第7节 函数的图像.docx
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第7节函数的图像
第7节 函数的图像
考试要求 1.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数;2.会运用基本初等函数的图像分析函数的性质,解决方程解的个数与不等式解的问题.
知识梳理
1.利用描点法作函数的图像
步骤:
(1)确定函数的定义域;
(2)化简函数解析式;(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等);(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等),描点,连线.
2.利用图像变换法作函数的图像
(1)平移变换
(2)对称变换
y=f(x)的图像
y=-f(x)的图像;
y=f(x)的图像
y=f(-x)的图像;
y=f(x)的图像
y=-f(-x)的图像;
y=ax(a>0,且a≠1)的图像
y=logax(a>0,且a≠1)的图像.
(3)伸缩变换
y=f(x)
y=f(ax).
y=f(x)
y=Af(x).
(4)翻折变换
y=f(x)的图像
y=|f(x)|的图像;
y=f(x)的图像
y=f(|x|)的图像.
[常用结论与微点提醒]
1.记住几个重要结论
(1)函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图像关于直线x=a对称.
(2)函数y=f(x)与y=2b-f(2a-x)的图像关于点(a,b)中心对称.
(3)若函数y=f(x)对定义域内任意自变量x满足:
f(a+x)=f(a-x),则函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称.
2.图像的左右平移仅仅是相对于x而言,如果x的系数不是1,常需把系数提出来,再进行变换.
3.图像的上下平移仅仅是相对于y而言的,利用“上减下加”进行.
诊断自测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)当x∈(0,+∞)时,函数y=|f(x)|与y=f(|x|)的图像相同.( )
(2)函数y=af(x)与y=f(ax)(a>0且a≠1)的图像相同.( )
(3)函数y=f(x)与y=-f(x)的图像关于原点对称.( )
(4)若函数y=f(x)满足f(1+x)=f(1-x),则函数f(x)的图像关于直线x=1对称.( )
解析
(1)令f(x)=-x,当x∈(0,+∞)时,y=|f(x)|=x,y=f(|x|)=-x,两者图像不同,
(1)错.
(2)中两函数当a≠1时,y=af(x)与y=f(ax)是由y=f(x)分别进行振幅与周期变换得到,两图像不同,
(2)错.
(3)y=f(x)与y=-f(x)图像关于x轴对称,(3)错.
(4)中,f(2-x)=f[1+(1-x)]=f[1-(1-x)]=f(x),所以y=f(x)的图像关于直线x=1对称,(4)正确.
答案
(1)×
(2)× (3)× (4)√
2.(老教材必修1P56A9改编)下列图像是函数y=
的图像的是( )
解析 其图像是由y=x2图像中x<0的部分和y=x-1图像中x≥0的部分组成.
答案 C
3.(新教材必修第一册P49例5改编)在2h内将某种药物注射进患者的血液中,在注射期间,血液中的药物含量呈线性增加;停止注射后,血液中的药物含量呈指数衰减,能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图像是( )
解析 依题意,在2h内血液中药物含量Q持续增加,停止注射后,Q呈指数衰减,图像B适合.
答案 B
4.(一题多解)(2018·全国Ⅲ卷)下列函数中,其图像与函数y=lnx的图像关于直线x=1对称的是( )
A.y=ln(1-x)B.y=ln(2-x)
C.y=ln(1+x)D.y=ln(2+x)
解析 法一 设所求函数图像上任一点的坐标为(x,y),则其关于直线x=1的对称点的坐标为(2-x,y),由对称性知点(2-x,y)在函数f(x)=lnx的图像上,所以y=ln(2-x).
法二 由题意知,对称轴上的点(1,0)在函数y=lnx的图像上也在所求函数的图像上,代入选项中的函数表达式逐一检验,排除A,C,D,选B.
答案 B
5.(2019·全国Ⅰ卷)函数f(x)=
在[-π,π]的图像大致为( )
解析 ∵f(-x)=
=-f(x),
∴f(x)为奇函数,排除A.
当x=π时,f(π)=
>0,排除B,C,只有D满足.
答案 D
6.(2020·安康月考)已知函数f(x)的图像如图所示,则函数g(x)=log
f(x)的定义域是________.
解析 当f(x)>0时,函数g(x)=log
f(x)有意义,由函数f(x)的图像知满足f(x)>0时,x∈(2,8].
答案 (2,8]
考点一 作函数的图像
【例1】作出下列函数的图像:
(1)y=
;
(2)y=|log2(x+1)|;
(3)y=x2-2|x|-1.
解
(1)先作出y=
的图像,保留y=
图像中x≥0的部分,再作出y=
的图像中x>0部分关于y轴的对称部分,即得y=
的图像,如图①实线部分.
(2)将函数y=log2x的图像向左平移一个单位,再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去,即可得到函数y=|log2(x+1)|的图像,如图②.
(3)∵y=
且函数为偶函数,先用描点法作出[0,+∞)上的图像,再根据对称性作出(-∞,0)上的图像,得图像如图③.
规律方法 作函数图像的一般方法
(1)直接法.当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时,就可根据这些函数的特征描出图像的关键点直接作出.
(2)图像变换法.若函数图像可由某个基本函数的图像经过平移、翻折、对称得到,可利用图像变换作出,并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.
【训练1】分别作出下列函数的图像:
(1)y=|lgx|;
(2)y=sin|x|.
解
(1)先作出函数y=lgx的图像,再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去,即可得函数y=|lgx|的图像,如图①实线部分.
(2)当x≥0时,y=sin|x|与y=sinx的图像完全相同,又y=sin|x|为偶函数,图像关于y轴对称,其图像如图②.
考点二 函数图像的辨识
【例2】
(1)(2019·全国Ⅲ卷)函数y=
在[-6,6]的图像大致为( )
(2)(2020·深圳模拟)函数f(x)=
的图像大致为( )
解析
(1)因为y=f(x)=
,x∈[-6,6],
所以f(-x)=
=-
=-f(x),
所以f(x)是奇函数,排除选项C.
当x=4时,y=
=
∈(7,8),排除A,D项,B正确.
(2)由
得-1 所以f(x)的定义域为(-1,0)∪(0,1),关于原点对称. 又f(x)=f(-x),所以函数f(x)是偶函数,图像关于y轴对称,排除A; 当0 当x>0且x→0时,f(x)→0,排除D,只有B项符合. 答案 (1)B (2)B 规律方法 1.抓住函数的性质,定性分析: (1)从函数的定义域,判断图像的左右位置;从函数的值域,判断图像的上下位置; (2)从函数的单调性,判断图像的变化趋势;(3)从周期性,判断图像的循环往复;(4)从函数的奇偶性,判断图像的对称性. 2.抓住函数的特征,定量计算: 从函数的特征点,利用特征点、特殊值的计算分析解决问题. 【训练2】 (1)(2020·武汉调研)函数f(x)= 的大致图像为( ) (2)(2019·成都诊断)函数f(x)=|x|sinx的图像大致是( ) 解析 (1)易知定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.f(-x)= =- =-f(x),则f(x)是奇函数,其图像关于原点对称,排除A,f (1)=3- = >0,排除D,当x→+∞时,3x→+∞,则f(x)→+∞,排除C,选项B符合. (2)函数f(x)=|x|sinx为奇函数,图像关于原点对称,排除B,C.又f(π)=|π|sinπ=0,排除D,只有选项A适合. 答案 (1)B (2)A 考点三 函数图像的应用 多维探究 角度1 研究函数的性质 【例3-1】已知函数f(x)=x|x|-2x,则下列结论正确的是( ) A.f(x)是偶函数,递增区间是(0,+∞) B.f(x)是偶函数,递减区间是(-∞,1) C.f(x)是奇函数,递减区间是(-1,1) D.f(x)是奇函数,递增区间是(-∞,0) 解析 将函数f(x)=x|x|-2x去掉绝对值得 f(x)= 画出函数f(x)的图像,如图,观察图像可知,函数f(x)的图像关于原点对称,故函数f(x)为奇函数,且在(-1,1)上是递减的. 答案 C 角度2 函数图像在不等式中的应用 【例3-2】 (1)(2020·哈尔滨模拟)已知函数f(x)=2-|x|,若关于x的不等式f(x)≥x2-x-m的解集中有且仅有1个整数,则实数m的取值范围为( ) A.[-3,-1)B.(-3,-1) C.[-2,-1)D.(-2,-1) (2)函数f(x)是定义在[-4,4]上的偶函数,其在[0,4]上的图像如图所示,那么不等式 <0的解集为__________. 解析 (1)在同一平面直角坐标系中作出函数y=f(x),y=x2-x-m的图像如图所示. 由图可知,不等式f(x)≥x2-x-m的解集中的整数解为x=0, 故 解得-2≤m<-1. (2)当x∈ 时,y=cosx>0. 当x∈ 时,y=cosx<0. 结合y=f(x),x∈[0,4]上的图像知,当1 时, <0.又函数y= 为偶函数, 所以在[-4,0]上, <0的解集为 , 所以 <0的解集为 ∪ . 答案 (1)C (2) ∪ 角度3 求参数的取值范围 【例3-3】已知函数f(x)= 其中m>0.若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是________. 解析 在同一坐标系中,作出y=f(x)与y=b的图像.当x>m时,x2-2mx+4m=(x-m)2+4m-m2, ∴要使方程f(x)=b有三个不同的根,则有4m-m2 即m2-3m>0.又m>0,解得m>3. 答案 (3,+∞) 规律方法 1.利用函数的图像研究函数的性质 对于已知或易画出其在给定区间上图像的函数,其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图像研究,但一定要注意性质与图像特征的对应关系. 2.利用函数的图像可解决某些方程和不等式的求解问题,方程f(x)=g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图像交点的横坐标;不等式f(x) 【训练3】 (1)(角度1)已知函数f(x)= ,则下列结论正确的是( ) A.函数f(x)的图像关于点(1,0)中心对称 B.函数f(x)在(-∞,1)上是增函数 C.函数f(x)的图像关于直线x=1对称 D.函数f(x)的图像上至少存在两点A,B,使得直线AB∥x轴 (2)(角度2)已知函数y=f(x)的图像是如图所示的折线ACB,且函数g(x)=log2(x+1),则不等式f(x)≥g(x)的解集是( ) A.{x|-1 B.{x|-1≤x≤1} C.{x|-1 D.{x|-1 (3)(角度3)已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx.若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则实数k的取值范围是________. 解析 (1)由题知,函数f(x)= 的图像是由函数y= 的图像向右平移1个单位长度得到的,可得函数f(x)的图像关于点(1,0)中心对称,A正确;函数f(x)在 (-∞,1)上是减函数,B错误;易知函数f(x)= 的图像不关于直线x=1对称,C错误;由函数f(x)的单调性及函数f(x)的图像,可知函数f(x)的图像上不存在两点A,B,使得直线AB∥x轴,D错误. (2)令g(x)=y=log2(x+1), 作出函数g(x)的图像如图, 由 得 ∴结合图像知不等式f(x)≥log2(x+1)的解集为{x|-1 (3)先作出函数f(x)=|x-2|+1的图像,如图所示,当直线g(x)=kx与直线AB平行时斜率为1,当直线g(x)=kx过A点时斜率为 ,故f(x)=g(x)有两个不相等的实根时,k的取值范围为 . 答案 (1)A (2)C (3) 直观想象——函数图像的活用 直观想象是发现和提出问题,分析和解决问题的重要手段,在数学研究的探索中,通过直观手段的运用以及借助直观展开想象,从而发现问题、解决问题的例子比比皆是,并贯穿于数学研究过程的始终,而数形结合思想是典型的直观想象范例. 类型1 根据函数图像特征,确定函数解析式 函数解析式与函数图像是函数的两种重要表示法,图像形象直观,解析式易于研究函数性质,可根据需要,相互转化. 【例1】(2020·九江模拟)如图,已知函数f(x)的图像关于坐标原点对称,则函数f(x)的解析式可能是( ) A.f(x)=x2ln|x|B.f(x)=xlnx C.f(x)= D.f(x)= 解析 根据函数图像知,f(x)为奇函数,排除A,B.对于选项D,当x>0时,f(x)= >0,这与函数的图像不符,因此只有C项f(x)= 可能适合.有兴趣的同学可研究函数的性质作出判断(略). 答案 C 类型2 利用函数的图像研究函数的性质 对于已知或易画出其在给定区间上图像的函数,其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助图像研究,但一定要注意性质与图像特征的对应关系. 【例2】已知f(x)=2x-1,g(x)=1-x2,规定: 当|f(x)|≥g(x)时,h(x)=|f(x)|;当|f(x)|<g(x)时,h(x)=-g(x),则h(x)( ) A.有最小值-1,最大值1 B.有最大值1,无最小值 C.有最小值-1,无最大值 D.有最大值-1,无最小值 解析 画出y=|f(x)|=|2x-1|与y=g(x)=1-x2的图像,它们交于A,B两点.由“规定”,在A,B两侧,|f(x)|≥g(x),故h(x)=|f(x)|;在A,B之间,|f(x)| 综上可知,y=h(x)的图像是图中的实线部分,因此h(x)有最小值-1,无最大值. 答案 C 【例3】(2020·太原调研)已知函数g(x)=- ,h(x)=cosπx,当x∈(-2,4)时,函数g(x)与h(x)的交点横坐标分别记为xi(i=1,2,…,n),则 xi=( ) A.5B.6C.7D.8 解析 易知g(x)=- 的图像关于x=1对称,h(x)=cosπx的图像关于x=1对称.作出两个函数的图像,如图所示. 根据图像知,两函数有7个交点,其中一个点的横坐标为x=1,另外6个交点关于直线x=1对称,因此 xi=3×2+1=7. 答案 C 思维升华 求解图像交点横、纵坐标之和的问题,常利用图像的对称性求解,即找出两图像的公共对称轴或对称中心,从而得出各交点的公共对称轴或对称中心,由此得出定值求解. 类型3 利用函数的图像求解方程或不等式 若研究的方程(不等式)不能用代数法求解,但其与基本初等函数有关,常将方程(不等式)问题转化为两函数图像的交点或图像的上下位置关系,然后由图像的几何直观数形结合求解. 【例4】函数f(x)=2sinxsin -x2的零点个数为________. 解析 f(x)=2sinxcosx-x2=sin2x-x2,函数f(x)的零点个数可转化为函数y1= sin2x与y2=x2图像的交点个数,在同一坐标系中画出y1=sin2x与y2=x2的图像如图所示: 由图可知两函数图像有2个交点,则f(x)的零点个数为2. 答案 2 A级 基础巩固 一、选择题 1.(2020·萍乡调研)已知函数f(x)=(x-a)(x-b)(其中a>b)的图像如图所示,则函数g(x)=ax+b的图像是( ) 解析 由函数f(x)的图像知a>1,-1 ∴g(x)=ax+b在R上是增函数,且g(0)=1+b>0. 因此选项C满足要求. 答案 C 2.(2020·马鞍山模拟)已知定义在R上的函数f(x),g(x)满足g(x)=f(|x-1|),则函数y=g(x)的图像关于( ) A.直线x=-1对称B.直线x=1对称 C.原点对称D.y轴对称 解析 因为y=f(|x|)的图像关于y轴对称,y=f(|x|)的图像向右平移1个单位可得y=f(|x-1|)的图像,所以函数y=g(x)的图像关于直线x=1对称. 答案 B 3.(2018·浙江卷)函数y=2|x|·sin2x的图像可能是( ) 解析 设f(x)=2|x|sin2x,其定义域为R,又f(-x)=2|-x|·sin(-2x)=-f(x),所以y=f(x)是奇函数,故排除选项A,B.令f(x)=0,得sin2x=0,∴2x=kπ(k∈Z),即x= (k∈Z),排除C,只有D正确. 答案 D 4.(2019·宜昌调研)已知函数f(x)的部分图像如图所示,则该函数的解析式可能为( ) A.f(x)=(ex+e-x)sinx B.f(x)=(ex+e-x)cosx C.f(x)=-(ex+e-x)sinx D.f(x)=-(ex+e-x)cosx 解析 由图像过原点,即f(0)=0,排除B,D,由图像知,当x>0且x→0时,f(x)>0,∴C项不满足,只有A项满足. 答案 A 5.若函数f(x)= 的图像如图所示,则f(-3)等于( ) A.- B.- C.-1D.-2 解析 由图像知 得 ∴f(x)= 故f(-3)=5-6=-1. 答案 C 6.在同一平面直角坐标系中,函数y=g(x)的图像与y=ex的图像关于直线y=x对称.而函数y=f(x)的图像与y=g(x)的图像关于y轴对称,若f(m)=-1,则m的值是( ) A.-eB.- C.eD. 解析 由题意知g(x)=lnx,则f(x)=ln(-x),若f(m)=-1,即ln(-m)=-1,解得m=- . 答案 B 7.(2019·成都七中检测)函数f(x)= 的部分图像大致是( ) 解析 f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数,排除选项C,D. 又f(π)=- <0,则排除B,选A. 答案 A 8.(2020·潍坊质检)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的x∈R,f(x+2)=f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x2.若直线y=x+a与函数f(x)的图像在[0,2]内恰有两个不同的公共点,则实数a的值是( ) A.0B.0或- C.- 或 D.0或- 解析 因为f(x+2)=f(x),所以函数f(x)的周期为2,如图所示: 由图知,直线y=x+a与函数f(x)的图像在区间[0,2]内恰有两个不同的公共点时,直线y=x+a经过点(1,1)或与曲线f(x)=x2(0≤x≤1)相切于点A,则1=1+a,或方程x2=x+a只有一个实数根.所以a=0或Δ=1+4a=0,即a=0或a=- . 答案 D 二、填空题 9.若函数y=f(x)的图像过点(1,1),则函数y=f(4-x)的图像一定经过点________. 解析 由于函数y=f(4-x)的图像可以看作y=f(x)的图像先关于y轴对称,再向右平移4个单位长度得到.点(1,1)关于y轴对称的点为(-1,1),再将此点向右平移4个单位长度为(3,1).所以函数y=f(4-x)的图像过定点(3,1). 答案 (3,1) 10. 如图,定义在[-1,+∞)上的函数f(x)的图像由一条线段及抛物线的一部分组成,则f(x)的解析式为________. 解析 当-1≤x≤0时,设解析式为y=kx+b(k≠0). 则 得 ∴y=x+1. 当x>0时,设解析式为y=a(x-2)2-1(a≠0). ∵图像过点(4,0),∴0=a(4-2)2-1,得a= , ∴y= (x-2)2-1. 答案 f(x)= 11.(2020·福州质检)设函数y=f(x)的图像与y= 的图像关于直线y=x对称,且f(3)+f =4,则实数a=________. 解析 设(x,y)是y=f(x)图像上任意一点,则(y,x)在函数y= 的图像上. ∴x= ,则y=log x-a. 因此f(x)=log x-a. 由f(3)+f =4,得-1+1-2a=4,∴a=-2. 答案 -2 12. 已知函数f(x)在R上单调且其部分图像如图所示,若不等式-2 解析 由图像可知不等式-2 即f(3) 又y=f(x)在R上单调递减, ∴0 依题意,t=1. 答案 1 B级 能力提升 13.(2020·安徽联盟联考)已知图①中的图像对应的函数为y=f(x),则图②中的图像对应的函数为( ) A.y=f(|x|)B.y=f(-|x|) C.y=|f(x)|D.y=-f(|x|) 解析 观察函数图像可得,②是由①保留y轴左侧图像,然后将y轴左侧图像翻折到右侧所得,结合函数图像的对称变换可得函数的解析式为y=f(-|x|). 答案 B 14.若直角坐标系内A,B两点满足: (1)点A,B都在f(x)的图像上; (2)点A,B关于原点对称,则称点对(A,B)是函数f(x)的一个“和谐点对”,(A,B)与(B,A)可看作一个“和谐点对”.已知函数f(x)= 则f(x)的“和谐点对”有( ) A.1个B.2个C.3个D.4个 解析 作出函数y=x2+2x(x<0)的图像关于原点对称的图像(如图中的虚线部分),看它与函数y= (x≥0)的图像的交点个数即可,观察图像可得交点个数为2,即f(x)的“和谐点对”有2个. 答案 B 15.(2019·重庆检测)使log2(-x)<x+1成立的x的取值范围是________. 解析 在同一直角坐标系内作出y=log2(-x),y=x+1的图像,知满足条件的x∈(-1,0). 答案 (-1,0) 16.已知函数f(x)=|log3x|,实数m,n满足0 =________. 解析 如图,作出函数f(x)=|log3x|的图像,观察可知0 若f(x)在[m2,n]上的最大值为2, 从图像分析应有f(m2)=2, ∴log3m2=-2,∴m2= . 从而m= ,n=3,故 =9. 答案 9 C级 创新猜想 17.(多选题)对于函数f(x)=lg(|x-2|+1),下列说法正确的是( ) A.f(x+2)是偶函数 B.f(x+2)是奇函数
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- 第7节 函数的图像 函数 图像