线性代数同济大学第四版习题答案.docx

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线性代数同济大学第四版习题答案

第四章　向量组的线性相关性

1.设v1=（1,1,0）T,v2=（0,1,1）T,v3=（3,4,0）T,求v1-v2及3v1+2v2-v3.

解v1-v2=（1,1,0）T-（0,1,1）T

=（1-0,1-1,0-1）T

=（1,0,-1）T.

3v1+2v2-v3=3（1,1,0）T+2（0,1,1）T-（3,4,0）T

=（3⨯1+2⨯0-3,3⨯1+2⨯1-4,3⨯0+2⨯1-0）T

=（0,1,2）T.

2.设3（a1-a）+2（a2+a）=5（a3+a）,求a,其中a1=（2,5,1,3）T,

a2=（10,1,5,10）T,a3=（4,1,-1,1）T.

解由3（a1-a）+2（a2+a）=5（a3+a）整理得

=（1,2,3,4）T.

3.已知向量组

A:

a1=（0,1,2,3）T,a2=（3,0,1,2）T,a3=（2,3,0,1）T;

B:

b1=（2,1,1,2）T,b2=（0,-2,1,1）T,b3=（4,4,1,3）T,

证明B组能由A组线性表示,但A组不能由B组线性表示.

证明由

知R（A）=R（A,B）=3,所以B组能由A组线性表示.

由

知R（B）=2.因为R（B）≠R（B,A）,所以A组不能由B组线性表示.

4.已知向量组

A:

a1=（0,1,1）T,a2=（1,1,0）T;

B:

b1=（-1,0,1）T,b2=（1,2,1）T,b3=（3,2,-1）T,

证明A组与B组等价.

证明由

知R（B）=R（B,A）=2.显然在A中有二阶非零子式,故R（A）≥2,又R（A）≤R（B,A）=2,所以R（A）=2,从而R（A）=R（B）=R（A,B）.因此A组与B组等价.

5.已知R（a1,a2,a3）=2,R（a2,a3,a4）=3,证明

（1）a1能由a2,a3线性表示;

（2）a4不能由a1,a2,a3线性表示.

证明

（1）由R（a2,a3,a4）=3知a2,a3,a4线性无关,故a2,a3也线性无关.又由R（a1,a2,a3）=2知a1,a2,a3线性相关,故a1能由a2,a3线性表示.

（2）假如a4能由a1,a2,a3线性表示,则因为a1能由a2,a3线性表示,故a4能由a2,a3线性表示,从而a2,a3,a4线性相关,矛盾.因此a4不能由a1,a2,a3线性表示.

6.判定下列向量组是线性相关还是线性无关:

（1）（-1,3,1）T,（2,1,0）T,（1,4,1）T;

（2）（2,3,0）T,（-1,4,0）T,（0,0,2）T.

解

（1）以所给向量为列向量的矩阵记为A.因为

所以R（A）=2小于向量的个数,从而所给向量组线性相关.

（2）以所给向量为列向量的矩阵记为B.因为

所以R（B）=3等于向量的个数,从而所给向量组线性相无关.

7.问a取什么值时下列向量组线性相关？

a1=（a,1,1）T,a2=（1,a,-1）T,a3=（1,-1,a）T.

解以所给向量为列向量的矩阵记为A.由

知,当a=-1、0、1时,R（A）<3,此时向量组线性相关.

8.设a1,a2线性无关,a1+b,a2+b线性相关,求向量b用a1,a2线性表示的表示式.

解因为a1+b,a2+b线性相关,故存在不全为零的数λ1,λ2使

λ1（a1+b）+λ2（a2+b）=0,

由此得

设

则

b=ca1-（1+c）a2,c∈R.

9.设a1,a2线性相关,b1,b2也线性相关,问a1+b1,a2+b2是否一定线性相关？

试举例说明之.

解不一定.

例如,当a1=（1,2）T,a2=（2,4）T,b1=（-1,-1）T,b2=（0,0）T时,有

a1+b1=（1,2）T+b1=（0,1）T,a2+b2=（2,4）T+（0,0）T=（2,4）T,

而a1+b1,a2+b2的对应分量不成比例,是线性无关的.

10.举例说明下列各命题是错误的:

（1）若向量组a1,a2,⋅⋅⋅,am是线性相关的,则a1可由a2,⋅⋅⋅,am线性表示.

解设a1=e1=（1,0,0,⋅⋅⋅,0）,a2=a3=⋅⋅⋅=am=0,则a1,a2,⋅⋅⋅,am线性相关,但a1不能由a2,⋅⋅⋅,am线性表示.

（2）若有不全为0的数λ1,λ2,⋅⋅⋅,λm使

λ1a1+⋅⋅⋅+λmam+λ1b1+⋅⋅⋅+λmbm=0

成立,则a1,a2,⋅⋅⋅,am线性相关,b1,b2,⋅⋅⋅,bm亦线性相关.

解有不全为零的数λ1,λ2,⋅⋅⋅,λm使

λ1a1+⋅⋅⋅+λmam+λ1b1+⋅⋅⋅+λmbm=0,

原式可化为

λ1（a1+b1）+⋅⋅⋅+λm（am+bm）=0.

取a1=e1=-b1,a2=e2=-b2,⋅⋅⋅,am=em=-bm,其中e1,e2,⋅⋅⋅,em为单位坐标向量,则上式成立,而a1,a2,⋅⋅⋅,am和b1,b2,⋅⋅⋅,bm均线性无关.

（3）若只有当λ1,λ2,⋅⋅⋅,λm全为0时,等式

λ1a1+⋅⋅⋅+λmam+λ1b1+⋅⋅⋅+λmbm=0

才能成立,则a1,a2,⋅⋅⋅,am线性无关,b1,b2,⋅⋅⋅,bm亦线性无关.

解由于只有当λ1,λ2,⋅⋅⋅,λm全为0时,等式

由λ1a1+⋅⋅⋅+λmam+λ1b1+⋅⋅⋅+λmbm=0

成立,所以只有当λ1,λ2,⋅⋅⋅,λm全为0时,等式

λ1（a1+b1）+λ2（a2+b2）+⋅⋅⋅+λm（am+bm）=0

成立.因此a1+b1,a2+b2,⋅⋅⋅,am+bm线性无关.

取a1=a2=⋅⋅⋅=am=0,取b1,⋅⋅⋅,bm为线性无关组,则它们满足以上条件,但a1,a2,⋅⋅⋅,am线性相关.

（4）若a1,a2,⋅⋅⋅,am线性相关,b1,b2,⋅⋅⋅,bm亦线性相关,则有不全为0的数,λ1,λ2,⋅⋅⋅,λm使

λ1a1+⋅⋅⋅+λmam=0,λ1b1+⋅⋅⋅+λmbm=0

同时成立.

解a1=（1,0）T,a2=（2,0）T,b1=（0,3）T,b2=（0,4）T,

λ1a1+λ2a2=0⇒λ1=-2λ2,

λ1b1+λ2b2=0⇒λ1=-（3/4）λ2,

⇒λ1=λ2=0,与题设矛盾.

11.设b1=a1+a2,b2=a2+a3,b3=a3+a4,b4=a4+a1,证明向量组b1,b2,b3,b4线性相关.

证明由已知条件得

a1=b1-a2,a2=b2-a3,a3=b3-a4,a4=b4-a1,

于是a1=b1-b2+a3

=b1-b2+b3-a4

=b1-b2+b3-b4+a1,

从而b1-b2+b3-b4=0,

这说明向量组b1,b2,b3,b4线性相关.

12.设b1=a1,b2=a1+a2,⋅⋅⋅,br=a1+a2+⋅⋅⋅+ar,且向量组a1,a2,⋅⋅⋅,ar线性无关,证明向量组b1,b2,⋅⋅⋅,br线性无关.

证明已知的r个等式可以写成

上式记为B=AK.因为|K|=1≠0,K可逆,所以R（B）=R（A）=r,从而向量组b1,b2,⋅⋅⋅,br线性无关.

13.求下列向量组的秩,并求一个最大无关组:

（1）a1=（1,2,-1,4）T,a2=（9,100,10,4）T,a3=（-2,-4,2,-8）T;

解　由

知R（a1,a2,a3）=2.因为向量a1与a2的分量不成比例,故a1,a2线性无关,所以a1,a2是一个最大无关组.

（2）a1T=（1,2,1,3）,a2T=（4,-1,-5,-6）,a3T=（1,-3,-4,-7）.

解由

知R（a1T,a2T,a3T）=R（a1,a2,a3）=2.因为向量a1T与a2T的分量不成比例,故a1T,a2T线性无关,所以a1T,a2T是一个最大无关组.

14.利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组:

（1）

;

解因为

所以第1、2、3列构成一个最大无关组.

（2）

.

解因为

所以第1、2、3列构成一个最大无关组.

15.设向量组

（a,3,1）T,（2,b,3）T,（1,2,1）T,（2,3,1）T

的秩为2,求a,b.

解设a1=（a,3,1）T,a2=（2,b,3）T,a3=（1,2,1）T,a4=（2,3,1）T.

因为

而R（a1,a2,a3,a4）=2,所以a=2,b=5.

16.设a1,a2,⋅⋅⋅,an是一组n维向量,已知n维单位坐标向量e1,e2,⋅⋅⋅,en能由它们线性表示,证明a1,a2,⋅⋅⋅,an线性无关.

证法一记A=（a1,a2,⋅⋅⋅,an）,E=（e1,e2,⋅⋅⋅,en）.由已知条件知,存在矩阵K,使

E=AK.

两边取行列式,得

|E|=|A||K|.

可见|A|≠0,所以R（A）=n,从而a1,a2,⋅⋅⋅,an线性无关.

证法二因为e1,e2,⋅⋅⋅,en能由a1,a2,⋅⋅⋅,an线性表示,所以

R（e1,e2,⋅⋅⋅,en）≤R（a1,a2,⋅⋅⋅,an）,

而R（e1,e2,⋅⋅⋅,en）=n,R（a1,a2,⋅⋅⋅,an）≤n,所以R（a1,a2,⋅⋅⋅,an）=n,从而a1,a2,⋅⋅⋅,an线性无关.

17.设a1,a2,⋅⋅⋅,an是一组n维向量,证明它们线性无关的充分必要条件是:

任一n维向量都可由它们线性表示.

证明必要性:

设a为任一n维向量.因为a1,a2,⋅⋅⋅,an线性无关,而a1,a2,⋅⋅⋅,an,a是n+1个n维向量,是线性相关的,所以a能由a1,a2,⋅⋅⋅,an线性表示,且表示式是唯一的.

充分性:

已知任一n维向量都可由a1,a2,⋅⋅⋅,an线性表示,故单位坐标向量组e1,e2,⋅⋅⋅,en能由a1,a2,⋅⋅⋅,an线性表示,于是有

n=R（e1,e2,⋅⋅⋅,en）≤R（a1,a2,⋅⋅⋅,an）≤n,

即R（a1,a2,⋅⋅⋅,an）=n,所以a1,a2,⋅⋅⋅,an线性无关.

18.设向量组a1,a2,⋅⋅⋅,am线性相关,且a1≠0,证明存在某个向量ak（2≤k≤m）,使ak能由a1,a2,⋅⋅⋅,ak-1线性表示.

证明因为a1,a2,⋅⋅⋅,am线性相关,所以存在不全为零的数λ1,λ2,⋅⋅⋅,λm,使

λ1a1+λ2a2+⋅⋅⋅+λmam=0,

而且λ2,λ3,⋅⋅⋅,λm不全为零.这是因为,如若不然,则λ1a1=0,由a1≠0知λ1=0,矛盾.因此存在k（2≤k≤m）,使

λk≠0,λk+1=λk+2=⋅⋅⋅=λm=0,

于是

λ1a1+λ2a2+⋅⋅⋅+λkak=0,

ak=-（1/λk）（λ1a1+λ2a2+⋅⋅⋅+λk-1ak-1）,

即ak能由a1,a2,⋅⋅⋅,ak-1线性表示.

19.设向量组B:

b1,⋅⋅⋅,br能由向量组A:

a1,⋅⋅⋅,as线性表示为

（b1,⋅⋅⋅,br）=（a1,⋅⋅⋅,as）K,其中K为s⨯r矩阵,且A组线性无关.证明B组线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩R（K）=r.

证明　令B=（b1,⋅⋅⋅,br）,A=（a1,⋅⋅⋅,as）,则有B=AK.

必要性:

设向量组B线性无关.

由向量组B线性无关及矩阵秩的性质,有

r=R（B）=R（AK）≤min{R（A）,R（K）}≤R（K）,

及R（K）≤min{r,s}≤r.

因此R（K）=r.

充分性:

因为R（K）=r,所以存在可逆矩阵C,使

为K的标准形.于是

（b1,⋅⋅⋅,br）C=（a1,⋅⋅⋅,as）KC=（a1,⋅⋅⋅,ar）.

因为C可逆,所以R（b1,⋅⋅⋅,br）=R（a1,⋅⋅⋅,ar）=r,从而b1,⋅⋅⋅,br线性无关.

20.设

证明向量组α1,α2,⋅⋅⋅,αn与向量组β1,β2,⋅⋅⋅,βn等价.

证明将已知关系写成

将上式记为B=AK.因为

所以K可逆,故有A=BK-1.由B=AK和A=BK-1可知向量组α1,α2,⋅⋅⋅,αn与向量组β1,β2,⋅⋅⋅,βn可相互线性表示.因此向量组α1,α2,⋅⋅⋅,αn与向量组β1,β2,⋅⋅⋅,βn等价.

21.已知3阶矩阵A与3维列向量x满足A3x=3Ax-A2x,且向量组x,Ax,A2x线性无关.

（1）记P=（x,Ax,A2x）,求3阶矩阵B,使AP=PB;

解因为

AP=A（x,Ax,A2x）

=（Ax,A2x,A3x）

=（Ax,A2x,3Ax-A2x）

所以

.

（2）求|A|.

解由A3x=3Ax-A2x,得A（3x-Ax-A2x）=0.因为x,Ax,A2x线性无关,故3x-Ax-A2x≠0,即方程Ax=0有非零解,所以R（A）<3,|A|=0.

22.求下列齐次线性方程组的基础解系:

（1）

;

解　对系数矩阵进行初等行变换,有

于是得

.

取（x3,x4）T=（4,0）T,得（x1,x2）T=（-16,3）T;

取（x3,x4）T=（0,4）T,得（x1,x2）T=（0,1）T.

因此方程组的基础解系为

ξ1=（-16,3,4,0）T,ξ2=（0,1,0,4）T.

（2）

.

解对系数矩阵进行初等行变换,有

于是得

.

取（x3,x4）T=（19,0）T,得（x1,x2）T=（-2,14）T;

取（x3,x4）T=（0,19）T,得（x1,x2）T=（1,7）T.

因此方程组的基础解系为

ξ1=（-2,14,19,0）T,ξ2=（1,7,0,19）T.

（3）nx1+（n-1）x2+⋅⋅⋅+2xn-1+xn=0.

解原方程组即为

xn=-nx1-（n-1）x2-⋅⋅⋅-2xn-1.

取x1=1,x2=x3=⋅⋅⋅=xn-1=0,得xn=-n;

取x2=1,x1=x3=x4=⋅⋅⋅=xn-1=0,得xn=-（n-1）=-n+1;

⋅⋅⋅;

取xn-1=1,x1=x2=⋅⋅⋅=xn-2=0,得xn=-2.

因此方程组的基础解系为

ξ1=（1,0,0,⋅⋅⋅,0,-n）T,

ξ2=（0,1,0,⋅⋅⋅,0,-n+1）T,

⋅⋅⋅,

ξn-1=（0,0,0,⋅⋅⋅,1,-2）T.

23.设

求一个4⨯2矩阵B,使AB=0,且

R（B）=2.

解显然B的两个列向量应是方程组AB=0的两个线性无关的解.因为

所以与方程组AB=0同解方程组为

.

取（x3,x4）T=（8,0）T,得（x1,x2）T=（1,5）T;

取（x3,x4）T=（0,8）T,得（x1,x2）T=（-1,11）T.

方程组AB=0的基础解系为

ξ1=（1,5,8,0）T,ξ2=（-1,11,0,8）T.

因此所求矩阵为

.

24.求一个齐次线性方程组,使它的基础解系为

ξ1=（0,1,2,3）T,ξ2=（3,2,1,0）T.

解显然原方程组的通解为

即

（k1,k2∈R）,

消去k1,k2得

此即所求的齐次线性方程组.

25.设四元齐次线性方程组

I:

II:

.

求:

（1）方程I与II的基础解系;

（2）I与II的公共解.

解

（1）由方程I得

.

取（x3,x4）T=（1,0）T,得（x1,x2）T=（0,0）T;

取（x3,x4）T=（0,1）T,得（x1,x2）T=（-1,1）T.

因此方程I的基础解系为

ξ1=（0,0,1,0）T,ξ2=（-1,1,0,1）T.

由方程II得

.

取（x3,x4）T=（1,0）T,得（x1,x2）T=（0,1）T;

取（x3,x4）T=（0,1）T,得（x1,x2）T=（-1,-1）T.

因此方程II的基础解系为

ξ1=（0,1,1,0）T,ξ2=（-1,-1,0,1）T.

（2）I与II的公共解就是方程

III:

的解.因为方程组III的系数矩阵

所以与方程组III同解的方程组为

.

取x4=1,得（x1,x2,x3）T=（-1,1,2）T,方程组III的基础解系为

ξ=（-1,1,2,1）T.

因此I与II的公共解为x=c（-1,1,2,1）T,c∈R.

26.设n阶矩阵A满足A2=A,E为n阶单位矩阵,证明

R（A）+R（A-E）=n.

证明因为A（A-E）=A2-A=A-A=0,所以R（A）+R（A-E）≤n.

又R（A-E）=R（E-A）,可知

R（A）+R（A-E）=R（A）+R（E-A）≥R（A+E-A）=R（E）=n,

由此R（A）+R（A-E）=n.

27.设A为n阶矩阵（n≥2）,A*为A的伴随阵,证明

.

证明当R（A）=n时,|A|≠0,故有

|AA*|=||A|E|=|A|≠0,|A*|≠0,

所以R（A*）=n.

当R（A）=n-1时,|A|=0,故有

AA*=|A|E=0,

即A*的列向量都是方程组Ax=0的解.因为R（A）=n-1,所以方程组Ax=0的基础解系中只含一个解向量,即基础解系的秩为1.因此R（A*）=1.

当R（A）≤n-2时,A中每个元素的代数余子式都为0,故A*=O,从而R（A*）=0.

28.求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系:

（1）

;

解对增广矩阵进行初等行变换,有

.

与所给方程组同解的方程为

.

当x3=0时,得所给方程组的一个解η=（-8,13,0,2）T.

与对应的齐次方程组同解的方程为

.

当x3=1时,得对应的齐次方程组的基础解系ξ=（-1,1,1,0）T.

（2）

.

解对增广矩阵进行初等行变换,有

.

与所给方程组同解的方程为

.

当x3=x4=0时,得所给方程组的一个解

η=（1,-2,0,0）T.

与对应的齐次方程组同解的方程为

.

分别取（x3,x4）T=（1,0）T,（0,1）T,得对应的齐次方程组的基础解系

ξ1=（-9,1,7,0）T.ξ2=（1,-1,0,2）T.

29.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,已知η1,η2,η3是它的三个解向量.且

η1=（2,3,4,5）T,η2+η3=（1,2,3,4）T,

求该方程组的通解.

解由于方程组中未知数的个数是4,系数矩阵的秩为3,所以对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个向量,且由于η1,η2,η3均为方程组的解,由非齐次线性方程组解的结构性质得

2η1-（η2+η3）=（η1-η2）+（η1-η3）=（3,4,5,6）T

为其基础解系向量,故此方程组的通解:

x=k（3,4,5,6）T+（2,3,4,5）T,（k∈R）.

30.设有向量组A:

a1=（α,2,10）T,a2=（-2,1,5）T,a3=（-1,1,4）T,及b=（1,β,-1）T,问α,β为何值时

（1）向量b不能由向量组A线性表示;

（2）向量b能由向量组A线性表示,且表示式唯一;

（3）向量b能由向量组A线性表示,且表示式不唯一,并求一般表示式.

解

.

（1）当α=-4,β≠0时,R（A）≠R（A,b）,此时向量b不能由向量组A线性表示.

（2）当α≠-4时,R（A）=R（A,b）=3,此时向量组a1,a2,a3线性无关,而向量组a1,a2,a3,b线性相关,故向量b能由向量组A线性表示,且表示式唯一.

（3）当α=-4,β=0时,R（A）=R（A,b）=2,此时向量b能由向量组A线性表示,且表示式不唯一.

当α=-4,β=0时,

方程组（a3,a2,a1）x=b的解为

c∈R.

因此b=（2c+1）a3+（-3c-1）a2+ca1,

即b=ca1+（-3c-1）a2+（2c+1）a3,c∈R.

31.设a=（a1,a2,a3）T,b=（b1,b2,b3）T,c=（c1,