专题05 函数与导数的综合应用冲刺高考数学二轮复习核心考点特色突破.docx
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专题05函数与导数的综合应用冲刺高考数学二轮复习核心考点特色突破
冲刺2019高考数学二轮复习核心考点特色突破
专题05函数与导数的综合运用
2019届全国高考数学复习备考建议
一、2019年全国高考数学继续坚持以习近平新时代中国特色社会主义思想为指引,坚持“一体四层四翼”的命题指导思想,注重顶层设计,明确“立德树人、服务选才、引导教学”这一高考核心功能;明确“必备知识、关键能力、学科素养、核心价值”四层考查内容以及“基础性、综合性、应用性、创新性”四个方面的考查要求,强化对空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力、应用意识和创新意识的全面考查。
二、回归教科书。
教科书是根基,在进行高考数学复习时,要回归课本,发挥课本例题或习题的作用,注重基础,抓牢基础,充分利用课本弄清问题的来龙去脉,对知识追根溯源。
三、把握复习重心,不忽略边缘线知识。
在复习过程中应在高考核心考点函数与导数、三角函数、解三角形、数列、立体几何、解析几何、概率与统计、选考内容等主干知识上花主要精力,同时,不要忽略一些边缘性的知识。
四、命题者依然坚守“重视通性通法,淡化技巧”。
因此高考数学备考不宜过难过偏,要多从归纳解题通法的角度去进行科学备考。
五、从2018年高考数学评卷情况来看,大部分考生对基础知识、基本技能掌握较好,文、理平均分分别比去年有所提高。
存在主要问题有:
数学语言的表述不严谨,使用数学理论解决实际问题的能力较薄弱。
如2018年全国卷理科20题,很多考生不能从实际问题的背景材料中提取有效的数据信息。
因此,在高考数学复习过程中要高度重视独立思考、逻辑推理、数学应用、数学阅读和表达等关键能力的培养,特别重视使用数学方法解决实际问题的能力的培养。
六、不要盲目追求题量,而应注重引导学生经历数学知识的发生过程,以及问题的发现、提出、分析和解决的全过程,充分挖掘典型问题的内在价值与迁移功能,培养学生思维的灵活性与创新性。
七、要充分利用高三的各种形式的考试和练习,优化答题策略、思考答题技巧,培养好的答题习惯和书写习惯。
【自主热身,归纳提炼】
1、函数f(x)=ax3+ax2-2ax+2a+1的图像经过四个象限的充要条件是________.
【答案】- 【解析】: 由f′(x)=ax2+ax-2a=0得x=1或x=-2,结合图像可知函数的图像经过四个象限的充要条件是或解得- 2、在平面直角坐标系xOy中,直线l与曲线y=x2(x>0)和y=x3(x>0)均相切,切点分别为A(x1,y1)和B(x2,y2),则的值为________. 3、已知点A(0,1),曲线C: y=logax恒过点B,若P是曲线C上的动点,且·的最小值为2,则实数a=________. 【答案】e 根据条件,要求·的最小值,首先要将它表示成点P(x,logax)的横坐标x的函数,然后再利用导数的方法来判断函数的单调性,由此来求出函数的最小值. 点A(0,1),B(1,0),设P(x,logax),则·=(1,-1)·(x,logax-1)=x-logax+1.依题f(x)=x-logax+1在(0,+∞)上有最小值2且f (1)=2,所以x=1是f(x)的极值点,即最小值点.f′(x)=1-=.若00,f(x)单调递增,在(0,+∞)无最小值,所以a>1.设f′(x)=0,则x=logae,当x∈(0,logae)时,f′(x)<0;当x∈(logae,+∞)时,f′(x)>0,从而当且仅当x=logae时,f(x)取最小值,所以logae=1,a=e. 本题的关键在于要能观察出f(x)=x-logax+1=2的根为1,然后利用函数的极小值点为x=1来求出a的值,因而解题过程中,不断地思考、观察很重要,平时学习中,要养成多思考、多观察的习惯. 4、已知函数f(x)=x-1-(e-1)lnx,其中e为自然对数的底,则满足f(ex)<0的x的取值范围为________. 【答案】(0,1) 注意到条件f(ex)<0,让我们想到需要研究函数f(x)的单调性,通过函数的单调性将问题进行转化化简. 【答案】: - 【思路分析】若的最小值为λ,则≥λ恒成立,结合题意必有λa-b≤0恒成立.由f(x)=(lnx+ex)-ax-b≤0恒成立,得f=-a-b≤0.猜想a>0,从而≥-. f′(x)=+(e-a)=(x>0), 当e-a≥0,即a≤e时,f(eb)=(e-a)eb>0,显然f(x)≤0不恒成立. 当e-a<0,即a>e时,当x∈时,f′(x)>0,f(x)为增函数;当x∈时,f′(x)<0,f(x)为减函数,所以f(x)max=f=-ln(a-e)-b-1. 由f(x)≤0恒成立,得f(x)max≤0,所以b≥-ln(a-e)-1,所以得≥. 设g(x)=(x>e), g′(x)==. 由于y=+ln(x-e)为增函数,且当x=2e时,g′(x)=0,所以当x∈(e,2e)时,g′(x)<0,g(x)为减函数;当x∈(2e,+∞)时,g′(x)>0,g(x)为增函数,所以g(x)min=g(2e)=-,所以≥-,当a=2e,b=-2时,取得最小值-. 解后反思在考试时,到上一步就可以结束了,胆大一点,到猜想a>0这步就可结束了.现证最小值能取到,当=-时,f=0应该是极大值,所以f′=2e-a=0,此时a=2e,b=-2,f(x)=lnx-ex+2,易证f=0也是最大值,证毕. 8、若函数f(x)=x2在区间[0,2]上单调递增,则实数a的取值范围是________. 【答案】(-∞,0]∪[3,+∞) 含绝对值的函数需要去绝对值转化为分段函数,本题已知函数在[0,2]上为增函数,则需先讨论函数在[0,+∞)上的单调性,自然地分a≤0和a>0两个情况进行讨论,得到函数在[0,+∞)上的单调性,结合函数单调性得到a≥2,从而解出a的取值范围. 先讨论函数在[0,+∞)上的单调性.当a≤0时,f(x)=x3-ax2,f′(x)=3x2-2ax≥0在[0,+∞)上恒成立,所以f(x)在[0,+∞)上单调递增,则也在[0,2]上单调递增,成立;当a>0时,f(x)=①当0≤x≤a时,f′(x)=2ax-3x2,令f′(x)=0,则x=0或x=a,则f(x)在上单调递增,在上单调递减;②当x>a时,f′(x)=3x2-2ax=x(3x-2a)>0,所以f(x)在(a,+∞)上单调递增,所以当a>0时,f(x)在上单调递增,在上单调递减,在(a,+∞)上单调递增.要使函数在区间[0,2]上单调递增,则必有a≥2,解得a≥3.综上,实数a的取值范围是(-∞,0]∪[3,+∞). 【关联1】、若函数f(x)=(a∈R)在区间[1,2]上单调递增,则实数a的取值范围是________. 【答案】: 【解析】: 【思路分析】本题所给函数含有绝对值符号,可以转化为g(x)=-的值域和单调性来研究,根据图像的对称性可得g(x)=-只有单调递增和单调递减这两种情况. 设g(x)=-,因为f(x)=|g(x)|在区间[1,2]上单调递增,所以g(x)有两种情况: ①g(x)≤0且g(x)在区间[1,2]上单调递减. 又g′(x)=,所以g′(x)=≤0在区间[1,2]上恒成立,且g (1)≤0. 所以无解. ②g(x)≥0且g(x)在区间[1,2]上单调递增,即g′(x)=≥0在区间[1,2]上恒成立,且g (1)≥0, 所以解得a∈. 综上,实数a的取值范围为. 【关联2】、若函数f(x)=(x+1)2|x-a|在区间[-1,2]上单调递增,则实数a的取值范围是________. 【答案】: (-∞,-1]∪ 由于条件中函数的解析式比较复杂,可以先通过代数变形,将其化为熟悉的形式,进而利用导数研究函数的性质及图像,再根据图像变换的知识得到函数f(x)的图像进行求解. 函数f(x)=(x+1)2|x-a|=|(x+1)2(x-a)|=|x3+(2-a)x2+(1-2a)x-a|. 令g(x)=x3+(2-a)x2+(1-2a)x-a,则 g′(x)=3x2+(4-2a)x+1-2a=(x+1)(3x+1-2a). 令g′(x)=0得x1=-1,x2=. ①当<-1,即a<-1时, 令g′(x)>0,即(x+1)(3x+1-2a)>0,解得x<或x>-1;令g′(x)<0,解得 所以g(x)的单调增区间是,(-1,+∞),单调减区间是. 又因为g(a)=g(-1)=0,所以f(x)的单调增区间是,(-1,+∞),单调减区间是(-∞,a),,满足条件,故a<-1(此种情况函数f(x)图像如图1). 图1) ②当=-1,即a=-1时,f(x)=|(x+1)3|,函数f(x)图像如图2,则f(x)的单调增区间是(-1,+∞),单调减区间是(-∞,-1),满足条件,故a=-1. 图2) ③当>-1,即a>-1时, 令g′(x)>0,即(x+1)(3x+1-2a)>0,解得x<-1或x>;令g′(x)<0,解得-1 所以g(x)的单调增区间是(-∞,-1),,单调减区间是. 又因为g(a)=g(-1)=0,所以f(x)的单调增区间是,(a,+∞),单调减区间是(-∞,-1),,要使f(x)在[-1,2]上单调递增,必须满足2≤,即a≥,又因为a>-1,故a≥(此种情况函数f(x)图像如图3). 综上,实数a的取值范围是(-∞,-1]∪. 9、已知函数f(x)=若对于∀t∈R,f(t)≤kt恒成立,则实数k的取值范围是________. 【答案】: [,1] 【思路分析】本题条件“∀t∈R,f(t)≤kt”的几何意义是: 在(-∞,+∞)上,函数y=f(t)的图像恒在直线y=kt的下方,这自然提示我们利用数形结合的方法解决本问题. 令y=x3-2x2+x,x<1,则y′=3x2-4x+1=(x-1)·(3x-1),令y′>0,即(x-1)(3x-1)>0,解得x<或x>1.又因为x<1,所以x<.令y′<0,得 10、已知a为常数,函数f(x)=的最小值为-,则a的所有值为________. 【答案】: 4, 解法1(构造三角形)f(x)==,因为f(x)为奇函数,令g(x)=(x>0),则g(x)的最大值为,由根号内的结构联想到勾股定理,从而构造△ABC满足AB=,AC=1,AD⊥BC,AD=x,则BD=,DC=,则S△ABC=BC·AD=x(+)=AB·AC·sin∠BAC≤AB·AC=,当且仅当∠BAC=时,△ABC的面积最大,且最大值为.从而g(x)==S△ABC≤,所以=,解得a=4或a=. 解法2(导数法,理科)由题意得函数f(x)为奇函数. 因为函数f(x)=,所以 f′(x)= =, a≠1. 令f′(x)=0,得x2=,则x2=. 因为函数f(x)的最小值为-,且a>0. 由-x2>0,得a-(a+1)x2>0.
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