中考平面几何年选百题之130.docx
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中考平面几何年选百题之130
1.(中考几何)如图,在直角△ABD中,∠ADB=90°,∠ABD=45°,点F为直线AD上任意一点,过点A作直线AC⊥BF,垂足为点E,直线AC交直线BD于点C.过点F作FG∥BD,交直线AB于点G.
(1)如图1,点F在边AD上,则线段FG,DC,BD之间满足的数量关系是 ,证明你的结论;
(2)如图2,点F在边AD的延长线上,则线段FG,DC,BD之间满足的数量关系是 ,证明你的结论;
(3)如图3,在
(2)的条件下,若DF=6,GF=10,将一个45°角的顶点与点B重合,并绕点B旋转,这个角的两边分别交线段FG于M,N两点,当FM=2时,求线段NG的长.
2.(中考几何)如图1,正方形ABCD中,AC是对角线,等腰Rt△CMN中,∠CMN=90°,CM=MN,点M在CD边上,连接AN,点E是AN的中点,连接BE.
(1)若CM=2,AB=6,求AE的值;
(2)求证:
2BE=AC+CN;
(3)当等腰Rt△CMN的点M落在正方形ABCD的BC边上,如图2,连接AN,点E是AN的中点,连接BE.请探究线段BE、AC、CN的数量关系,并证明你的结论.
3.(中考几何)已知△ABC中,点E为边AB的中点,将△ABC沿CE所在的直线折叠得
,
,交直线
于F.
(1)如图1,若∠ACB=90°,∠A=30°,
,求
的长;
(2)如图2,若∠ACB为任意角,已知
,求BF的长(用
表示);
(3)如图3,若∠ACB为任意角,猜想出AC、CF、BF之间的数量关系:
,并说明理由;
(4)如图4,若∠ACB=120°,BF=8,BC=6,则AC的长为 .
4.(中考几何)如图1,在△ACB和△AED中,AC=BC,AE=DE,∠ACB=∠AED=90°,点E在AB上,F是线段BD的中点,连接CE、FE.
(1)若AD=
,BE=4,求EF的长;
(2)求证:
CE=
EF;
(3)将图1中的△AED绕点A顺时针旋转,使AED的一边AE恰好与△ACB的边AC在同一条直线上(如图2),连接BD,取BD的中点F,问
(2)中的结论是否仍然成立,并说明理由.
5.(中考几何)如图,四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形,连接BF、CE,点H、M分别为BF、CE中点
(1)如图1,当正方形DEFG的边DE、DG分别在正方形ABCD的DA、DC边上,猜想MH、CE关系,并加以证明;
(2)将正方形DEFG旋转至如图2所示的位置,其它条件不变,结论是否发生变化?
请证明你的结论.
6.(中考几何)线段OA绕点O逆时针旋得到
,点P为直线
上一点,点
为射线
上一点,连接PQ、PA且PQ=PA.
(1)当点P在线段
上如图1,
时,求证:
;
(2)当点P在A′O的延长线上如图2,∠AOA′=120°时,线段
、
、
之间满足的数量关系为 .
(3)在
(2)的条件下,若OA=4,Q为
的中点时,将射线
绕点Q旋转30°,并与直线PA交于点M,求QM的长.
7.如图1,在△ABB′和△ACC′中,∠BAB′=∠CAC′=m°,AC=AC′,AB=AB′.
(1)不添加辅助线的前提下,请写出图中满足旋转变换的两个三角形分别是:
;旋转角度是 °;
(2)线段BC、B′C′的数量关系是:
;试求出BC、B′C′所在直线的夹角:
;
(3)随着△ACC′绕点A的旋转,
(2)的结论是否依然成立?
请从图2、图3中任选一个证明你的结论;
(4)利用解决上述问题所获得的经验探索下面的问题:
如图4,等边△ABC外一点D,且∠BDC=60°,连接AD,试探索线段AD、CD、BD的数量关系.
8.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC.点P为AB边上一点,Q为BC边上一点,且∠BPQ=∠APC,过点A作AD⊥PC,交BC于点D,直线AD分别交直线PC、PQ于E、F.
(1)求证:
∠FDQ=∠FQD;
(2)把△DFQ沿DQ边翻折,点F刚好落在AB边上点G,设PC分别交GQ、GD于M、N,试判定MN与EN的数量关系,并给予证明.
9.如图1,已知等边△ABC中,D为BC中点,DE∥AC交AB于E,M是AE上任意一点(M不与A,E重合),连接DM,作DN平分∠MDC交AC于N.
(1)求证:
ED=DC;
(2)求证:
EM+NC=DM;
(3)如图2,作DF⊥AC于F,若NF:
FC=3:
5,AM=4,连接MN将∠DMN沿MN翻折,翻折后的射线MD交AC于P,连接DP交MN于点Q.
①求△ABC的边长;②求PQ的长.
10.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,tan∠BAC=
,点D在边AC上(不与A、C重合),连结BD,F为BD中点.
(1)若过点D作DE⊥AB于E,连结CF、EF、CE,如图1,当D为AC中点时,求tan∠DBE的值;
(2)若将图1中的△ADE绕点A旋转,使得D、E、B三点共线,点F仍为BD中点,如图2所示,求证:
BE﹣DE=2CF;
(3)若BC=3AD=6,将线段AD绕点A旋转,点F始终为BD的中点,则线段CF长度的最大值为 .
11.将等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE按图1方式放置,∠A=90°,AD边与AB边重合,AB=2AD=4.将△ADE绕点A逆时针方向旋转一个角度α(0°≤α≤180°),BD的延长线交直线CE于点P.
(1)如图1,BD与CE的数量关系是 ,位置关系是 ;
(2)在旋转的过程中,当AD⊥BD时,求出CP的长;
(3)在此旋转过程中,求点P运动的路线长.
12.四边形ABCD是正方形,△BEF是等腰直角三角形,∠BEF=90°,BE=EF,连接DF,G为DF的中点,连接EG,CG,EC.
(1)如图1,若点E在CB边的延长线上,直接写出EG与GC的位置关系及
的值;
(2)将图1中的△BEF绕点B顺时针旋转至图2所示位置,请问
(1)中所得的结论是否仍然成立?
若成立,请写出证明过程;若不成立,请说明理由;
(3)将图1中的△BEF绕点B顺时针旋转α(0°<α<90°),若BE=1,AB=
,当E,F,D三点共线时,求DF的长及tan∠ABF的值.
13.已知等腰Rt△ABC和等腰Rt△AED中,∠ACB=∠AED=90°,且AD=AC
(1)发现:
如图1,当点E在AB上且点C和点D重合时,若点M、N分别是DB、EC的中点,则MN与EC的位置关系是 ,MN与EC的数量关系是
(2)探究:
若把
(1)小题中的△AED绕点A旋转一定角度,如图2所示,连接BD和EC,并连接DB、EC的中点M、N,则MN与EC的位置关系和数量关系仍然能成立吗?
若成立,请以逆时针旋转45°得到的图形(图3)为例给予证明位置关系成立,以顺时针旋转45°得到的图形(图4)为例给予证明数量关系成立,若不成立,请说明理由.
14.如图,把一块含45°直角三角板的锐角顶点与正方形ABCD的顶点A重合.正方形ABCD固定不动,让三角板绕点A旋转.
(1)当三角板绕点A旋转到如图①的位置时,含45°角的两边分别与正方形的边BC、DC交于点E、F,求证:
EF=BE+DF;
(2)当三角板绕点A旋转到如图2的位置时,含45°角的两边分别与正方形的CB、DC两边的延长线交于点E、F.试写出EF、BE和DF三条线段满足的数量关系,不必证明.
(3)在图1中,当正方形ABCD的边长为6,EF=5,BE的长为 .
15.在△ABC中,AB=BC=2,∠ABC=90°,BD为斜边AC上的中线,将△ABD绕点D顺时针旋转α(0°<α<180°)得到△EFD,其中点A的对应点为点E,点B的对应点为点F.BE与FC相交于点H.
(1)如图1,直接写出BE与FC的数量关系:
;
(2)如图2,M、N分别为EF、BC的中点.求证:
MN=
;
(3)连接BF,CE,如图3,直接写出在此旋转过程中,线段BF、CE与AC之间的数量关系:
.
16.在△ABC中,AB=AC,∠A=60°,点D是线段BC的中点,∠EDF=120°,DE与线段AB相交于点E.DF与线段AC(或AC的延长线)相交于点F.
(1)如图1,若DF⊥AC,垂足为F,AB=4,求BE的长;
(2)如图2,将
(1)中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度,DF仍与线段AC相交于点F.求证:
BE+CF=
AB;
(3)如图3,将
(2)中的∠EDF继续绕点D顺时针旋转一定的角度,使DF与线段AC的延长线相交于点F,作DN⊥AC于点N,若DN⊥AC于点N,若DN=FN,求证:
BE+CF=
(BE﹣CF).
17.如图1,在△ABC中,AB=AC,射线BP从BA所在位置开始绕点B顺时针旋转,旋转角为α(0°<α<180°)
(1)当∠BAC=60°时,将BP旋转到图2位置,点D在射线BP上.若∠CDP=120°,则∠ACD ∠ABD(填“>”、“=”、“<”),线段BD、CD与AD之间的数量关系是 ;
(2)当∠BAC=120°时,将BP旋转到图3位置,点D在射线BP上,若∠CDP=60°,求证:
BD﹣CD=
AD;
(3)将图3中的BP继续旋转,当30°<α<180°时,点D是直线BP上一点(点P不在线段BD上),若∠CDP=120°,请直接写出线段BD、CD与AD之间的数量关系(不必证明).
18.已知,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,作BD⊥AC,垂足为D,点P为线段DC上一动点(不与点D、C重合),连接BP,作AN⊥BP,垂足为N,设AN交BD于点M.
(1)当∠C=45°时(如图1),请证明:
CP=BM;
(2)当∠C=30°时(如图2),请直接写出CP与BM的数量关系:
;
(3)在
(2)问的基础上(如图3),连接MC,设MC交BP于点K,当DP=
PC=3时,请求MK的长度.
19.在△ABC中,∠ACB=90°,BE平分∠ABC交AC于点E,F为BE中点,连接CF,点P为直线CB上一点,点Q在直线AB上,作∠BFQ=∠PFC
(1)当点P在BC上时(如图1),若tan∠ABC=
,求证:
BQ+BP=
AC;
(2)当点P在BC延长线上时(如图2),tan∠ABC=
,直接写出线段BQ、BP、AC之间的数量关系为
(3)在
(2)的条件下,连接PQ、连接AP,BE的延长线交AP于点G(如图3),若PQ=
BC,AB=5.求EG的长.
20.在菱形ABCD中,∠A=60°,以D为顶点作等边三角形DEF,连接EC,点N、P分别为EC、BC的中点,连接NP
(1)如图1,若点E在DP上,EF与CD交于点M,连接MN,CE=3,求MN的长;
(2)如图2,若M为EF中点,求证:
MN=PN;
(3)如图3,若四边形ABCD为平行四边形,且∠A=∠DBC≠60°,以D为顶点作三角形DEF,满足DE=DF且∠EDF=∠ABD,M、N、P仍分别为EF、EC、BC的中点,请探究∠ABD与∠MNP的和是否为一个定值,并证明你的结论.
21.如图1,在等腰△ABC中,AB=AC,∠ABC=α,过点A作BC的平行线与∠ABC的平分线交于点D,连接CD.
(1)求证:
AC=AD;
(2)点G为线段CD延长线上一点,将GC绕着点G逆时针旋转β,与射线BD交于点E.
①如图1,若β=α,DG=2AD,试判断BC与EG之间的数量关系,并证明你的结论;
②若β=2α,DG=kAD,请直接写出
的值(用含k的代数式表示).
22.如图1,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,若点E在AB的延长线上,EF∥AD,EF=BE,点P是DE的中点,连接FP并延长交AD于点G.
(1)过D作DH⊥AB,垂足为H,若DH=2
,BE=
AB,求DG的长;
(2)连接CP,求证:
CP⊥FP;
(3)如图2,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,若点E在CB的延长线上运动,点F在AB的延长线上运动,且BE=BF,连接DE,点P为DE的中点,连接FP、CP,那么第
(2)问的结论成立吗?
若成立,求出
的值;若不成立,请说明理由.
23.已知:
等边△ABC中,D是射线AB上的点,点E是边AC上的点,线段DE交BC于F.
(1)如图1,若DF=EF,求证:
2CF﹣CE=AB;
(2)如图2,若EF=
DF,直接写出CF、CE、AB之间的数量关系 ;
(3)在②的条件下,连接AF、BE,BE与AF交于点N,过点E作EM⊥AF,垂足为M,连接BM、MC,若FC=6,EC=
,求线段
的值.
24.已知,△ABC为等边三角形,点D、E分别在直线BC、AC上,且CD=AE,直线AD、BE相交于点N,过点B作BM⊥AD于点M.
(1)如图1,当点D在BC边上,点E在AC边上,求证:
AD﹣2MN=EN;
(2)如图2,当点D在CB延长线上,点E在AC延长线上,请直接写出AD、MN、EN的关系;
(3)如图2,在
(2)的条件下,若NB=ND,MN=2,AC=4
,求△BCE的面积.
25.已知在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=kBC,直线l经过点A,过点C、B分别向直线l作垂线,垂足分别为E、F,CE交AB于点M.
(1)如图1,若k=1,求证:
AE+BF=CE;
(2)如图2,若k=2,则AE、BF、CE之间的数量关系是 ;
(3)在
(2)的条件下,如图3,连接CF,过点A作AG∥CF,交CE延长线于点G,若CF=3
,BF=5,求MG的长.
26.已知:
如图,正方形ABCD,对角线AC、BD相交于O,Q为线段DB上的一点,∠MQN=90°,点M、N分别在直线BC、DC上,
(1)如图1,当Q为线段OD的中点时,求证:
DN+
BM=
BC;
(2)如图2,当Q为线段OB的中点,点N在CD的延长线上时,则线段DN、BM、BC的数量关系为 ;
(3)在
(2)的条件下,连接MN,交AD、BD于点E、F,若MB:
MC=3:
1,NQ=
,求EF的长.
27.(中考几何)已知:
梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,BE⊥CD于点E.DP⊥CB于点P,连接AP、AE.
(1)如图1,若∠C=45°,求证:
.
(2)如图2,若∠C=60°,直接写出线段AP、AE的数量关系 .
(3)在
(1)的条件下,将线段EA绕点E顺时针旋转得到线段
,使∠DEA′=∠DEA,直线EA′分别与线段BA延长线、线段BC交于点N、点K,已知AD=1,EK=
.求线段NE的长.
28.(中考几何)已知:
如图,直角梯形ABCD中AD∥BC,∠A=90°,CD=CB=2AD.点Q是AB边中点,点P在CD边上运动,以点P为直角顶点作直角∠MPN,∠MPN的两边分别与AB边、CB边交于点M、N.
(1)若点P与点D重合,点M在线段AQ上,如图
(1).求证:
.
(2)若点P是CD中点,点M在线段BQ上,如图
(2).线段MQ、CN、BC的数量关系是:
,并证明你的猜想.
29.(中考几何)已知:
点P为正方形ABCD内部一点,且∠BPC=90°,过点P的直线分别交边AB、边CD于点E、点F.
(1)如图1,当PC=PB时,则
、
、
之间的数量关系为 ;
(2)如图2,当PC=2PB时,求证:
;
(3)在
(2)的条件下,Q为AD边上一点,且∠PQF=90°,连接BD,BD交QF于点N,若
,BE=6.求线段DN的长.
30.(中考几何)矩形ABCD,∠ACD=30°,点E为矩形ABCD的边BC上一动点,∠EAD的平分线交CD于点F过点A作EA的垂线交CD的延长线于点G
(1)如图1,求证:
AG=DF+
BE;
(2)当点E与点C重合时,如图2,点H在GA的延长线上,连接BH,点M为BH中点,连接FM,FM=
,连接HC交AB于点N,若
,求HN的长.
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