因式分解的经典题共五套.docx

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因式分解的经典题共五套

因式分解的经典题（共五套）

第二部分：

习题大全

经典一：

一、填空题

1.把一个多项式化成几个整式的_______的形式，叫做把这个多项式分解因式。

32分解因式：

m-4m=.

223.分解因式：

x-4y=_______.

2x4x4=_________________。

4、分解因式：

5.将x-yn分解因式的结果为（x+y）（x+y）（x-y），则n的值为.n22

2222xy5,xy6xyxy2x2y6、若，则=_________，=__________。

二、选择题

7、多项式15mn5mn20mn的公因式是（）

A、5mnB、5mnC、5mnD、5mn

8、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（）***-*****3

a3a3a29a2b2ababA、B、

3m22m3mm2a4a5aa45mC、D、2

10.下列多项式能分解因式的是（）

*****（A）x-y（B）x+1（C）x+y+y（D）x-4x+4

211．把（x－y）－（y－x）分解因式为（）

A．（x－y）（x－y－1）B．（y－x）（x－y－1）

C．（y－x）（y－x－1）D．（y－x）（y－x＋1）

12．下列各个分解因式中正确的是（）

222A．10abc＋6ac＋2ac＝2ac（5b＋3c）

222B．（a－b）－（b－a）＝（a－b）（a－b＋1）

C．x（b＋c－a）－y（a－b－c）－a＋b－c＝（b＋c－a）（x＋y－1）

2D．（a－2b）（3a＋b）－5（2b－a）＝（a－2b）（11b－2a）

213.若k-12xy+9x是一个完全平方式，那么k应为（）

22A.2B.4C.2yD.4y

三、把下列各式分解因式：

2214、nxny15、4m9n

16、

18、mmnnnm17、a2abab322x2416x*****（mn）16（mn）19、；

五、解答题

20、如图，在一块边长a=6.67cm的正方形纸片中，挖去一个边长b=3.33cm

的正方形。

求纸片剩余部分的面积。

21、如图，某环保工程需要一种空心混凝土管道，它的规格是内径

d45cm，外径D75cm，长l3m。

利用分解因式计算浇制一节这样的管道需要多少立方米的混凝土？

（取3.14，结果保留2位有效数字）

22、观察下列等式的规律，并根据这种规律写出第（5）个等式。

（1）x21x1x1

（2）x41x21x1x1

（3）x81x41x21x1x1

（4）x161x81x41x21x1x1

（5）_________________________________________________

经典二：

因式分解小结

知识总结归纳

因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。

1.因式分解的对象是多项式；

2.因式分解的结果一定是整式乘积的形式；

3.分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；

4.公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；

5.结果如有相同因式，应写成幂的形式；

6.题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；

7.因式分解的一般步骤是：

（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。

即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；

（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；

下面我们一起来回顾本章所学的内容。

1.通过基本思路达到分解多项式的目的

5432例1.分解因式xxxxx1

分析：

这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把

5432xxx和xx1分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取

5432公因式后，再进一步分解；也可把x，x，x分别看成一组，1xx

此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。

5432（xxx）（xx1）解一：

原式

x3（x2x1）（x2x1）（x31）（x2x1）（x1）（x2x1）（x2x1）解二：

原式=（x5x4）（x3x2）（x1）

x4（x1）x2（x1）（x1）（x1）（x4x1）

（x1）[（x2x1）x]（x1）（xx1）（xx1）

2.通过变形达到分解的目的

32例1.分解因式x3x*****

22解一：

将3x2拆成2，则有xx

原式x32x2（x24）x2（x2）（x2）（x2）

（x2）（xx2）（x1）（x2）22

解二：

将常数4拆成，则有13

原式x31（3x23）

（x1）（xx1）（x1）（3x3）（x1）（x4x4）22

（x1）（x2）2

3.在证明题中的应用

22x4）（x10x211）00例：

求证：

多项式（的值一定是非负数

分析：

现阶段我们学习了两个非负数，它们是完全平方数、绝对值。

本题要证明这个多项式是非负数，需要变形成完全平方数。

22x4）（x10x211）00证明：

（

（x2）（x2）（x3）（x7）100

（设yx25x2）（x7）（x2）（x3）100x，则

22（x5x14）（x5x6）100

原式（y14）（y6）100y28y16（y4）2

无论y取何值都有（y4）20（x24）（x210x21）100的值一定是非负数

4.因式分解中的转化思想

333a2bc）（ab）（bc）例：

分解因式：

（

分析：

本题若直接用公式法分解，过程很复杂，观察a+b，b+c与a+2b+c

的关系，努力寻找一种代换的方法。

解：

设a+b=A，b+c=B，a+2b+c=A+B

原式（AB）3A3B3A33A2B3AB2B3A3B3

3AB3AB3AB（AB）3（ab）（bc）（a2bc）22

说明：

在分解因式时，灵活运用公式，对原式进行“代换”是很重要的。

中考点拨

例1.在中，三边a,b,c满足a216b2c26ab10bc0ABC

求证：

ac2b

222证明：

a16bc6ab10bc0

a26ab9b2c210bc25b20即（a3b）2（c5b）20

（a8bc）（a2bc）0abca8bc，即a8bc0

于是有a2bc0即ac2b

说明：

此题是代数、几何的综合题，难度不大，学生应掌握这类题不能丢分。

1132，则x3例2.已知：

x__________xx

*****（x）（x1）解：

xxxx

（x11）[（x）221]212xx

*****（x）2说明：

利用x等式化繁为易。

xx

题型展示

27x）（3x）（4x）1.若x为任意整数，求证：

（的值不大于100。

解：

（7x）（3x）（4x）1002

（x7）（x2）（x3）（x2）100（x25x14）（x25x6）100[（x25x）8（x25x）16]（x25x4）20

（7x）（3x）（4x2）100

说明：

代数证明问题在初二是较为困难的问题。

一个多项式的值不大于

100，即要求它们的差小于零，把它们的差用因式分解等方法恒等变形成完全平方是一种常用的方法。

2.a（a1）（aa）分解因式，并用分解结果计算6742

2222（a1）（aa）解：

a***-*****

a2a22a1（a2a）22（a2a）1（a2a）2

（aa1）22

*****742（3661）431849

说明：

利用因式分解简化有理数的计算。

实战模拟

1.分解因式：

5432

（1）3x10x8x3x10x822

（2）（a3a3）（a3a1）5

22（3）x2xy3y3x5y23（4）x7x6

332.已知：

x的值。

y6，xy1，求：

xy

*****.矩形的周长是28cm，两边x,y使x，求矩形的面xyxyy0

积。

4.求证：

n35n是6的倍数。

（其中n为整数）

5.已知：

a、b、c是非零实数，且

*****a2b2c21，a（）b（）c（）3，求a+b+c的值。

bccaab

*****bc和4ab6.已知：

a、b、c为三角形的三边，比较a的大小。

经典三：

因式分解练习题精选

一、填空：

（30分）

1、若x22（m3）x16是完全平方式，则m的值等于_____。

2、x2xm（xn）2则m=____n=____

3、2x3y2与12x6y的公因式是＿

4、若xmyn=（xy2）（xy2）（x2y4），则m=_______，n=_________。

5、在多项式3y25y315y5中，可以用平方差公式分解因式的

有________________________，其结果是_____________________。

6、若x22（m3）x16是完全平方式，则m=_______。

7、x2（_____）x2（x2）（x_____）

8、已知1xx2x20XX年x20XX年0,则x20XX年________.

9、若16（ab）M25是完全平方式M=________。

10、x6x__（x3），x___9（x3）*****

11、若9xky是完全平方式，则k=_______。

12、若x4x4的值为0，则3x12x5的值是________。

13、若xax15（x1）（x15）则a=_____。

2214、若xy4,xy6则xy___。

*****

15、方程x4x0，的解是________。

二、选择题：

（10分）

1、多项式a（ax）（xb）ab（ax）（bx）的公因式是（）2

A、－a、B、a（ax）（xb）C、a（ax）D、a（xa）

2、若mx2kx9（2x3）2，则m，k的值分别是（）

A、m=―2，k=6，B、m=2，k=12，C、m=―4，k=―12、Dm=4，k=12、

3、下列名式：

x2y2,x2y2,x2y2,（x）2（y）2,x4y4中能

用平方差公式分解因式的有（）

A、1个，B、2个，C、3个，D、4个

1111）

（1）

（1）

（1）的值是（）***-*****0

*****,C.,D.A、B、220XX年204、计算（1

三、分解因式：

（30分）

1、x2x35x2、3x3x

3、25（x2y）24（2yx）24、x24xy14y2

***-*****axbxbxaxbaxx6、x17、5、

428、x18x819、9x36y422

10、（x1）（x2）（x3）（x4）24

四、代数式求值（15分）

1、已知2xy

2、若x、y互为相反数，且（x2）（y1）4，求x、y的值

*****、已知ab2，求（ab）8（ab）的值***-*****，xy2，求2xyxy的值。

3

五、计算：

（15）

（1）0.753.66

32.664

20XX年1

（2）2

220XX年12（3）25685622244

六、试说明：

（8分）

1、对于任意自然数n，（n7）2（n5）2都能被动24整除。

2、两个连续奇数的积加上其中较大的数，所得的数就是夹在这两个连续奇数之间的偶数与较大奇数的积。

七、利用分解因式计算（8分）

1、一种光盘的外D=11.9厘米，内径的d=3.7厘米，求光盘的面积。

（结果保留两位有效数字）

2、正方形1的周长比正方形2的周长长96厘米，其面积相差960平方厘米求这两个正方形的边长。

八、老师给了一个多项式，甲、乙、丙、丁四个同学分别对这个多项式进行了描述：

甲：

这是一个三次四项式乙：

三次项系数为1，常数项为1。

丙：

这个多项式前三项有公因式丁：

这个多项式分解因式时要用到公式法若这四个同学描述都正确请你构造一个同时满足这个描述的多项式，并将它分解因式。

（4分）

2

经典四：

因式分解

一、选择题

1、代数式a3b2－***-*****4224ab,ab＋ab,ab－ab的公因式是（）22

A、a3b2B、a2b2C、a2b3D、a3b3

2、用提提公因式法分解因式5a（x－y）－10b（x－y），提出的公因式应当为（）

A、5a－10bB、5a＋10bC、5（x－y）D、y－x

323、把－8m＋12m＋4m分解因式，结果是（）

22A、－4m（2m－3m）B、－4m（2m＋3m－1）

22C、－4m（2m－3m－1）D、－2m（4m－6m＋2）

424、把多项式－2x－4x分解因式，其结果是（）

***-*****A、2（－x－2x）B、－2（x＋2x）C、－x（2x＋4）D、－2x（x＋2）

***-*****5、（－2）＋（－2）等于（）

*****A、－2B、2C、－2D、2

46、把16－x分解因式，其结果是（）

422A、（2－x）B、（4＋x）（4－x）

23C、（4＋x）（2＋x）（2－x）D、（2＋x）（2－x）

*****、把a－2ab＋b分解因式，结果是（）

***-*****22A、a（a－2b）＋bB、（a－b）C、（a－b）D、（a＋b）（a－b）

1分解因式，其结果是（）2

1111A、（2x－）2B、2（x－）2C、（x－）2D、（x－1）2*****、把多项式2x－2x＋2

9、若9a＋6（k－3）a＋1是完全平方式，则k的值是（）

A、±4B、±2C、3D、4或2

10、－（2x－y）（2x＋y）是下列哪个多项式分解因式的结果（）

22222222A、4x－yB、4x＋yC、－4x－yD、－4x＋y

211、多项式x＋3x－54分解因式为（）

A、（x＋6）（x－9）B、（x－6）（x＋9）

C、（x＋6）（x＋9）D、（x－6）（x－9）

二、填空题

*****221、2x－4xy－2x=_______（x－2y－1）2、4ab－10ab=2ab（________）

3、（1－a）mn＋a－1=（________）（mn－1）

224、m（m－n）－（n－m）=（__________）（__________）

222225、x－（_______）＋16y=（）6、x－（_______）=（x＋5y）（x－5y）

227、a－4（a－b）=（__________）（__________）

2

8、a（x＋y－z）＋b（x＋y－z）－c（x＋y－z）=（x＋y－z）（________）

229、16（x－y）－9（x＋y）=（_________）（___________）

310、（a＋b）－（a＋b）=（a＋b）（___________）（__________）

211、x＋3x＋2=（___________）（__________）

212、已知x＋px＋12=（x－2）（x－6），则p=_______.

三、解答题

1、把下列各式因式分解。

***-*****

（1）x－2x

（2）3y－6y＋3y（3）a（x－2a）－a（x－2a）

2222（4）（x－2）－x＋2（5）25m－10mn＋n（6）12ab（x－y）－4ab（y－x）

222（7）（x－1）（3x－2）＋（2－3x）（8）a＋5a＋6（9）x－11x＋24

*****（10）y－12y－28（11）x＋4x－5（12）y－3y－28y

2、用简便方法计算。

（1）999＋999

（2）202－54＋256×352（3）

3、已知：

x＋y=***-**********1996***-*****3,xy=1.求xy＋2xy＋xy的值。

2

四、探究创新乐园

1、若a－b=2,a－c=192,求（b－c）＋3（b－c）＋的值。

24

***-*****、求证：

11－11－11=11×109

经典五：

因式分解练习题

一、填空题：

2．（a－3）（3－2a）=_______（3－a）（3－2a）；

12．若m2－3m＋2=（m＋a）（m＋b），则a=______，b=______；

15．当m=______时，x2＋2（m－3）x＋25是完全平方式．

二、选择题：

1．下列各式的因式分解结果中，正确的是[]

A．a2b＋7ab－b＝b（a2＋7a）B．3x2y－3xy－6y=3y（x－2）（x＋1）

C．8xyz－6x2y2＝2xyz（4－3xy）D．－2a2＋4ab－6ac＝－2a（a＋2b－3c）

2．多项式m（n－2）－m2（2－n）分解因式等于[]

A．（n－2）（m＋m2）B．（n－2）（m－m2）

C．m（n－2）（m＋1）D．m（n－2）（m－1）

3．在下列等式中，属于因式分解的是[]

A．a（x－y）＋b（m＋n）＝ax＋bm－ay＋bnB．a2－2ab＋b2＋1=（a－b）2＋1

C．－4a2＋9b2＝（－2a＋3b）（2a＋3b）D．x2－7x－8=x（x－7）－8

4．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是[]

A．a2＋b2B．－a2＋b2C．－a2－b2D．－（－a2）＋b2

5．若9x2＋mxy＋16y2是一个完全平方式，那么m的值是[]

A．－12B．±24C．12D．±12

6．把多项式an+4－an+1分解得[]

A．an（a4－a）B．an-1（a3－1）

C．an+1（a－1）（a2－a＋1）D．an+1（a－1）（a2＋a＋1）

7．若a2＋a＝－1，则a4＋2a3－3a2－4a＋3的值为[]

A．8B．7C．10D．12

8．已知x2＋y2＋2x－6y＋10=0，那么x，y的值分别为[]

A．x=1，y=3B．x=1，y=－3C．x=－1，y=3D．x=1，y=－3

9．把（m2＋3m）4－8（m2＋3m）2＋16分解因式得[]

A．（m＋1）4（m＋2）2B．（m－1）2（m－2）2（m2＋3m－2）

C．（m＋4）2（m－1）2D．（m＋1）2（m＋2）2（m2＋3m－2）2

10．把x2－7x－60分解因式，得[]

A．（x－10）（x＋6）B．（x＋5）（x－12）

C．（x＋3）（x－20）D．（x－5）（x＋12）

11．把3x2－2xy－8y2分解因式，得[]

A．（3x＋4）（x－2）B．（3x－4）（x＋2）

C．（3x＋4y）（x－2y）D．（3x－4y）（x＋2y）

12．把a2＋8ab－33b2分解因式，得[]

A．（a＋11）（a－3）B．（a－11b）（a－3b）

C．（a＋11b）（a－3b）D．（a－11b）（a＋3b）

13．把x4－3x2＋2分解因式，得[]

A．（x2－2）（x2－1）B．（x2－2）（x＋1）（x－1）

C．（x2＋2）（x2＋1）D．（x2＋2）（x＋1）（x－1）

14．多项式x2－ax－bx＋ab可分解因式为[]

A．－（x＋a）（x＋b）B．（x－a）（x＋b）

C．（x－a）（x－b）D．（x＋a）（x＋b）

15．一个关于x的二次三项式，其x2项的系数是1，常数项是－12，且能分解因式，这样的二次三项式是[]

A．x2－11x－12或x2＋11x－12B．x2－x－12或x2＋x－12

C．x2－4x－12或x2＋4x－12D．以上都可以

16．下列各式x3－x2－x＋1，x2＋y－xy－x，x2－2x－y2＋1，（x2＋3x）2－（2x＋1）2中，不含有（x－1）因式的有[]

A．1个B．2个C．3个D．4个

17．把9－x2＋12xy－36y2分解因式为[]

A．（x－6y＋3）（x－6x－3）B．－（x－6y＋3）（x－6y－3）

C．－（x－6y＋3）（x＋6y－3）D．－（x－6y＋3）（x－6y＋3）

18．下列因式分解错误的是[]

A．a2－bc＋ac－ab=（a－b）（a＋c）B．ab－5a＋3b－15=（b－5）（a＋3）

C．x2＋3xy－2x－6y=（x＋3y）（x－2）

D．x2－6xy－1＋9y2=（x＋3y＋1）（x＋3y－1）

19．已知a2x2±2x＋b2是完全平方式，且a，b都不为零，则a与b的关系为[]

A．互为倒数或互为负倒数B．互为相反数

C．相等的数D．任意有理数

20．对x4＋4进行因式分解，所得的正确结论是[]

A．不能分解因式B．有因式x2＋2x＋2

C．（xy＋2）（xy－8）D．（xy－2）（xy－8）

21．把a4＋2a2b2＋b4－a2b2分解因式为[]

A．（a2＋b2＋ab）2B．（a2＋b2＋ab）（a2＋b2－ab）

C．（a2－b2＋ab）（a2－b2－ab）D．（a2＋b2－ab）2

22．－（3x－1）（x＋2y）是下列哪个多项式的分解结果[]

A．3x2＋6xy－x－2yB．3x2－6xy＋x－2y

C．x＋2y＋3x2＋6xyD．x＋2y－3x2－6xy

23．64a8－b2因式分解为[]

A．（64a4－b）（a4＋b）B．（16a2－b）（4a2＋b）

C．（8a4－b）（8a4＋b）D．（8a2－b）（8a4＋b）

24．9（x－y）2＋12（x2－y2）＋4（x＋y）2因式分解为[]

A．（5x－y）2B．（5x＋y）2C