将军饮马问题的11个模型及例题.docx
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将军饮马问题的11个模型及例题
将军饮马问题
问题概述
路径最短、线段和最小、线段差最大、周长最小等一系列最值问题
方法原理
1.两点之间,线段最短;2.三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边;
3•中垂线上的点到线段两端点的距离相等;4.垂线段最短.
基本模型
1.
已知:
如图,定点A、B分布在定直线I两侧;
解:
连接AB交直线I于点P,
2.
已知:
如图,定点A和定点B在定直线I的同侧
要求:
在直线I上找一点P,使得PA+PB直最小
(或△ABP的周长最小)
解:
作点A关于直线I的对称点A',连接A'B交I于P,
点P即为所求;
需PA'+PB值最小,从而转化为模型1.
3.
4.
已知:
如图,定点AB分布在定直线I的同侧(A、B两
点到I的距离不相等)
要求:
在直线I上找一点P,使丨PA-PB|的值最大
解:
连接BA并延长,交直线I于点P,点P即为所求;
理由:
此时|PA-PB|=AB,在I上任取异于点P的一点P',
连接AP'、BP',由三角形的三边关系知|P'A-P'B| 即|P'A-P'B|<|PA-PB| 已知: 如图,定点AB分布在定直线I的两侧(A、B两 点到I的距离不相等) 要求: 在直线I上找一点P,使|PA-PB|的值最大 解: 作点B关于直线I的对称点B',连接B'A并延长交 于点P,点P即为所求; J/I 1 理由: 根据对称的性质知1为线段BB'的中垂线,由中垂 『□—i F、i 线的性质得: PB-PB,要使|PA-PB|最大,则需 |PA-PB'|值最大,从而转化为模型3. 典型例题1-1 2 如图,直线y=§x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B,点C、D分 别为线段AB0B的中点,点P为0A上一动点,当PC+PD最小时, 点P的坐标为,此时PC+PD勺最小值为. 【分析】符合基本模型2的特征,作点D关于x轴的对称点D',连接CD'交x轴于点P,此时PC+PD直最小,由条件知CD为△BAO的中位线,0P为△CDD'的中位线,易求0P长,从而求出P点坐标;PC+PD勺最小值即CD'长,可用勾股定理(或两点之间的距离公式,实质相同)计算 【解答】连接CD作点D关于x轴的对称点D',连接CD交x轴 2 于点P,此时PC+PD直最小.令y=^x+4中x=0,则y=4, 3 22 •••点B坐标(0,4);令y=-x+4中y=0,则-x+4=0,解得: x=-6,二点A的坐标 33 为(-6,0).•••点C、D分别为线段ABOB的中点,•CDBAO的中位线, •CD//x轴,且CD=2AO=3 •••点D'和点D关于x轴对称,•O为DD的中点, D(0,-1),•0卩为厶CDD的中位线,•OP=2CD=3, •••点P的坐标为(-1,0).在Rt△CDD中, CD=..CD2DD2=,3242=5,即PC+PD勺最小值为5. 【小结】还可用中点坐标公式先后求出点C、点P坐标;若题型变 化,C、D不是AB和OB中点时,则先求直线CD的解析 式,再求其与x轴的交点P的坐标. 典型例题1-2 2- \ -1 ° L \ 3r ft |PA-PB|的最大值是 如图,在平面直角坐标系中,已知点A的坐标为(0,1),点B 的坐标为(2,-2),点P在直线y=-x上运动,当|PA-PB|最 大时点P的坐标为 【分析】符合基本模型4的特征,作A关于直线y=-x对称点C,连接BC,可得直线BC的方程;求得BC与直线y=-x的交点P的坐标;此时|PA-PB|=|PC-PB|=BC取得最大值,再用两点之间的距离公式求此最大值• 【解答】作A关于直线y=-x对称点C, 易得C的坐标为(-1,0); 连接BC,可得直线BC 的方程为y=-|x-善,与直线 y=-x联立解得交点坐标P为(4,-4);此时|PA -PB|=|PC-PB|=BC取得最大值, 最大值BC=JG1)2 (2)2=卑; 【小结】“两点一线”大多考查基本模型 2和4,需作一次对称点,连线得交点 变式训练1-1 已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示,顶点A(5,0),OB=4v5,点P是对角线OB上的一个动点,D(0,1),当CP+DP最短时,点P的坐标为() A.(0,0)B.(1,2)C.(5,5)D•(弓,7) 变式训练1-2 如图,菱形ABCD中,对角线AC和BD交于点0,AC=2 BD=2v3,E为AB的中点,P为对角线AC上一动点,贝UPE+PB勺 最小值为. 变式训练1-3 如图,已知直线y=1x+1与y轴交于点A,与x轴交于点D,抛物线y=? x2+bx+c与直线交于 A、E两点,与x轴交于B、C两点,且B点坐标为(1,0). (1)求该抛物线的解析式; 拓展模型 已知: 如图,A为锐角/MOM—定点; 要求: 在射线OM上找一点P,在射线ON上找一点Q使 AP+PQ的值最小. 解: 过点A作AQLON于点Q,AQ与0M相交于点P,此 时,AP+PQ最小; 理由: AP+P®AQ当且仅当AP、Q三点共线时, AP+PQ取得最小值AQ根据垂线段最短,当 AQLON时,AQ最小. 已知: 如图,A为锐角/MON内一定点; AP+PQ的值最小. 要求: 在射线OM上找一点P,在射线ON上找一点Q使 解: 作点A关于0M的对称点A',过点A'作AQLON 3. 于点QAQ交0M于点P,此时AP+PC最小; 理由: 由轴对称的性质知AP=AP,要使AP+PQ最小, 只需AP+PQ最小,从而转化为拓展模型1 已知: 如图,A为锐角/MON内一定点; 要求: 在射线OMk找一点P,在射线ON上找一点Q使 △APQ的周长最小 解: 分别作A点关于直线OM的对称点Ai,关于ON的对 称点A2,连接AiA2交OM于点P,交ON于点Q,点 P和点Q即为所求,此时△APQ周长最小,最小值 即为线段A1A2的长度; 理由: 由轴对称的性质知AP=AP,AQ=AQ△APQ的周 长AP+PQ+AQ=A+PQ+AQ当Ai、P、QA四点共线 时,其值最小• 要求: 在OM上找一点P,在ON上找一点Q,使四边形 APQB勺周长最小 解: 作点A关于直线OM的对称点A',作点B关于直线 ON的对称点B',连接A'B'交OM于P,交ON于Q,则点P、点Q即为所求,此时四边形APQE周长的最小值即为线段AB和A'B'的长度之和; 理由: AB长为定值,由基本模型将PA转化为PA',将 QB转化为QB,当A'、P、QB'四点共线时, PA+QQB'的值最小,即PA+PQfQB的值最小. 5.搭桥模型 已知: 如图,直线m//n,A、B分别为m上方和n下方的定 点,(直线AB不与m垂直) 要求: 在mn之间求作垂线段PQ使得AP+PQ+B最小. 分析: PQ为定值,只需AP+BQ最小,可通过平移,使 P、Q“接头”,转化为基本模型 解: 如图,将点A沿着平行于PQ的方向,向下平移至 点A',使得AA'=PQ连接AB交直线n于点 Q,过点Q作PQLn,交直线m于点P,线段PQ即 为所求,此时AP+PQ+B(最小. 理由: 易知四边形QPAA为平行四边形,则QA=PA 当B、QA'三点共线时,QA+BQ最小,即 AP+BC最小,PQ长为定值,此时AP+PQ+B最小. 6. 已知: 如图,定点AB分布于直线I两侧,长度为a (a为定值)的线段PQ在I上移动(P在Q左边)要求: 确定PQ的位置,使得AP+PQ+Q最小分析: PQ为定值,只需AP+QB勺值最小,可通过平移, 使P、Q“接头”,转化为基本模型 解: 将点A沿着平行于I的方向,向右移至A',使 AA'PQ=a,连接A'B交直线I于点Q,在I上截取 PQ=a(P在Q左边),则线段PQ即为所求,此时 AP+PQ+Q的最小值为A'B+PQ即A'B+a 理由: 易知四边形APQA为平行四边形,贝UPA=QA, 当A'、QB三点共线时,QA+QB最小,即PA+QB 最小,又PQ长为定值此时PA+PQ+Q值最小. 已知: 如图,定点A、B分布于直线I的同侧,长度a (a为定值)的线段PQ在I上移动(P在Q左边) 要求: 确定PQ的位置,使得四边形APQB周长最小分析: AB长度确定,只需AP+PQ+Q最小,通过作A点 关于I的对称点,转化为上述模型3 解: 作A点关于I的对称点A',将点A'沿着平行于I的方向,向右移至A,‘使AA=PQ=a连接AB交I于Q,在I上截取QP=a(P在Q左边),线段PQ即为所求,此时四边形APQB周长的最小值为 AB+AB+PQ即卩AB+AB+a 典型例题2-1 如图,在矩形ABCD中,AB=10,BC=5若点MN分别是线段 AB上的两个动点,则BM+M的最小值为 【分析】符合拓展模型2的特征,作点B关于AC的对称点E,再过点E作AB的垂线段,该垂线段的长即BM+MN勺最小值,借助等面积法和相似可求其长度• AC E 【解答】作点B关于AC的对称点E,再过点E作ENLAB于N,贝UBM+MN=EM+MN 其最小值即EN长;TAB=10,BC=5 二AC=AB2BC2=55, 等面积法求得AC边上的高为105=2.、5,•••BE=4、5, 5/5 易知△AB3AENB EN=8 即BM+MN勺最小值为8. 【小结】该类题的思路是通过作对称,将线段转化,再根据定理、公理连线或作垂线;可作 定点或动点关于定直线的对称点,有些题作定点的对称点易解,有些题则作动点的 对称点易解. 典型例题2-2 如图,/AOB=60,点P是/AOB内的定点且0P*5,点MN分别 是射线OAOB上异于点O的动点,则厶PMN周长的最小值是() A.B.C.6D.3 8 3的特征;作P点分别关于OAOB的对称点CD,连接CD分别交 H f fi Sf C 廿 OCOD 则MP=MCNP=NDOP=OD=OC=,/BOP=zBOD/AOP=AOC : .PN+PM+MN=ND+MN+NC=DGCOD2BOP丄BOD+ZAOP+ZAOC=ZAOB=120, (2)当BP+PM+ME的长度最小时,请求出点P的坐标. (2)符合“搭桥模型”的特征;首先证明四边形OPME是平行四边形,可得OP=EM PM是定值,PB+ME=OP+PB的值最小时,BP+PM+ME的长度最小,此时P点为 •••四边形OPME是平行四边形 【分析】符合拓展模型 OAOB于MN,此时△PMN周长最小,其值为CD长;根据对称性连接 CD. 【解答】作P点分别关于OAOB的对称点 CD,连接CD分别交OAOB于MN,如图, 【小结】根据对称的性质,发现△OCD是顶角为120°的 等腰三角形,是解题的关键,也是难点 为x轴,建立直角坐标系,AB交y轴于点D,AD=2OC=6 ZA=60°,线段EF所在的直线为 OD的垂直平分线,点P为 (1)请直接写出点A坐标为 ,点B坐标为 【分析】 (1)解直角三角形求出ODBD的长即可解决; 直线OB与EF的交点,结合OB的解析式可得 P点坐标; (2)如图,连接OP•/EF垂直平分线段ODPMLOC •ZPEO=ZEOMZPMO=90,•四边形OMPE是矩形, •PM=OE=「;,•••OE=OE,•PM=OE,PM//OE, 分析条件知△ OCE是顶角为120°的等腰三角形,作底边上高,易求底边 •此时△PMN周长最小,作OHLCD于H, 即厶PMN周长的最小值是3; 故选: D. 典型例题2-3 如图,已知平行四边形ABCO以点O为原点,OC所在的直线 M点,点E与E'关于x轴 线段EF上的动点,PMLx轴于点 对称,连接BPE'M 【解答】 (1)在Rt△ADO中,vZA=60°,AD=2, •OD=2^tan60°=2: : •A(-2,2、;), •••四边形ABCO是平行四边形,•AB=OC=6 •DB=6-2=4,「.B(4,2「;) 贝UCH=DHv ZOCH=30,^畤畤, •CD=2CH=3 chV^oh三 •••OP=EM: PM是定值,•••PB+ME=OP+PB勺值最小时,BP+PM+ME的长度最小, •••当OP、B共线时,BP+PM+ME的长度最小,•••直线OB的解析式为yMI_x, 2 •P(2,好. 【小结】求没有公共端点的两条线段之和的最小值,一般通过作对称和平移(构造平行四边 形)的方法,转化为基本模型 【分析】符合拓展模型7的特征,通过作对称、平移、连线,可找出E、F点,结合直线的 解析式和抛物线的对称轴可解出E、F坐标. 1 (3)只需AF+CE最短,抛物线y=-^x2+x+4的对称轴为x=1, 将点A向上平移至A(-2,1),则AF=AE,作A关于对称轴x=1的对称点 A(4,1),连接AC,A2C与对称轴交于点E,E为所求,可求得A2C的解析式 1773 为y=-[X+2,当x=1时,y=4,•点E的坐标为(1,-),点F的坐标为(1,-)• 变式训练2-1 几何模型: 条件: 如图1,A,B是直线I同旁的两个定点. 问题: 在直线I上确定一点P,使PA+PB的值最小. 方法: 作点A关于直线I的对称点A'连接AB交I于点P,即为所求•(不必证明)模型应用: (1)如图2,已知平面直角坐标系中两定点A(0,-1)和B(2,-1),P为x轴上一动 点,则当PA+PB的值最小是点P的横坐标是,此时PA+PB. (2)如图3,正方形ABCD的边长为4,E为AB的中点,P是AC上一动点,连接BD,由 正方形对称性可知,B与D关于直线AC对称•连接ED交AC于P,贝UPB+PE的最小 值是. (3)如图4,在菱形ABCD中,AB=10,ZDAB=60,P是对角线AC上一动点,E,F分别是线段AB和BC上的动点,贝UPE+PF的最小值是. (4)如图5,在菱形ABCD中,AB=6,ZB=60°,点G是边CD边的中点,点E.F分别是 变式训练2-2 如图,矩形ABCD中,AD=15AB=10,E为AB边上一点,且 DE=2AE连接CE与对角线BD交于F;若P、Q分别为AB边 和BC边上的动点,连接EPPQ和QF则四边形EPQF周长 的最小值是. 变式训练2-3 如图,已知直线l1IIl2,|1、l2之间的距离为8,点P到直线l1的 离为6,点Q到直线丨2的距离为4,PQ=4-「I,在直线li上有一动点A,直线I2上有一动点B,满足AB丄12,且PA+AB+BQt小,此时 PA+BQ= 变式训练2-4 如图,已知在平面直角坐标系xOy中,直角梯形OABC勺边0A在y轴的正半轴上,0C在x轴的正半轴上,OA=AB=20C=3过点B作BD丄BC,交0A于点D.将/DBC绕点B按顺时针方向旋转,角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于点E和F. (1)求经过AB、C三点的抛物线的解析式; (2)当BE经过 (1)中抛物线的顶点时,求CF的长; (3)在抛物线的对称轴上取两点P、Q(点Q在点P的上方),且PQ=1要使四边形BCPQ的周长最小,求出P、Q两点的坐标. 中考真题 2.如图,矩形ABOC的顶点A的坐标为(-4,5),D是OB的中点,E是OC上的一点,当△ADE的周长最小时,点E的坐标是() A(呻B(0寺C(0,2) 9.如图,菱形ABCD的边长为6,/ABC=120,M是BC边的一个三等分点,P是对角线AC 上的动点,当PB+PM勺值最小时,PM的长是() A 1B 3 C. Vs 10.如图,在 Rt△ABC中,/ ACB=90, AC=6,BC=8AD平分/ CAB交BC于D点,E,F分 别是AD AC上的动点,则 CE+EF的最小值为( ) A. 40 T B. 15 C. 24 D.6 (x>0)的图象与边长是6的正方形OABC 11.如图,在平面直角坐标系中,反比例函数y X 的两边AB,BC分别相交于M,N两点.△OMN勺面积为10.若动点P在x轴上,则PM+PN的最小值是() 明理由. 14.如图,在四边形ABCD中,/B=ZC=90°,AB>CD,AD=AB+CD (1)用尺规作/ADO的平分线DE交BC于点E,连接AE(保留作图痕迹,不写作法) (2)在 (1)的条件下, 1证明: AE±DE 2若CD=2AB=4,点MN分别是AEAB上的动点,求BM+M的最小值. 2 15.如图,抛物线y=ax+bx+c(0)经过点A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点. (1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标; (2)连接ACBC,N为抛物线上的点且在第四象限,当&nb=S^abc时,求N点的坐标; (3)在 (2)问的条件下,过点C作直线l//x轴,动点P(m3)在直线l上,动点Q(m, 0)在x轴上,连接PMPQNQ当m为何值时,PM+PQ+Q的和最小,并求出PM+PQ+QN和的最小值. .2 16.如图,直线y=5x+5交x轴于点A,交y轴于点C,过A,C两点的二次函数y=ax+4x+c的图象交x轴于另一点B. (1)求二次函数的表达式; (2)连接BC,点N是线段BC上的动点,作ND! x轴交二次函数的图象于点D,求线段ND长度的最大值; (3)若点H为二次函数y=ax2+4x+c图象的顶点,点M(4,m)是该二次函数图象上一点,在x轴、y轴上分别找点F,E,使四边形HEFM的周长最小,求出点F,E的坐标. 17.如图1,已知抛物线y=—(x-2)(x+a)(a>0)与x轴从左至右交于A,B两点,与y a 轴交于点C. (1)若抛物线过点T(1,-¥),求抛物线的解析式; 4 (2)在第二象限内的抛物线上是否存在点D,使得以A、BD三点为顶点的三角形与△ ABC相似? 若存在,求a的值;若不存在,请说明理由. (3)如图2,在 (1)的条件下,点P的坐标为(-1,1),点Q(6,t)是抛物线上的点, 在x轴上,从左至右有MN两点,且MN=2问MN在x轴上移动到何处时,四边形PQNM的周长最小? 请直接写出符合条件的点M的坐标. IH11*12笛川厲 18.如图,对称轴为直线x=2的抛物线经过A(-1,0),C(0,5)两点,与x轴另一交点为B.已知M(0,1),E(a,0),F(a+1,0),P是第一象限内抛物线上的动点. (1)求此抛物线的解析式; (2)当a=1时,求四边形MEFP勺面积的最大值,并求此时点P的坐标; (3)若厶PCM是以点P为顶点的等腰三角形,求a为何值时,四边形PMEF周长最小? 请说明理由. 19. 探究: 小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现,对于平面直角坐标系内任意两点Pi (X1,y1),P2(X2,y),可通过构造直角三角形利用图1得到结论: Pa=fy厂巧)2他还利用图2证明了线段P1P2的中点(x,y)P的坐标公式: (1)请你帮小明写出中点坐标公式的证明过程; 运用: (2[①已知点M(2,-1),N(-3,5),则线段MN长度为, ②直接写出以点A(2,2),B(-2,0),C(3,-1),D为顶点的平行四边形顶点 D的坐标: 4 拓展: (3)如图3,点P(2,n)在函数y=x(x>0)的图象0L与x轴正半轴夹角的平 分线上,请在OL、x轴上分别找出点E、F,使厶PEF的周长最小,简要叙述作图方法,并求出周长的最小值. 20.如图,直线y=kx+b(k、b为常数)分别与x轴、y轴交于点A(-4,0)、B(0,3),抛物线y=-x+2x+1与y轴交于点C. (1)求直线y=kx+b的函数解析式; (2)若点P(x,y)是抛物线y=-x2+2x+1上的任意一点,设点P到直线AB的距离为d,求d关于x的函数解析式,并求d取最小值时点P的坐标; (3)若点E在抛物线y=-x2+2x+1的对称轴上移动,点F在直线AB上移动,求CE+EF勺最 21.如图①,在平面直角坐标系中,OA=6以OA为边长作等边三角形ABC使得BC//OA且 点B、C落在过原点且开口向下的抛物线上. (1)求这条抛物线的解析式; (2)在图①中,假设一动点P从点B出发,沿折线BAC的方向以每秒2个单位的速度运动,同时另一动点Q从O点出发,沿x轴的负半轴方向以每秒1个单位的速度运动,当点P运动到A点时,P、Q都同时停止运动,在P、Q的运动过程中,是否存在时间t,使得PQLAB,若存在,求出t的值,若不存在,请说明理由; (3) 在BC边上取两点E、F,使BE=EF=1个单位,试在AB边上找一点G,在抛物线的对称轴上找一点H,使得四边形EGHF勺周长最小,并求出周长的最小值. 本人所著《初中几何模型与解题通法》已发行,可在当当、淘宝和京东搜索购买特色: 1•由一线名师编写,更专业权威,各地历年中考压轴题几乎都能在书中找到对应的模型和方法,甚至出现大量高度类似题。 2.包含79个中考热门模型,约500道优质中考原题; 3.包含18个中考热门专题,每个专题包括模型介绍、方法原理、例题精讲、变式训练和中考真题,做到理论联系实际,讲练结合。 4.例题精讲具有启发性,包括解题思路的分析,解答过程,易错点和技
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