1
r2
1
1
1
E
1
,
r1
r2
1
r
r1
r2
图(4.2)
若换用n个E1、E2、、En,内阻分别为r1、r2、、rn的n个电池并联时也可用
一个电池代替,可用数学归纳法证明得
E1
E2
En
E
r1
r2
rn
1
1
1
r1
r2
rn
1
1
1
1
r
r1
r2
rn
5、实验室有一个破损的多量程磁电式直流电流计,有1mA、10mA和100mA三档。
由
一个单刀三掷开关转换,其内部电路如图(5.1)所示,电流计的表头已烧坏,无法知道其
电特性,但三个精密分流电阻完好,且测得R1=144
。
现有两个表头A和B,外形都与原表
头相同。
表头
A的满刻度电流为
0.2mA,内阻为660
;表头B的满刻度电流为
0.5mA,
内阻为120
。
试问在保留分流电阻R1、R2和R3的情况下,应该用哪个表头修复此电流计?
如何修复?
解析:
原表头的满刻度电流
Igg和内阻Rg均未知,但其间的关系必须保证图(
5.1)中
三档量程分别为1mA、10mA和100mA,利用这一条
G
R3
件可确定Ig与Rg之间的关系,两个现成的表头A和B
R1
R2
1mA
10mA
中。
凡能保证表头电流
Ig与Rg之间满足上述关系者,
100mA
便可代替原表头修复此电流计。
图(图511.1-)36
原表头对1mA档,可得下述关系式
Ig
R1
R2
R3
I
Ig
Rg
对10mA档和100mA档,可分别得出
Ig
R
R
2
3
10
Ig
Rg
R1
Ig
R2
R3
100
Ig
Rg
R1
R2
式中原表头电流
Ig的单位取为mA,内阻Rg的单位取为
。
由以上三式消去R2、R3,
利用R1=144,得出I
g
与R之间满足的关系式为
g
Ig(Rg
160)160
表头A的参数为Ig=0.2mA,Rg=660
,因
Ig(Rg
160)
0.2
(160660)
164160
故表头A不能在保持R1、R2和R3不变的条件下使用。
表头B的参数为Ig=0.5mA,Rg=120
。
虽然
Ig(Rg
160)0.5(120160)140
但若将Rg加上40
,是表头B的内阻变为Rg=Rg+40=160
,即可满足原表头的Ig与Rg
之间的关系。
因此,答案是,表头
B可用来修复次此电流计,办法是将表头
B与一个40
的电阻串联后接入原表头的位置即可。
6、如图(6.1)所示,已知表头内阻
Rg0满篇电流为Ig0
,改装后电流表的三档量程分
别为I1
n1Ig0,I2
n2Ig0
,I3
n3Ig0,求分流电阻
R1,R2,
G
R3。
R1
R2
R3
解析:
这是一道多量程电流表电阻取值规律的讨论题
根据知识概要中的分析有
I3
I2
I1
Rg0
图(6.1)
R并
n1
Rg0
对I1档有R1
R2
R3n11
(1)
对I2档有R2
R3
Rg0
R1
(2)
n2
1
对I3档有
R3
Rg0
R1
R2
(3)
n31
令
R1
R2
R3
R
,
R2
R3
R
2
,
R3
R
3
并
1
并
并
则
(1)~(3)可化为
Rg0
n1R并1
R并1
(4)
Rg0
n2R并2
R并2
(5)
Rg0
n3R并3
R并3
(6)
比较(4)~(6)可得
n1R并1
n2R并2
n3R并3
niR并i
(7)
(7)式表明:
各量程的扩程倍数(
ni
Ii
)与该量程的分流电阻之积为一常数。
Ig
所以
R并i
R并1
R并1
(8)
n1
I
1
ni
Ii
(8)式的物理意义是:
在闭路抽头式多量程电流表中,某量程是最小量程的多少倍,该
量程的分流电阻就是总分流电阻的多少分之一。
由此不难求的R1,R2,R3之值。
7、金属导体中的自由电子在外电场的作用下产生定向漂移运动。
(1)被电厂加速的电子收到的阻力与速度成正比,即fkv,从整体上看,可以认为电
子做匀速运动,是求出这个速度(设导体内场强为E)
(2)在截面积S、长L的铜线的两端加上电压,产生稳恒电流。
设每单位体积中自由电
子数位n,电子作匀速运动,受到的阻力与速度成正比,比例系数为k,试求这根铜线的电
阻。
(3)电流会产生热,这可作如下解释:
电流流动要反抗阻力,为了保持自由电子的匀速
漂移运动,需从外电场供给能量,这些能量变成了热。
设S=1.010-6m2,n=1.01029m3,
k=3.0101710gs1,问这根铜线中每秒产生多少焦耳的热量?
设电子漂移速度为
v=0.80104ms1.
解析
(1)因为电子做匀速运动所以合外力为零,即
eEKv
所以veEk
(2)根据电流的微观表达式
I
envs及
(1)中答案veEk可得
e2nSE
I
k
再考虑场强与电势差的关系
EUL,得
kL
R
e2nS
(3)整个铜线中的电子数为
nSL,每个电子克服阻力做功的功率为
fvkvvKv2,
因而每秒钟整个铜导线产生热量为
QnSLkv2
1.01029
1.0
106
1.0102
3.01017(0.80
104)2
1.92(J)
8、在FeCl3溶液中有直流电流通过时,
阴极板上铁的沉积速度为
v(沉积速度等于每秒
钟极板上沉积铁的厚度增加量)
,设阴极板面积为S,试计算该通过多大的电流(已知铁的密
度
,铁的化合价n,铁的摩尔质量
M,法拉第常数
F)。
解析:
设经过时间t后,铁的沉积厚度为L,此时析出铁的质量应为
mLS
又由法拉第电解定律知
m1(M)ItFn
所以LS1(M)It
Fn
得IFnS(L)
M
t
L
因为
t
Fn
S
所以I
D1
M
9、图(9.1)电路中,R1=R2=4000
R3=2000,
R1R2R3
D1,D2为理想二极管,电源电动势E=6V,内阻不计,当
D2
电键闭合时,电源功率为多少?
若将电源正负极对调,电
EK
源功率又为多少?
解析:
图中两二极管均为反向连接,可看作断路,这
图(9.1)
时
RR1
R2
R3104()
电源的功率为
E2
3
P
3.610(W)
R
将电源的正负极对调,两只二极管均为正向连接,可看作短路,这时R1,R2,R3三只
电阻并联,则
1111
RR1R2R3
得R1000()
2
电源的功率为PE3.6102(W)
R
10、用长为l500m的细铜线烧制成半径为r25cm的线圈,线圈以角速度
300rads绕自己的轴线(垂直于线圈平面)旋转。
一只用来测量电量的冲击电流计通
过滑动触点与线圈连接。
整个电路的总电阻为R21。
当线圈突然停止时,通过冲击电
流计的电量为q10nC。
求铜导线内载流子的荷质比。
解析这里首先应了解:
(1)线圈在作匀速转动时,线圈内无电流,只有在线圈做变速运动时,线圈内才会产生电流。
这是因为组成铜线的原子中,原子实(或离子)将与铜导线一起作变速转动,而处
于自由状态的电子总不能及时跟上一起变速转动,因此相对于原子实会有相对定向运动,产
生电流。
(2)载流铜导线可看成一条流管,因此线圈两端电势差满足关系
VEl
我们把线圈突然停止的这段时间(尽管时间很短),分成无限多段无限小的时间间隔,
则冲击电流计测量到的电量q可以写成下式
qIiti
其中
ti为第
i
段无限短时间间隔,在这段时间内,电流强度
Ii可以看成是一个常量,
即把
Ii
看成一个瞬时量,它满足
Ii
Vi
Eil
fi
l
R
R
e
R
eR
其中e和m分别为载流子的电量和质量。
用此结果代入
q表达式
q
ml
ai
ti
ml
vi
ml
(r)
ml
eR
eR
eR
r
eR
这里求和取的是绝对。
由此得载流子的荷质比
e
l
r
1.8
1011(Ckg)
m
qR
11、一只电炉,加热元件是一根镍铬电热丝,此电热丝在20℃时电阻率为
1.210
6
m,截面积
S
2
10L(升)水从20℃加
450
1(mm)。
电炉在15分钟内将
热到100℃。
已知电炉所加电压为
220V,电炉通电后温度达到450℃,加热水的效率为0.9,
电热丝在450℃时的电阻率为
450
1.6106
m,水的密度为d
1000kg/m3,水的比
热为c
4185J/kg
K,试确定:
(1)电炉电热丝的长度
(2)假定电热丝的电阻率与温度的关系是线性的,求出电阻率温度系数,并画出20℃
到450℃之间电阻率与温度的依赖关系。
(3)利用
(2)中得到的曲线,画出电炉的功率随温度变化的关系。
取下述温度:
20,100,200,300,450(℃),画出功率—温度曲线图。
解析
(1)水被加热到100
C,需吸收热量
Q
cm
cdV
(1)
其中V为被加热水的体积,
为温度升高值。
电热丝加热
t=15分钟,电力做功为
A
U2
t
(2)
R
其中
R
450
l
(3)
S
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