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lingo练习题目的答案
2线性规划习题答案
1、试述线性规划数学模型的组成部分及其特性
用一组决策变量表示某一方案,这组决策变量均为非负的连续变量;
存在一定数量(m)的约束条件,这些约束条件可以用关于决策变量的一组线性等式或者不等式来加以表示;
有一个可以用决策变量加以表示的目标函数,而该函数是一个线性函数。
答:
线性规划数学模型由决策变量、约束条件和目标函数三个部分组成。
线性规划数学模型特征:
(1)
2、一家餐厅
(2)
24小时全天候营业,在各时间段中所需要的服务员数量分别为:
2:
00~6:
00
3
人
6
:
00~10:
00
9
人
10:
00~14:
00
12
人
14
:
00~18:
00
5
人
18:
00~22:
00
18
人
22
:
00~2:
00
4
人
问该餐厅至少配备多少服务
设服务员在各时间段的开始时点上上班并连续工作八小时,员,才能满足各个时间段对人员的需要。
试构造此问题的数学模型。
解:
用决策变量Xi,X2,X3,X4,X5,X6分别表示2:
00~6:
00,6:
00~10:
00,10:
00~14:
X1,X2,X3,X4,X5,X60
米的元钢各100根,已知原材料的长度是7.4米,问应
3、现要截取2.9米、2.1米和1.5
方法一
解:
圆钢的截取有不同的方案,
如何下料,才能使所消耗的原材料最省。
试构造此问题的数学模型。
用0表示每种切割方案的剩余材料。
其切割方案如下所示:
0
目标函数为求所剩余的材料最少,即
minZ0.9x1
Xi,X2,X3,X4,X5,X6,X7,X8
方法二
解:
由题意,因为所有套裁方案有21种,全部写出需考虑因素太多,故需先做简化。
原材料合理利用简化图表
案下料数\规格\
I
n
m
IV
V
不必考虑的其他16
种方案
米、
1
2
0
1
0
米
0
0
2
2
1
米
3
1
2
0
3
合计(米)
<
料头(米)
0
>
又由于目标是使所用原材料最少,所以,仅需考虑最省的五个方案即可。
设Xi是第i种套裁方案所用的原材料根数,
+0.3X4+0.8X5
Minz=0X1+0.1X2+0.2X3
x1+2x2+x4
100
2X3+2X4+X5
100
3x1+x2+2x3
+3x5
100
Xj00=1,2,
5)
五种套裁方案实施后,可得的
米钢筋的根数。
五种套裁方案实施后,可得的
米钢筋的根数。
五种套裁方案实施后,可得的
米钢筋的根数。
X1=30,
X2=10,X3=0,X
4=50,X5=0
只需90根原材料,目标函数值最小为90即可。
BC加工成三种不同牌号的糖果甲、乙、丙。
已知各种牌号糖果中
4、某糖果厂用原料A
A、BC三种原料的含量要求、各种原料的单位成本、各种原料每月的限制用量、三种牌号糖果的单位加工费及售价如表1所示。
问该厂每月生产这三种牌号糖果各多少千克,才能使
该厂获利最大试建立这个问题的线性规划模型。
甲
乙
丙
原料成本
限制用量
A
60%以上
15%以上
2000
B
2500
C
20%以下
60%以下
50%以下
1200
加工费
售价
方法一
解:
设X1,X2,X3分别为甲糖果中A,B,C的成分;X4,X5,X6分别为乙糖果中A,B,C的成分;X7,X8,X9分别为丙糖果中A,B,C的成分。
由题意,有
maxz(3.400.50)(x1x2x3)(2.850.40)(x4x5x6)
IX1,X2,X3,X4,X5,X6,X7,X8,X90
maxz0.9x-i1.4x21.9x30.45x4
0.05x70.45x80.95x9
0.4X,
0.6x20.6x3
0
0.2X,
0.2x20.8x3
0
0.85x4
0.15x50.15x60
0.6x4
0.6x50.4X6
0
0.5x7
0.5x80.5x9
0
X1X4
X72000
X2X5
x82500
X3X6
X91200
对上式进行整理得到所求问题的线性规划模型:
r
0.95X51.45x6
方法二
即令X1=甲A,
在约束条件中共有9个变量,为方便计算,分别用x1,x2...x9表示,
%2=甲B,X3=甲C,%4=乙A,X5=乙B,X6=乙c,X7=丙a,Xg=丙b,X9=丙c
由此约束条件可以表示为:
2
-3X1
X2
X30
-X1-X2
4X3
0
17
-=X4
X5
X6(
3
2
-X4-X5
-X
60
3
-X7-X8
X9
0
x1+x4
X7
2000
X2+X5
X8
2500
X3+X6
X9
1200
Xl,X2,X3,X4,X5,X6,X7,X8,X90
我们的目的是使利润最大,即产品售价减加工费再减去原材料的价格为最大。
目标函数为
MaxZ0.9x,1.4x21.9x30.45x40.95疋1.45x60.05x70.45x80.95x9
5、某厂在今后4个月内需租用仓库存放物资,已知各个月所需的仓库面积如表2所示。
租
金与租借合同的长短有关,租用的时间越长,享受的优惠越大,具体数字见表3。
租借仓库
的合同每月初都可办理,每份合同具体规定租用面积数和期限。
因此该厂可根据需要在任何
一个月初办理租借合同,且每次办理时,可签一份,也可同时签若干份租用面积和租借期限
不同的合同,总的目标是使所付的租借费用最小。
试根据上述要求,建立一个线性规划的数
学模型。
表2
月份
1
2
3
4
所需面积(100m)
15
10
20
12
表3
合同租借期限
1个月
2个月
3个月
4个月
单位(1oom)租金(元)
2800
4500
6000
7300
解:
设Xij(i=1,2,3,4;j=1,2...4-i+1)为第i个月初签订的租借期限为j个月的合同租
100m2仓库面积租借期为
借面积(单位:
100m2);ri表示第i个月所需的面积(j表示每
600
0(X13
X23)
7300x14
广X11
X12
X13
X14
15
X12
X13
X14X21
X22X23
10
X13
X14
X22X23X31
X32
20
X14
X23
X32+X41
12
Xij
0,i,
j1
2,3,4,i
j5
4i1
MinZ
ex
匕八ij
j1
rk(k123,4)
k4i1
X八ij
i1jki1
Xij0(i1,2,3,4;j1,2...4i1)
100公顷土地及25万元资金可用于发展生产。
农场劳动力情况为秋冬季4500
春夏季收入为20元/人日,秋冬
6、某农场有
人日,春夏季6000人日,如劳动力本身过剩可外出打工,
季12元/人日。
该农场种植三种作物:
大豆、玉米和小麦,并饲养奶牛和鸡。
种作物不需要专门投资,而饲养动物时每头奶牛投资8000元,每只鸡投资2元。
养奶牛时每头需拨出
1.5公顷土地种饲草,并占用人工秋冬季为100人日,春夏季为50人日,年净收入3000元
/每头奶牛。
养鸡不占土地,需人工为每只鸡秋冬季人日,春夏季人日,年净收入为每只8
元。
农场现有鸡舍允许最多养5000只鸡,牛栏允许最多养50头奶牛,三种作物每年需要的人工及收入情况如表4所示。
试决定该农场的经营方案,使年净收入最大。
大豆
玉米
麦子
每公顷秋冬季所需人日数
20
35
10
每公顷春夏季所需人日数
50
75
40
年净收入(元/公顷)
1100
1500
900
解:
设Xi,X2,X3分别代表大豆、玉米、麦子的种植数(公顷);X4,X5分别代表奶牛和鸡
的饲养数;X6,X7分别代表秋冬季和春夏季多余的劳动力(人.日数)则有
MaxZ
1100x1
厂X1X2
1.5x4
8000x4
2X5
1500x2900x33000x48x512x620x7
20x1
50x1
X4
100(土地限制)
250000资金限制)
10x3100x40.3x5
40x350x4
35冷
75X2
50(牛栏限制)
5000(鸡栏限制)
0.1x5
x6
x7
4500(劳动力限制)
4500(劳动力限制)
JX1,X2,X3,X4,X5,X6,X7
0
用图解法求解下列线性规划问题
(1)
maxZ2x1x2
(2)maxz3x12x2
(4X13X212
广x12x24
2x1X28
3x12x214
彳
4x1x28
x1x23
X1,X20
(3) maxz2x13x2 (4)maxzx1x2 "X1X22 广X1X20 Y3x1x24 Y3x1x23 X5 0 7、 Xi,X2 Xi,X20 解: (1) *T 中一个是X(4,1)t 找不到可行域,此题为无可行解 Xi+ X2+ X3+X4 =5 Xi+ X2 + X5=2 2x1+ X2+ X3+ X6=6 Xi, X6 0 2xi X2X3X4 通过观察写出初始的基可行解并构造初始单纯形表; 在保持X2和X3为零的情况下,给出非基变量X1增加一个单位时的可行解,并 指出目标函数的净增量是多少 在模型约束条件的限制下,X1的最大增量是多少 在Xi有其最大增量时,给出一个新的基可行解。 T 解: (1)因存在初始可行基 X4,X5,X6,故可令X1,X2,X3全为0,则可得初始可行解为 (0,0,0,5,2,6)t,Z=5。 初始单纯行表为: Cj 2 -1 1 1 0 0 b CB Xb X1 X 2 X 3 X4 X 5 X6 1 X4 -1 1 1 1 0 0 5 0 X5 1 1 0 0 1 0 2 0 X6 2 1 1 0 0 1 6 j 3 -2 0 0 0 0 z=0 ⑵非基变量X2,X3仍然取零,X1由0变为1,即X1=1,X2=0,X3=0,代入约束条件得一个 可行解X=(1,0,0,6,1,4)t。 其目标函数值为Z=8 因此,随着X1增加1个单位目标函数值的净增量为^Z=8-5=3. (3)因为决策变量全非负所以由约束条件①知Xj增加可以引起X2,x3,x4增加,即条件① 对xi无约束;由约束条件②知Xi增加可引起X2,X5减少,由非负约束知xi最大增量为2;同理可得约束条件③的X1最大增量为3,综合得X1的最大增量为2。 (4)Xi=2,非基变量X2=0,X3=0,代入约束条件得基可行解X=(2,0,0,7,2,2)T,目标函 数值为Z=11。 9、将线性规划模型转化为标准形式 (3)第一个约束条件引入松弛变量X7,第三个约束条件引入X8作为松弛变量。 (4)目标函数同乘“-1”,即可实现最少化。 x710 8 X1X22X3X5X6 2x43x25x3Xs x-ix26x34x54x5X12 X1,X2,X3,X4,X5,X6,X7,X80 10、用单纯形法求解下述线性规划问题 x? TX2,X3 (1)解: 构造初始单纯行表,并进行初等变换,得: cj 3 1 1 1 b G Xb X1 X 2 X 3X 4 1 X3 -2 (2) 1 0 4 1 X4 3 1 0 1 6 j 2 -2 0 0 w=10 1 X2 -1 1 1/2 0 2 1 X4 4 0 -1/2 1 4 j 0 0 1 0 w=6 最优解X*(0,2,0,4)t,由非基变量X1的检验数为0,知此问题有无穷多最有解,所以该解 (2)解: 此问题用大M法求解,先把问题标准化为: minZ4x15x2x3Mx6Mx7 3xi2x2X3X4X618 2xiX2X54 XiX2X3X75 Xi,X2,X3,X4,X5,X6,X70 构造初始单纯行表,并进行初等变换,得: Cj -4 -5-1 0 0M M b Cb Xb Xi X 2 X3 X4 X5X6X7 M X6 3 2 1 -1 010 18 0 X5 (2) 1 0 0 10 0 4 M X7 1 1 -1 0 00 1 5 j -4-4M -5-3M- 11 M00 0 M X6 0 1/2 1 -1 -2/31 0 12 -4 Xi 1(1/2) 0 0 1/20 0 2 M X7 0 1/2 -1 0 -1/20 1 3 j 0 -5 -1 M 2M+20 0 M X6 -1 0 (1) -1 -21 0 10 -5 X2 2 1 0 0 100 4 M X7 -1 0 -1 0 -10i 1 j 2M-4 0 -1 M 3M+50 0 -1 X3 -1 0 1 -1 -21 0 10 -5 X2 2 1 0 0 100 4 M X7 -2 0 0 -1 -311 11 j 2M+5 0 0 M-13M+31 0 因为所有检验数均为非负,但人工变量X7仍为基变量,故此问题无解。 11、求解线性规划问题并给出其中三个最优解: minw3x1x2x3x4 3x1X2X46 Xi,X2,X3,X40 解: 构造初始单纯行表,并进行初等变换,得: Cj 3 1 1 1 b CB Xb X1 X 2 X3X 4 1 X3 -2 (2) 10 4 1 X4 3 1 0 1 6 j 2 -2 0 0 w=10 1 X2 -1 1 1/2 0 2 1 X4 (4) 0 -1/2 1 4 j 0 0 1 0 w=6 1 X2 0 1 3/8 1/4 3 3 X1 1 0 -1/8 1/4 1 j 0 0 1 0 w=6 *T*T 从单纯形表可以找到两个顶点,X1(0,2,0,4)',X2(1,3,0,0)'。 可以找到变量之间 存在以下关系: X2=X1+2;X4=—4X1+4;X30 *T 令X1=1/2则有X3(1/2,5/2,0,2),从而找到了LP问题的三个最优解。 若2=0,则1 若为无界解,则满足能找到入基变量,但找不到出基变量的条件。 1,且2>0;10。 即满足: 1>2,且1>0; 以Xi代替X6,即Xi入基,X6出基,则有以下关系成立: 第二天下午的题目答案: 1设: 生产A产品x吨,生产B产品y吨。 则: 生产的利润为: 投资费用为: 需要满足的约束条件为: 综上所述: 目标函数: Min Max 约束条件: 对于上述多目标规划问题, 如果决策者提出的期望目标是: (1)、每个月的投资不超过30000元; (2)、每个月的利润不少于45000元(3)两个目标函数的重要性相同。 求解程序如下: (1)编辑目标函数M文件functionf=ff12(x)f (1)=2100*x (1)+4800*x (2); f (2)=-3600*x (1)+6500*x (2); (2)按给定目标得: goal=[30000,-5000]; weight=[30000,45000]; (3)给出约束条件: A=[10;01;-1-1];b=[5,8,-9];lb=zeros(2,1);函数: x0=[2,2]; (4)调用fgoalattain[x,fval,attainfactor,exitflag]=fgoalattain(@ff12,x0,goal,weight,A,b,[],[],lb,[]) 运行后,输出结果为: x= 54 fval= 2970044000 attainfactor= exitflag= 1 有上述数据可得: 当生产A产品5吨,生产B产品4吨时,既能满足市场需求,又节约投资,而且使生产利润达到最大,此时: 投资为: 29700元,利润为44000元。
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