行列式解法技巧论文完整版.docx

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行列式解法技巧论文完整版

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1行列式的基本理论

1.1行列式定义

定义行列式与矩阵不同，行列式是一个值，它是所有不同行不同列的数的积的和，那些数的乘积符号由他们的逆序数之和有关，逆序数之和为偶数符号为正，逆序数之和为奇数符号为负。

这一定义可以写成

a11a21an1

j1j2jn

a12a22an2

a1n=

j1j2jn

a2nann

∑

（-1）

τ（j1j2jn）

a1j1a2j2anjn

这里

∑

表示对所有n级排列求和.

1.2行列式的性质

1、行列式的行列互换，行列式不变；

a11a21an1

a12

a1n

=a11a12a1n

a21an1a22an2

a2nann

a22a2nan2ann

2、互换行列式中的两行或者两列，行列式反号；

a11ai1ak1an1

a12ai2

a1n

ain

a11ak1ai1an1

a12ai2

a1n

ain

ak2akn

=-

ak2aknan2ann

an2ann

3、行列式中某行乘以一个数等于行列式乘以这个数；

a11kai1an1

a12an2

a1nann

a11an1

a12ai2

a1n

ain

kai2kain=kai1

an2ann

4、行列式的某两行或者某两列成比例，行列式为零；

a11ai1kai1an1

a12ai2

a1n

a11ai1

a12ai2ai2

a1n

ain

=0ain

ain

=k

kai2kain

ai1

an2

ann

an1

an2ann

5、行列式的某一列或者某一行可以看成两列或两行的和

时，行列式可拆另两个行列式的和。

a11b1+c1

an1

a12b2+c2

an2

a1nann

an

a12

b2

a1n

a11

a12c2

a1n

cn

bn+cn=b1

an1

bn+c1

an1

an2annan2ann

6、把一行的倍数加到另一行，行列式不变。

7、行列式有两行（列）相同，则行列式为零。

1.3基本理论

1．ai1Aj1+ai2Aj2++ainAjn=⎨2．降阶定理3．

A

B

AC

BD

⎧D,i≠j

其中Aij为元素aij代数余子式。

⎩0,i=j

=AD-CA-1B

OC

=AC

4．AB=AB

5．非零矩阵k左乘行列式的某一行加到另一行上，则新的分块行列式与原来相等。

1.4几种特殊行列式的结果

1．三角行列式

a1100a11

a12a1na22a2n00

ann

00

=a11a22ann（下三角行列式）=a11a22ann（上三角行列式）

a21a22

an1an2ann

2．对角行列式

a1100

00

00ann

=a11a22ann

a22

3．对称与反对称行列式

a11

D=

a21an1

a12

a1n

a22a2nan2ann

满足aij=aji（i=1,2n,j=1,2n），D称为对

称行列式

0a21

D=a31

an1

a120a32an2

a13a1na23a2n0an3

a3n满足aij=-aji（i,j=1,2n），D称为反

对称行列式。

若阶数n为奇数时，则D=0

1a1

1a2

2a2

1a3

2a3

1an

2

=an

4．Dn=a12

a1n-1

n-1

a2

1≤j≤i≤n

∏（a

i

-aj）

n-1n-1a3an

2行列式的计算技巧

2.1定义法

a21

例1：

计算行列式D=a31

00

a12a22a32a42a52

a13a23a33a43a53

0a24a3400

0a25a3500

解：

由行列式定义知D=

j1jn

∑（-1）τ

（j1,j2,,jn）

且a11a14a15=0，所a1j1a2j2anjn，

以D的非零项j，只能取2或3，同理由a41=a44=a45=a14=a55=0，因而j4j5只能取2或3，又因j1j5要求各不相同，故aj1aj2aj5项中至少有一个必须取零，所以D=0。

2.2化成三角形行列式法

将行列式化为上三角形行列式计算步骤，如果第一行第一个元素为零，首先将第一行（或第一列）与其它任一行（或列）交换，使第一行第一个元素不为零，然后把第一行分别乘以适当数加到其它各行，使第一列除第一个元素外其余元素全为零，再用同样的方法处理除去第

一行加第一列余下的低阶行列式依次做下去，直至是它成为上三角形行列式，这时主对角线上元素的乘积就是行列式的值。

abbbbabb

例2计算行列式Dn=bbab

bbba

解：

各行加到第一行中去

a+（n-1）ba+（n-1）ba+（n-1）bDn=

bb

1

000ab

000

ba000a-b

=[a+（n-1）b]（a-b）n-1

1111babb

=[a+（n-1）bbbab

bbba

ba-b

=[a+（n-1）b]b

b

a-b

例3计算行列式

123n-1234D=345

n1

n12

n12n-2n-解：

从倒数第二行（-1）倍加到第n行

211

3n-11

11

11-n

n1-n

11

n（n+1）

2000

211

3n-111

111

n1-n11

1-n1

1-n1

1

n（n+1）1=

2

-n

1

=n（n+1）2

-n

11-n1111

-n

1-00

n-1

1

第一行的（-1）倍加各行上

11-nnn

n（n+1）0-n

2

-n0

=

n（n+1）

（-1）n-1

2

nn

=（-1）

n（n-1）2

（1+n）n2

2.3两条线型行列式的计算

除了较简单的行列式（如上、下三角行列式等）可以用定义直接计算，少数几类行列式可利用行列式性质直接计算外，一般行列式计算的主要方法是利用行列式的性质做恒等变形化简，使行列式中出现较多的零元素，然后直接用特殊的行列式的值来计算（如上（下）三角行列式等）或利用按行（列）展开定理降低行列式的阶数。

a10

b100

00an-1

00.bn-1an

a2

例4计算n阶行列式　D=

0bn

解：

按第1列展开得

a20D=a1

00

b2a300

000

00

b1a20

0b2a30

000

000

+bn（-1）n+10an

b3

an-1bn-1

bn-1

　=　a1a2an+（-1）b1b2bn.

n+1

2.4箭型行列式的计算

对于形如

的所谓箭型（或爪形）行列式，可以直接利用行列式性质化为三角或次三角形行列式来计算，即利用对角元素或次对角元素将一条边消为零。

10

100

1121

.

例5计算行列式Dn=

n

0n-101

01

解

1

cn-cn-1

2=Dn

1cn-c1

n

10n

100

11

11--

2n

20

00

：

　=（-1）

n（n-1）

2

n!

（1-

11--）2n

0n-10

2.5三对角行列式的计算

对于形如

的所谓三对角行列式，可直接展开得到两

项递推关系Dn=αDn-1+βDn-2，然后采用如下的一些方法求解。

方法1如果n比较小，则直接递推计算

方法2用第二数学归纳法证明：

即验证n=1时结论成立，设n≤k时结论也成立，若证明n=k+1时结论也成立，则对任意自然数相应的结论成立

方法3将Dn=αDn-1+βDn-2变形为Dn-pDn-1=q（Dn-1-pDn-2），其中p+q=α,-pq=β由韦达定理知p和q是一元二次方程

x2-αx-β=0的两个根。

确定p和q后，令f（x）=Dn-pDn-1，则利用

f（n）=qf（n-1）递推求出f（n），再由Dn=pDn-1+f（n）递推求出Dn。

方法4设Dn=xn，代入Dn-αDn-1-βDn-2=0得xn-αx-β=0（称

n

之为特征方程），求出其根x1和x2（假设x1≠x2），则Dn=k1x1n+k2x2，

这里k1，k2可通过n=1和n=2来确定。

+β

1

αβ

α+β

100

0000

000

例6计算行列式Dn=

000

αβα+β

00

.

α+β

1αβα+β

解：

将行列式按第n展开，有

Dn=（α+β）Dn-1-αβDn-2,Dn-αDn-1=β（Dn-1-αDn-2）,Dn-βDn-1=α（Dn-1-βDn-2）,

得Dn-αDn-1=β2（Dn-2-αDn-3）==βn-2（D2-αD1）=βn同理，得Dn-βDn-1=αn,

⎧（n+1）αn,α=β;⎪n+1

D=所以n⎨α-βn+1

α≠β.⎪α-β

⎩

2.6利用范德蒙行列式

范德蒙行列式具有逐行元素递增的特点。

因此遇到具有逐行（或列）元素方幂递增或递减的所谓范德蒙型的行列式时，可以考虑将其转化为范德蒙行列式并利用相应的结果求值

1x1+1

1x2+1x2+x2

n-2

2

2

1xn+1xn+xn

n-1

例7计算行列式D=

x1

x1+x1

n-1

2

.

+x1x2

n-1

+x2

n-2

xn+xn

n-2

解：

把第1行的－1倍加到第2行，把新的第2行的－1倍加到第3行，以此推直到把新的第n-1行的-1倍加到第n行，便得范德蒙行列式

1x1

D=x12

x1n-1

1x2

2x2

1xn

2xn=

n≥i>j≥1

∏

（xi-xj）.

n-1n-1

x2xn

2.7Hessenberg型行列式的计算

对于形如

的所谓Hessenberg型行列式，可直接展开得到递推公式，也可利用

行列式的性质化简并降阶。

1

22

3-2

n-2-（n-2）

n-1

-（n-1）

n-1

n

1-1

例8计算行列式Dn=

解：

将第1，2··n-1列加到第n列，得

1Dn=

22

3-2

n-2-（n-2）

n-1-1

n（n+1）=∙（-1）1+n

2

2

-（n-2）

n-1

n-1

1-1

n（n+1）2

=（-1）

n+1

（n+1）!

2

2.8降阶法

将行列式的展开定理与行列式性质结合使用，即先利用性质将行列式的某一行（或某一列）化成仅含一个非零元素，然后按此行（列）展开，化成低一阶的行列式，如此继续下去，直到化为三阶或二阶行列式直接计算出结果。

1aa

2

1bb

2

1cc

2

1dd

2

=（a-b）（a-c）（a-d）（b-c）（b-d）（c-d）（a+b+c+d）

a4b4c4d4

左边

1=aa24

0b-ab2-a24

4

0c-ac2-a24

4

0d-ad2-a24

4

b-a

=

b2-a2

c-ac2-a2

d-ad2-a2

（b2+a2）（b2-a2）（c2+a2）（c2-a2）（d2+a2）（d2-a2）

a

b-a

c-a

d-a

1

11=（b-a）（c-a）（d-a）b+a

c+a

a+d

（b2+a2）（a+b）（c2+a2）（c+a）（a2+d2）（d+a）

=（b-a）（c-a）（d-a）（d-b）

11

（c2+bc+b2）+a（c+b）（a2+bd+b2）+a（b+d）

=（a-b）（a-c）（a-d）（b-c）（b-d）（c-d）（a+b+c+d）

例9计算行列式

a1+a2

a1+anD2+a1

0a2+an

n=

a，其中n≥2，∏ai≠0

i=1

an+a1

an+a2

解：

⎡⎢-2a1⎤⎥⎡a1+a1a1+a2a1+an⎤

D-2a⎢2a2+a⎥nn=⎢⎢⎥+⎢a2+a1a2+a2⎥⎢⎥⎥

⎣-2a⎥⎢⎢

n⎦⎣an+a1an+a2

a⎥

n+an⎦⎡-2a⎤=⎢1

⎢-2a2

⎥⎡⎢aa11⎤

-1⎢⎥+⎢21⎥⎛10⎫⎛1⎥01⎪a11⎫2an⎪⎣

-2a⎥⎭

⎦⎢⎭⎝a1n⎣an1⎥⎝⎦

-2a1

-2a2

⎛-2a1

⎫-1

D-2an⎛1⎫

-2a⎪⎛2

⎪a1n=

1010⎫⎛1

⎝01⎪⎪⎭+⎝a1

a⎪n⎪⎭

⎪01

⎝

-2a⎪⎝ann⎪⎭

⎫⎪⎪⎪⎭

11

n1-2

=（-2）n∏ain

1i=1-∑aj2j=1

1n-1-∑ak

n⎡⎤2k=1n-2-1

=（-2）∏ai⎢（n-2）2-∏aj⋅ak⎥ni=1j,k=1⎣⎦1-2

2.9加边法（升阶法）

行列式计算的一般方法是降阶，但对于某些特殊的n阶行列式，如除对角元（或次对角元）外，其余元素相同或成比例的行列式，有时加上一行一列变成n+1阶的行列式，特别是第1列为（1,0,...0）并

T

适当选择第1行的元素，就可以使消零化简单方便，且化简后常变成箭型行列式，这一方法称为升阶法或加边法

x+a1a1

a2x+a2a2a2

1-1

ri-r1（i=2,,n+1）-1

-1

n

a3a3a3

a1x00

ananan

例10计算n阶行列式Dn=a1

a1

1a1

Dn

an

x+a3

.

x+ana2an0x0

00x

解：

Dn+1=

00

+∑

j=1

ajx

a1anx0

na⎛

0=x1+∑j

j=1x⎝

n

=

00

⎫

⎪⎪.⎭

x

2.10计算行（列）和相等的行列式

对于各行（或各列）之和相等的行列式，将其各列（或各行）加

到第1列（或行）或第n列（或行），然后再化简。

11101101

例11计算n阶行列式Dn=

10110111111n-1110n-1

解：

Dncn+ci（i=1,2n-1）

101n-1011n-110

ri-r1（i=2,3n）

0-1

10-10

100

n-000

（n+2）（n-1）

2

-1

=（-1）

n（n-1）2

（-1）（n-1）（n-1）=（-1）

（n-1）

以下不作要求

2.11相邻行（列）元素差1的行列式计算

以数字1，2，··n为（大部分）元素，且相邻两行（列）元素

差1的n阶行列式可以如下计算：

自第1行（列）开始，前行（列）减去后行（列）；或自第n行（列）开始，后行（列）减去前行（列），即可出现大量元素为1或—1的行列式，再进一步化简即出现大量的零元素。

对于相邻行（列）元素相差倍数k的行列式，采用前行（列）减去后行（列）的—k倍，或后行（列）减去前行（列）的—k倍的步

骤，即可使行列式中出现大量的零元素。

1an-1

a1an-1a3a2

a2an-2a1a4

an-3an-4

1

an-1an-2an-3a1

例12计算n阶行列式Dn=

an-2a2a

a3an-1

解

-an

000a

01-an

00a2

001-an

0a3

0001-an

an-1

00001

=（1-an）n-1

Dnri-ari+1（i=1,2n-1）

2.12线性因子法

x0zy

yz0x

zyx0

+x

11-x11

111+z1

1111-z

xyz

111

例13计算行列式

（1）

（2）

解：

（1）由各列加上第一列可见，行列式D可被x+y+z整除。

由第二列加到第一列，并减去第三、四列可见，D可被y+z-x整除，由第三列加于第一列，并减去第二、四列可见，D被x-y+z整除。

最后由第四列加于第一列，并减去第二、三列可见，D可被x+y-z整除。

我们把x,y,z视为独立未知量，于是上述四个线性因子式是两两互素的，因此，D可被它们的乘积（x+y+z）（y+z-x）（x-y+z）（x+y-z）整除。

此乘积中含有一项：

-z4，而D中含有一项：

（-1）cz4=z4所以D=-（x+y+z）（y+z-x）（x-y+z）（x+y-z）

=x4+y4+z4-2x2y2-2x2z2-2y2z2

2

4

（2）将行列式D的前两行和两列分别对换，得

-xD=

111

11+x11

111+z1

1111-z

如果以-x代替x，又得原来形式的行列式。

因此，如果D含有因式x，必含有因式-x，由于当x=0时，D有两列相同，故D确有因式

x，从而D含有因式x2。

同理D又含有因式z2，而D的展开式中有一

项：

x2z2，从而D=x2z2

11-x1

11

例14计算行列式：

Dn=

（n-1）-x

解：

由n阶行列式定义知，Dn的展开式是关于x的首项系数为

（-1）n-1的（n-1）次多项式Dn（x）,当x=k（k=0,1,2n-2）时，Dn（k）=0,因此Dn（x）有n-1个互异根0，1、2„n-2由因式定理得∏（x-k）|Dn（x）

k=0n-2

n-2

故Dn=（-1）n-1∏（x-k）

k=0

2.13辅助行列式法

f1（a1）

f1（an）

例15计算行列式Dn=

fn（a1）fn（an）

其中fi（x）（i=1,αn）为次数≤n-2的数域F上多项式a1an为F中任意n个数。

解：

若a1an中有两个数相等，则Dn=0

若a1an互异，则每个n阶行列式

f1（x）f1（α2）f1（an）

G（x）=是f1（x）,f2（x）fn（x）

fn（x）fn（a2）fn（an）

的线性组合，据题fi（x）的次数≤n-2（i=1n）因而G（x）的次数≤n-2,但G（a2）==G（an）=0,

这说明G（x）至少有（n-1）个不同的根，故G（x）=0,所以G（a1）=0即

Dn（x）=0

2.14n阶循环行列式算法

abbbcc

abbc

cb

例16计算行列式Dn=ccab其中abc≠0.b≠c

ca

解：

设f（x）=a+b（x+x2++xn-1）且令xn-=0的n个根为

xi（i=1n）,则Dn=∏f（xi）

i=1n

cc

-x

xn-x+由f（x）=a+b（）=a+b[]有x-1x-1x-1

xn-

c-xi

（a-b）