第一章 集合与常用逻辑用语 文档.docx
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第一章集合与常用逻辑用语文档
第一章 集合与常用逻辑用语
§1.1 集合的概念与运算
1.下列四个集合中,是空集的是( )
A.{x|x+3=3}
B.{(x,y)|y2=-x2,x,y∈R}
C.{x|x2≤0}
D.{x|x2-x+1=0,x∈R}
2.若集合M={(x,y)|x+y=0},N={(x,y)|x2+y2=0,x∈R,y∈R},则有( )
A.M∪N=MB.M∪N=N
C.M∩N=MD.M∩N=
3.若全集U={0,1,2,3}且∁UA={2},则集合A的真子集共有( )
A.3个B.5个C.7个D.8个
4.某班有学生55人,其中体育爱好者43人,音乐爱好者34人,还有4人既不爱好体育也不爱好音乐,则该班既爱好体育又爱好音乐的人数为________人.
5.x、y∈R,A={(x,y)|x2+y2=1},B=(x,y)-=1,a>0,b>0,当A∩B只有一个元素时,a、b的关系式是________________.
6.已知A={y|y=-x2+2x-1},B={y|y=2x+1},则A∩B=________.
7.设集合A={x|-3≤x≤2},B={x|2k-1≤x≤2k+1},且A
B,则实数k的取值范围是______________.
8.已知集合A={x|ax2-3x+2=0}至多有一个元素,则a的取值范围是________;若至少有一个元素,则a的取值范围是________.
集合的含义与表示
1.设集合U={1,2,3,4,5,6},M={1,3,5},则∁UM=( )
A.{2,4,6}B.{1,3,5}
C.{1,2,4}D.U
2.设集合M={-1,0,1},N={x|x2=x},则M∩N=( )
A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{1}D.{0}
3.已知集合A={x∈R|3x+2>0},B={x∈R|(x+1)(x-3)>0},则A∩B=( )
A.(-∞,-1)B.C.D.(3,+∞)
4.设集合M={x|(x+3)(x-2)<0},N={x|1≤x≤3},则M∩N=( )
A.[1,2)B.[1,2]C.(2,3]D.[2,3]
5.设集合M={y|y=|cos2x-sin2x|,x∈R},N=,则M∩N为( )
A.(0,1)B.(0,1]C.[0,1)D.[0,1]
6.已知集合A={x|x>1},B={x|-1 A.{x|-1 C.{x|-1 7.设U=R,M={x|x2-2x>0},则∁UM=( ) A.[0,2]B.(0,2)C.(-∞,0)∪(2,+∞)D.(-∞,0]∪[2,+∞). 8.集合P={x∈Z|0≤x<3},M={x∈Z|x2≤9},则P∩M=( ) A.{1,2}B.{0,1,2}C.{1,2,3}D.{0,1,2,3} 9.在集合{a,b,c,d}上定义两种运算 和 如下: 那么d (a c)=( ) A.aB.bC.cD.d 10.设集合A={-1,1,3},B={a+2,a2+4},A∩B={3},则实数a的值为________. 11.设全集U=A∪B={x∈N*|lgx<1}.若A∩(∁UB)={m|m=2n+1,n=0,1,2,3,4},则集合B=________. 12.对于平面上的点集Ω,如果连接Ω中任意两点的线段必定包含于Ω,则称Ω为平面上的凸集.给出平面上4个点集的图形如下(阴影区域及其边界): 其中为凸集的是________(写出所有凸集相应图形的序号). 13.设A是整数集的一个非空子集.对于k∈A,如果k-1A,且k+1A,那么称k是A的一个“孤立元”.给定S={1,2,3,4,5,6,7,8},由S的3个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”的集合共有________个. 14.某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组,每名同学至多参加两个小组.已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13,同时参加数学和物理小组的有6人,同时参加物理和化学小组的有4人,则同时参加数学和化学小组的有________人. 集合间的关系 15已知集合A={x|x2-x-2<0},B={x|-1<x<1},则( ) A.A BB.B AC.A=BD.A∩B= 16.已知集合A={x|x是平行四边形},B={x|x是矩形},C={x|x是正方形},D={x|x是菱形},则( ) A.A BB.C BC.D CD.A D 17.已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<5,x∈N},则满足条件A C B的集合C的个数为( ) A.1B.2C.3D.4 18.若P={x|x<1},Q={x|x>-1},则( ) A.P QB.Q PC.∁RP QD.Q ∁RP 19.若三角方程sinx=0与sin2x=0的解集分别为E、F,则( ) A.E FB.EFC.E=FD.E∩F= 20.满足M {a1,a2,a3,a4},且M∩{a1,a2,a3}={a1,a2}的集合M的个数是( ) A.1B.2C.3D.4 21.第二十九届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行.若集合A={参加北京奥运会比赛的运动员},集合B={参加北京奥运会比赛的男运动员},集合C={参加北京奥运会比赛的女运动员},则下列关系正确的是( ) A.A BB.B CC.A∩B=CD.B∪C=A 22.已知集合A={1,2,3},B={2,m,4},A∩B={2,3},则m=________. 23.若规定E={a1,a2,…,a10}的子集{ai1,ai2,…,ain}为E的第k个子集,其中k=2i1-1+2i2-1+…+2in-1,则 (1){a1,a3}是E的第________个子集; (2)E的第211个子集是____________________. 集合的运算 24.已知全集U={0,1,2,3,4},集合A={1,2,3},B={2,4},则(∁UA)∪B为( ) A.{1,2,4}B.{2,3,4}C.{0,2,4}D.{0,2,3,4} 25.设全集U={1,2,3,4,5,6},集合P={1,2,3,4},Q={3,4,5},则P∩(∁UQ)=( ) A.{1,2,3,4,6}B.{1,2,3,4,5}C.{1,2,5}D.{1,2} 26.若全集U={1,2,3,4,5,6},M={2,3},N={1,4},则集合{5,6}等于( ) A.M∪NB.M∩NC.(∁UM)∪(∁UN)D.(∁UM)∩(∁UN) 27.设全集U=M∪N={1,2,3,4,5},M∩∁UN={2,4},则N=( ) A.{1,2,3}B.{1,3,5}C.{1,4,5}D.{2,3,4} 28.设集合A={x||x-a|<1,x∈R},B={x|1<x<5,x∈R}.若A∩B= ,则实数a的取值范围是( ) A.{a|0≤a≤6}B.{a|a≤2或a≥4}C.{a|a≤0或a≥6}D.{a|2≤a≤4} 29.设集合M={1,2,4,8},N={x|x是2的倍数},则M∩N=( ) A.{2,4}B.{1,2,4}C.{2,4,8}D.{1,2,4,8 30.若集合A={x|2x-1>0},B={x||x|<1},则A∩B=________. 31.已知集合A={-1,1,2,4},B={-1,0,2},则A∩B=________. 1.已知全集U=R,集合A={1,2,3,4,5},B={x∈R|x≥2},则图中阴影部分所表示的集合为( ) A.{1}B.{0,1}C.{1,2}D.{0,1,2} 2.设集合P={3,log2a},Q={a,b},若P∩Q={0},则P∪Q=( ) A.{3,0}B.{3,0,1}C.{3,0,2}D.{3,0,1,2} 答案 B 由0∈{3,log2a},0∈{a,b},得a=1,b=0,∴P∪Q={3,0,1},故选B. 3.已知集合A={圆},B={直线},则A∩B为( ) A. B.单元素集C.两个元素的集合D.以上情况均有可能 4.集合中含有的元素个数为( ) A.4B.6C.8D.12 5.设全集U=Z,集合A={-1,1,2},B={-1,1},则集合A∩(∁UB)为( ) A.{1,2}B.{1}C.{2}D.{-1,1} 6.已知全集U=R,则正确表示集合M={-1,0,1}和N={x|x2+x=0}关系的韦恩(Venn)图是( ) 7.设集合M={y|y=2x,x<0},N=,则“x∈M”是“x∈N”的( )条件 A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要 8.设集合P={(x,y)|x+y<4,x,y∈N*},则集合P的非空子集个数是( ) A.2B.3C.7D.8 9.若集合M={y|y=2x,x∈R},集合S={x|y=lg(x-1)},则下列各式中正确的是( ) A.M∪S=MB.M∪S=SC.M=SD.M∩S= 10.设全集U=R,A={x|x(x-2)<0},B={x|y=ln(1-x)},则A∩(∁UB)=( ) A.(-2,1)B.[1,2)C.(-2,1]D.(1,2) 11.设集合A={1,2},则满足A∪B={1,2,3}的集合B的个数是( ) A.1B.3C.4D.8 12.已知全集U=R,集合A={x|a≤x≤b},集合B={x|y=lg(x2-x-2)},若A∩B= ,A∪B=U,则a,b的值分别是( ) A.-1,2B.2,-1C.-1,1D.-2,2 13.已知R是实数集,M=,N={y|y=},则N∩(∁RM)=( ) A.(1,2)B.[0,2]C. D.[1,2] 14.设集合B={a1,a2,…,an},J={b1,b2,…,bm},定义集合B J={(a,b)|a=a1+a2+…+an,b=b1+b2+…+bm},已知B={0,1,2},J={2,5,8},则B J的子集为( ) A.(3,15)B.{(3,15)}C. ,{3,15}D. ,{(3,15)} 15.已知集合A={a1,a2,a3,…,an},记和ai+aj(1≤i<j≤n)中所有不同值的个数为M(A).如当A={1,2,3,4}时,由1+2=3,1+3=4,1+4=2+3=5,2+4=6,3+4=7,得M(A)=5.对于集合B={b1,b2,b3,…,bn},若实数b1,b2,b3,…,bn成等差数列,则M(B)=________. 16.记函数f(x)=lg(x2-x-2)的定义域为集合A,函数g(x)=的定义域为集合B. (1)求A∩B; (2)若C={x|x2+4x+4-p2<0,p>0},则C (A∩B),求实数p的取值范围. ∴0<p≤1. §1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件 1.设原命题: 若a+b≥2,则a、b中至少有一个不小于1,则原命题与其逆命题的真假情况是( ) A.原命题真,逆命题假B.原命题假,逆命题真 C.原命题与逆命题均为真命题D.原命题与逆命题均为假命题 2.有下述说法: ①a>b>0是a2>b2的充要条件.②a>b>0是<的充要条件.③a>b>0是a3>b3的充要条件.则其中正确的说法有( ) A.0个B.1个C.2个D.3个 3.在△ABC中,“A>30°”是“sinA>”的( )条件 A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要 4.设集合M={x|x>2},P={x|x<3},那么“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的( ) A.必要不充分B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 5.函数f(x)=x|x+a|+b是奇函数的充要条件是( ) A.ab=0B.a+b=0C.a=bD.a2+b2=0 6.p: x>1,y>1,q: x+y>2,xy>1,则p是q的( )条件 A.充分而不必要B.必要而不充分C.充要条件D.既不充分也不必要 7.设a∈R,则a>1是<1的( )条件 A.充分但不必要B.必要但不充分C.充要D.既不充分也不必要 8.设p: |4x-3|≤1,q: x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,若 p是 q的必要而不充分条件,则实数a的取值范围是________. 9.已知α、β是不同的两个平面,直线a α,直线b β,命题p: a与b无公共点;命题q: α∥β,则p是q的________条件. 10.A: x1,x2是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两实数根;B: x1+x2=-,则A是B的________条件. 11.“在△ABC中,若∠C=90°,则∠A,∠B都是锐角”的否命题为__________________________. 命题及其关系 1.命题“若p则q”的逆命题是( ) A.若q则pB.若 p则 qC.若 q则 pD.若p则 q 2.命题“若α=,则tanα=1”的逆否命题是( ) A.若α≠,则tanα≠1B.若α=,则tanα≠1 C.若tanα≠1,则α≠D.若tanα≠1,则α= 3.已知a,b,c∈R,命题“若a+b+c=3,则a2+b2+c2≥3”的否命题是( ) A.若a+b+c≠3,则a2+b2+c2<3B.若a+b+c=3,则a2+b2+c2<3 C.若a+b+c≠3,则a2+b2+c2≥3D.若a2+b2+c2≥3,则a+b+c=3 4.设a,b是向量,命题“若a=-b,则|a|=|b|”的逆命题是( ) A.若a≠-b,则|a|≠|b|B.若a=-b,则|a|≠|b| C.若|a|≠|b|,则a≠-bD.若|a|=|b|,则a=-b 5.设非空集合S={x|m≤x≤l}满足: 当x∈S时,有x2∈S.给出如下三个命题: ①若m=1,则S={1};②若m=-,则≤l≤1;③若l=,则-≤m≤0.其中正确命题的个数是( ) A.0B.1C.2D.3 6.命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的逆命题是( ) A.“若一个数是负数,则它的平方不是正数” B.“若一个数的平方是正数,则它是负数” C.“若一个数不是负数,则它的平方不是正数” D.“若一个数的平方不是正数,则它不是负数” 7.给出命题: 若函数y=f(x)是幂函数,则函数y=f(x)的图象不过第四象限.在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中,真命题的个数是( ) A.3B.2C.1D.0 8.命题“若函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内是减函数,则loga2<0”的逆否命题是( ) A.若loga2<0,则函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内不是减函数 B.若loga2≥0,则函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内不是减函数 C.若loga2<0,则函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内是减函数 D.若loga2≥0,则函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内是减函数 9.设S为实数集R的非空子集.若对任意x,y∈S,都有x+y,x-y,xy∈S,则称S为封闭集.下列命题: ①集合S={a+b|a,b为整数}为封闭集; ②若S为封闭集,则一定有0∈S; ③封闭集一定是无限集; ④若S为封闭集,则满足S T R的任意集合T也是封闭集. 其中真命题是________.(写出所有真命题的序号) 10.设α和β为不重合的两个平面,给出下列命题: (1)若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线,则α平行于β; (2)若α外一条直线l与α内的一条直线平行,则l和α平行; (3)设α和β相交于直线l,若α内有一条直线垂直于l,则α和β垂直; (4)直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直. 上面命题中,真命题的序号______(写出所有真命题的序号). 充要条件 11.已知向量a=(x-1,2),b=(2,1),则a⊥b的充要条件是( ) A.x=-B.x=-1C.x=5D.x=0 12.设x∈R,则“x>”是“2x2+x-1>0”的( )条件 A.充分而不必要B.必要而不充分C.充分必要D.既不充分也不必要 13.对于常数m、n,“mn>0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的( )条件 A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要 14.设集合A={x∈R|x-2>0},B={x∈R|x<0},C={x∈R|x(x-2)>0},则“x∈A∪B”是“x∈C”的( )条件 A.充分而不必要B.必要而不充分C.充分必要条D.既不充分也不必要 15.函数f(x)=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是( ) A.m=-2B.m=2C.m=-1D.m=1 16.“sinα=”是“cos2α=”的( )条件 A.充分而不必要B.必要而不充分C.充要D.既不充分也不必要 17.a<0是方程ax2+1=0有一个负数根的( )条件 A.必要不充分B.充分必要C.充分不必要D.既不充分也不必要 1.下列有关命题的说法正确的是( ) A.命题“若xy=0,则x=0”的否命题为“若xy=0,则x≠0” B.“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题为真命题 C.命题“x∈R,使得2x2-1<0”的否定是“ x∈R,均有2x2-1<0” D.命题“若cosx=cosy,则x=y”的逆否命题为真命题 2.下列有关命题的说法中,正确的是( ) A.命题“若x2>1,则x>1”的否命题为“若x2>1,则x≤1” B.命题“若α>β,则tanα>tanβ”的逆命题为真命题 C.命题“x∈R,使得x2+x+1<0”的否定是“ x∈R,都有x2+x+1>0” D.“x>1”是“x2+x-2>0”的充分不必要条件 3.下列命题中正确的是( ) A.若命题p为真命题,命题q为假命题,则命题“p∧q”为真命题 B.命题“若xy=0,则x=0”的否命题为“若xy=0,则x≠0” C.“sinα=”是“α=”的充分不必要条件 D.命题“ x∈R,2x>0”的否定是“x0∈R,2x0≤0” 4.已知命题p: m∈R,m+1≤0,命题q: x∈R,x2+mx+1>0恒成立.若p∨q为假命题,则实数m的取值范围为( ) A.m≥2B.m≤-2C.m≤-2或m≥2D.-2≤m≤2 5.下列叙述错误的是( ) A.命题“若x≠1,则x2-3x+2≠0”的逆否命题是“若x2-3x+2=0,则x=1” B.若命题p: x∈R,x2+x+1≠0,则 p: x∈R,x2+x+1=0 C.若p∨q为真命题,则p,q均为真命题 D.“x>2”是“x2-3x+2>0”的充分不必要条件 6.下列说法中正确的是( ) A.命题“若am2<bm2,则a<b”的逆命题是真命题 B.命题“x∈R,x2-x>0”的否定是“ x∈R,x2-x≤0” C.命题“p∨q”为真命题,则命题p和命题q均为真命题 D.已知x∈R,则“x>1”是“x>2”的充分不必要条件 7.已知A,B是非空集合,命题甲: A∪B=B,命题乙: A B,那么甲是乙的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 8.已知a、b∈R,那么“a2+b2<1”是“ab+1>a+b”的( )条件 A.充要B.必要不充分C.充分不必要D.既不充分也不必要 9.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,则“A<B”是“cos2A>cos2B”的( )条件 A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要条D.既不充分也不必要 10.已知平面向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为60°,则“m=1”是“(a-mb)⊥a”的( )条件 A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要 11.“a=0”是“函数y=ln|x-a|为偶函数”的( )条件 A.充要B.充分不必要C.必要不充分D.既不充分也不必要 12.若“x2-2x-8>0”是“x<m”的必要不充分条件,则m的最大值为________. §1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 1.命题“存在x∈Z,使2x2+x+m≤0”的否定是( ) A.存在x∈Z,使2x2+x+m<0B.不存在x∈Z,使2x2+x+m>0 C.对任意x∈Z,都有2x2+x+m≤0D.对任意x∈Z,都有2x2+x+m>0 2.已知命题p: x0∈R,使sinx0=;命题q: x∈R,都有x2+x+1>0.下列结论中正确的是( ) A.命题“p∧q”是真命题B.命题“p∧ q”是真命题 C.命题“ p∧q”是真命题D.命题“ p∨ q”是假命题 3.设结论p: |x|>1,结论q: x<-2,则 p是 q的( )条件 A.充分不必要 B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要 4.已知命题p: x∈R,x2+≤2,命题q是命题p的否定,则命题p、q、p∧q、p∨q中是真命题的是________. 5.已知命题p: x∈R,ax2+2x+3>0,如果命题 p是真命题,那么实数a的取值范围是________. 6.写出下列命题的否定,并判断其真假. (1)p: x∈R,x2-x+≥0; (2)q: 所有的正方形都是矩形; (3)r: x∈R,x2+2x+2≤0;(4)s: 至少有一个实数x,使x3+1=0. 7.已知c>0,设命题p: 函数y=cx为减函数.命题q: 当x∈时,函数f(x)=x+>恒成立.如果p或q为真命题,p且q为假命题,求c的取值范围. . 简单的逻辑联结词 1.设命题p: 函数y=sin2x的最小正周期为;命题q: 函数y=cosx的图象关于直线x=对称,则下列判断正确的是( ) A.p为真B. q为假C.p∧q为假D.p∨q为真 2.若p是真命题,q是假命题,则( ) A.p∧q是真命题B.p∨q是假命题C. p是真命题D. q是真命题 3.已知命题p: 所有有理数都是实数,命题q: 正数的对数都是负数,则下列命题中为真命题的是( ) A.( p)∨qB.p∧qC.( p)∨( q)D.( p)∧( q) 全称量词与存在量词 4.命题“存在实数x,使x>1”的否定是( ) A.对任意实数x,都有x>1B.不存在实数x,使x≤1 C.对任意实数x,都有x≤1D.存在实数x,使x≤1 5.已知命题p: x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≥0,则 p是( ) A.x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≤0
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