小升初数学专题复习训练拓展与提高数论3知识点总结+同步测试.docx
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小升初数学专题复习训练拓展与提高数论3知识点总结+同步测试
2020年小升初数学专题复习训练—拓展与提高
数论(3)
知识点复习
一.约数个数与约数和定理
【知识点归纳】
约数个数与约数和定理
设自然数n的质因子分解式如n=p1×p2×…×pk那么:
n的约数个数公式:
d(n)=(a1+1)(a2+1)…(ak+1)
n的所有约数和:
f(n)=(p10+p11+p12+…p1a1)(p20+p21+p22+…p2a2)…(pk0+pk1+pk2+…pkak)
【命题方向】
例1:
105可以分解成105=3×5×7,它的约数共有( )
A、4个 B、6个 C、8个 D、10个
分析:
根据求一个数约数的个数的计算方法:
所有相同质因数的个数加1连乘的积就是这个数约数的个数,即(1+1)×(1+1)×(1+1)=8个,然后解答可得出答案.
解:
105=3×5×7,
共有(1+1)×(1+1)×(1+1)=8(个)约数,
答:
它的约数共有8个.
故选:
C.
点评:
此题主要考查一个合数的约数个数的计算公式:
a=pα×qβ×rγ(其中a为合数,p、q、r是质数),则a的约数共有(α+1)(β+1)(γ+1)个约数.
例2:
恰有20个因数的最小自然数是( )
A、120 B、240 C、360 D、432
分析:
首先把20拆成几个数的乘积,利用求约数个数的方法,从最小的质因数2考虑,依次增大,找出问题的答案即可.
解:
20=20=2×10=4×5=2×2×5;
四种情况下的最小自然数分别为:
219、29×3、24×33、24×3×5,其中最小的是最后一个24×3×5=240.
故选:
B.
点评:
此题巧用求一个数约数的方法,从最小的质因数着手,分析不同的情形,得出结论.
二.同余定理
【知识点归纳】
所谓的同余,顾名思义,就是许多的数被一个数d去除,有相同的余数.d数学上的称谓为模.如a=6,b=1,d=5,则我们说a和b是模d同余的.因为他们都有相同的余数1.
【命题方向】
例1:
一个两位数,除以3余1,除以5余3,这个两位数最大是( )
A、78 B、88 C、98 D、90
分析:
除以3余1,除以5余3,那么这个数不是3和5的倍数;由此用排除法求解.
解:
除以3余1,除以5余3,那么这个数不是3和5的倍数;
A、7+8=15;15是3的倍数,所以78是3的倍数,故A错误;
D、5的倍数的个位数都是0或5的整数,90的个位数字是0,那么是5的倍数,故D错误;
BC、而这个数的末尾应是3或8;B和C都符合,只要再看哪个数除以3余1即可.
88÷3=29…1;
98÷3=32…2;
88除以3余1,所以88符合要求.
故选:
B.
点评:
本题先根据余数的特点,找出这个数的可能性,再利用排除法进行求解.
例2:
有一整数,除300,262,205得到的余数相同,这个整数是19.
分析:
这个数除300、262,得到相同的余数,所以这个数整除300-262=38,同理,这个数整除262-205=57以及300-205=95,因此,求出38、57、95的最大公约数1即是所求结论.
解:
300-262=38,2
62-205=57,
300-205=95.
38,57,95的最大公约数是19.这个整数是19.
故答案为:
19.
点评:
此题考查了学生最大公约数的知识,以及整除的性质.
【解题方法点拨】
同余式定律6的应用,我们知道一个数的各个位数之和如果能被3整除那么这个数也能被3整除,如12,因为1+2=3能被3整除,所以12也能被3整除.如果我们利用定律6,就可以找出任何一个数能被另一个数整除的表达式来.
如我们用11来试试,11可以表示为10+1,所以有同余式:
10≡-1(mod11)
把上式两边都乘以各自,即:
10×10≡(-1)(-1)=1(mod11)
10×10×10≡(-1)(-1)(-1)=-1(mod11)
10×10×10×10≡1(mod11)
我们可以发现,任何一个(在十进制系统中表示的)整数
如果它的数码交替到变号之和能被11整除,这个数就能被11整除,如1353这个数它的数码交替变号之和为:
1+(-3)+5+(-3)=0,因为0能被11整除,所以1353也能被11整除.其他的数的找法也一样,都是两边都乘以各自的数,然后找出右边的数的循环数列即可.
三.完全平方数性质
【知识点归纳】
1.完全平方数定义:
完全平方即用一个整数乘以自己例如1×1,2×2,3×3等等,依此类推.若一个数能表示成某个自然数的平方的形式,则称这个数为完全平方数.
2.性质:
性质1:
完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9.
性质2:
奇数的平方的个位数字为奇数,十位数字为偶数.
性质3:
如果完全平方数的十位数字是奇数,则它的个位数字一定是6;反之,如果完全平方数的个位数字是6,则它的十位数字一定是奇数.
性质4:
偶数的平方是4的倍数;奇数的平方是4的倍数加1.
性质5:
奇数的平方是8n+1型;偶数的平方为8n或8n+4型.
性质6:
平方数的形式必为下列两种之一:
3k,3k+1.
性质7:
不能被5整除的数的平方为5k±1型,能被5整除的数的平方为5k型.
性质8:
平方数的形式具有下列形式之一:
16m,16m+1,16m+4,16m+9.性质9:
完全平方数的数字之和只能是0,1,4,7,9.
【命题方向】
例1:
一个整数a与1080的乘积是一个完全平方数.则a的最小值是( )
A、30 B、20 C、120 D、60
分析:
一个整数a与1080的乘积是一个完全平方数,所以将1080×a的乘积分解质因数后,其质数的指数一定全为偶数,据此分析解答即可.
解:
因为1080×a是一个完全平方数,所以乘积分解质因数后,各质因数的指数一定全是偶数;
而1080=23×33×5的质因数分解中各质因数的指数都是奇数,
所以,a必含质因数2、3、5,因此a最小为2×3×5=30.
故选:
A.
点评:
明确完全平方的数的质因数的指数为一定全为偶数是完成本题的关键.
例2:
,
,
,
是四个四位数,其中“*”代表不能辨认的数字,若其中有一个数是完成平方数,那么这个数是( )
A、
B、
C、
D、
分析:
根据0-9的平方,所以完全平方数个位不能为2,3,7,8,故19*8被排除;
如果个位数字是5,其平方数为个位是5,十位则为2,所以**45被排除;
个位为1或9时,完全平方数的个位为1,通过试探,23*1也不是完全平方数;
综上,只有3*49是完全平方数,即572=3249.
解:
①完全平方数个位不能为2,3,7,8,故19*8被排除;
②如果个位数字是5,其平方数为个位是5,十位则为2,所以**45被排除;
③个位为1或9时,完全平方数的个位为1,通过试探,23*1也不是完全平方数;
因此,只有3*49是完全平方数,即572=3249.
故选:
D.
点评:
此题通过寻找规律,根据完全平方数的性质,运用排除法进行解答.
四.孙子定理(中国剩余定理)
【知识点归纳】
1.孙子定理的含义:
也叫中国剩余定理.《孙子算经》中“物不知数”问题说:
“今有物,不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?
”即被三除余二,被五除余三,被七除余二的最小整数.这个问题称作孙子问题,俗称韩信点兵.其正确解法叫做孙子剩余定理.
2.中国剩余定理的结论:
令任意固定整数为M,当M/A余a,M/B余b,M/C余c,M/D余d,…,M/Z余z时,这里的A,B,C,D,…,Z为除数,除数为任意自然数(如果为0,没有任何意义,如果为1,在孙子定理中没有计算和探讨的价值,所以,不包括0和1)时;余数a,b,c,d,z为自然整数时.
1.当命题正确时,在这些除数的最小公倍数内有解,有唯一的解,每一个最小公倍数内都有唯一的解;当命题错误时,在整个自然数范围内都无解.
2.当M在两个或两个以上的除数的最小公倍数内时,这两个或两个以上的除数和余数可以定位M在最小公倍数内的具体位置,也就是M的大小.
3.正确的命题,指没有矛盾的命题:
分别除以A,B,C,D,…,Z不同的余数组合个数=A,B,C,D,…,Z的最小公倍数=不同的余数组合的循环周期.
【命题方向】
例1:
设ɑ是一个满足下列条件的最大的正整数:
使得用ɑ除64的余数是4;用ɑ除155的余数是5;用ɑ除187的余数是7,则ɑ=( )
A、10 B、15 C、30 D、60
分析:
根据题意可知,a一定能整除(64-4)、(155-5)、(187-7),即a一定是60、150、180的最大公因数,只要用短除法即可求出最大公因数.
解:
64-4=60
155-5=150
187-7=180
所以60、150、180的最大公因数是:
5×3×2=30
因此,a=30.
故选:
C.
点评:
本题考查了孙子定理,由于本题是求的最大的“模”,所以可以简单地用求最大公因数的方法解答.
例2:
某小学的六年级有一百多名学生.若按三人一行排队,则多出一人;若按五人一行排队,则多出二人;若按七人一行排队,则多出一人.该年级的人数是127.
分析:
此题属于孙子定理,又叫同余定理,中国剩余定理,分组时,只要余数相同,求总数,就可以先求出分组时组员数目的最小公倍数,然后再加上余数;本题有两个余数,可分部求解.
解:
因为按3人和7人一行排队都多出1人,所以总人数应该是3和7的公倍数多1人,即22、43、64、85、106、127、148、169、190、211、…
其中符合题意一百多名的只有106、127、148、169、190这五个数
同理,又因为按5人一行排队多2人,所以总人数应该是5的倍数多2,所以总人数的最后一位数字应该是2或7
最终符合题意的是127.
答:
该年级的人数是127.
故答案为:
127.
点评:
此题考查了孙子定理,根据已知条件,只要分组时余数相同,就求最小公倍数,然后加上余数,明白同余定理是解决此题的关键.
五.辗转相除法
【知识点归纳】
1.什么是辗转相除法,又名欧几里德算法(Euclideanalgorithm)乃求两个正整数之最大公因子的算法.
2.原理:
两个整数的最大公约数等于其中较小的数和两数的相除余数的最大公约数.
3.举例子:
有定理:
已知a,b,c为正整数,若a除以b余c,则(a,b)=(b,c).(证明过程请参考其它资料)例:
求15750与27216的最大公约数.
解:
∵27216=15750×1+11466
∴(15750,27216)=(15750,11466)
∵15750=11466×1+4284
∴(15750,11466)=(11466,4284)
∵11466=4284×2+2898
∴(11466,4284)=(4284,2898)
∵4284=2898×1+1386
∴(4284,2898)=(2898,1386)
∵2898=1386×2+126
∴(2898,1386)=(1386,126)
∵1386=126×11
∴(1386,126)=126
所以(15750,27216)=216.
【命题方向】
例1:
从一张长2109毫米,宽627毫米的长方形纸片上,剪下一个边长尽可能大的正方形,如果剩下的部分不是正方形,那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形,按照上面的过程,不断地重复,最后剪得的正方形的边长是57毫米.
分析:
因为2109=627×3+228(也就是第1~3次剪下的正方形的边长为627毫米); 627=228×2+171;228=171×1+57;171=57×3.由以上算式可以看出,这种方法就是用大数除以小数,再用上次运算中的除数除以余数,如此反复除,直到余数为零.最后一个除数就是两数的最大公约数.这是因为:
两个数的最大公约数,同时是两个数的约数,也就是余数的约数.拿此题来讲,2109和627的公约数,也就是627和228的公约数.由于171是57的倍数,所以它们的最大公约数就是57,即2109与627的最大公约数.
解:
2109=627×3+228;
627=228×2+171;
228=171×1+57;
171=57×3.
故答案为:
57.
点评:
此题考查了求最大公约数的另一个办法--辗转相除法.
例2:
用辗转相减法求:
1008,1260,882,1134这四个数的最大公因数.
分析:
用辗转相除法求出其中任意两个数的最大公因数,再求出这个公因数与另外两个数公因数的最大公因数;据此解答.
解 因为1008=252×4,
1260=252×5,
所以:
(1008,1260)=252,
又因为882=126×7,
1134=126×9,
所以:
(882,1134)=126,
又因为252=126×2,
126=126×1,
所以:
(252,126)=126,
所以:
(1008,1260,882,1134)=126.
点评:
对任意整数a,b,b>0,存在唯一的整数q,r,使a=bq+r,其中0≤r<b,这个事实称为带余除法定理,若c|a,c|b,则称c是a,b的公因数.若d是a,b的公因数,且d可被a,b的任意公因数整除则称d是a,b的最大公因数.当d≥0时,d是a,b公因数中最大者.若a,b的最大公因数等于1,则称a,b互素.累次利用带余除法可以求出a,b的最大公因数,这种方法常称为辗转相除法.
同步测试
一.选择题(共10小题)
1.(北京市第一实验小学学业考)一个两位数,除以3余1,除以5余3,这个两位数最大是( )
A.78B.88C.98D.90
2.一堆彩色玻璃球,二个二个一数余1个,三个三个一数余1个,五个五个一数也余1个,则这一堆玻璃球至少有( )个.
A.11B.16C.21D.31
3.有一堆草莓,比40个多,比50个少,分的份数与每份的个数同样多,这堆草莓有( )个.
A.42B.45C.49
4.已知69,90,125分别除以一个大于1的自然数N,它们的余数相同,那么81除以N的余数为( )
A.3B.4C.5D.7
5.6的因数有1、2、3、6,这几个因数之间的关系是:
1+2+3=6.像这样的数叫完全数.下面的数中,( )是完全数.
A.8B.18C.28
6.32的所有约数之和是( )
A.62B.63C.64
7.将数A分解质因数是A=2×3×5,那么因数有( )个.
A.3B.5C.6D.8
8.一个两位数是由3个不同的质数相乘得到的,它的因数共有( )个.
A.8B.6C.5D.3
9.一个数,除50余2,除65余5,除91余7,求这个数是( )
A.10B.11C.12D.13
10.对于一个正整数,如果小于这个数的所有正因数之和恰等于这个数,那么这个数是完全数.例如6,小于6的正因数共有1,2,3,因为6=1+2+3,所以6是一个完全数.下列数中是完全数的是( )
A.4B.15C.28D.31
二.填空题(共10小题)
11.(北京市第一实验小学学业考)有四个不同的自然数,其中任意两个数的和是2的倍数,任意三个数的和是3的倍数.为使这四个数的和尽可能地小,这四个数分别是 .
12.2310的所有约数的和是 .
13.4018和3239的最大公约数为 .
14.1、4、9完全平方数,18、27完全立方数,2、3、5、7、10、11、12…非平方也非立方数列,数列中第99个是 .
15.一个完全平方数有5个约数,那么这个数的立方有 个约数.
16.22003与20032的和除以7的余数是 .
17.一个自然数除以7余5,除以11余1,除以9余3,这个数最小是 .
18.一个两位数,用2,3,5去除都余1,这个两位数最小是 ,最大是 .
19.有一个三位数,其中个位上的数是百位上的数的3倍,且这个三位数除以5余4,除以11余3.这个三位数是 .
20.甲、乙两人合买了n个篮球,每个篮球n元,付钱时,甲先乙后,10元,10元地轮流付钱,当最后要付的钱不足10元时,轮到乙付,付完全款后,为了使两人所付的钱数同样多,则乙应给甲 元
三.判断题(共5小题)
21.如果一个完全平方数可以被5整除,则其末两位一定是25. (判断对错)
22.一个数被4除余1,被5除余2,被6除余3,这个数最小是117. .(判断对错)
23.三
(1)班有39名学生,做操时能排成正方形队伍 .(判断对错)
24.能同时被3、5、7除,都余2的最小三位数是107. .(判断对错)
25.自然数a只有两个因数,那么5a最多有3个因数. .(判断对错)
四.应用题(共5小题)
26.(北京市第一实验小学学业考)不满千人的士兵等分为4队,每队排成14人或12人一排都余8人,后来改为8人一排则无剩余.求一共有多少人?
27.某个大于1的整数除41、11得到的余数相等,那么这个整数可能是几?
28.一堆苹果不少于10个,三个三个的数,四个四个的数,五个五个的数都多两个,这堆苹果最少有多少个?
29.李老师买回一袋苹果,7个7个地数余3个,5个5个地数又多4个,3个3个地数正好数完.这袋苹果至少有多少个?
30.下面是一个算式:
1+1×2+1×2×3+1×2×3×4+1×2×3×4×5+1×2×3×4×5×
6这个算式的得数能否是某个数的平方?
参考答案与试题解析
一.选择题(共10小题)
1.【分析】除以3余1,除以5余3,那么这个数不是3和5的倍数;由此用排除法求解.
【解答】解:
除以3余1,除以5余3,那么这个数不是3和5的倍数;
A、7+8=15;
15是3的倍数,所以78是3的倍数,故A错误;
D、5的倍数的个位数都是0或5的整数,90的个位数字是0,那么是5的倍数,故D错误;
BC、而这个数的末尾应是3或8;B和C都符合,只要再看哪个数除以3余1即可.
88÷3=29…1;
98÷3=32…2;
88除以3余1,所以88符合要求.
故选:
B.
【点评】解决本题也可以这样想:
这个两位数是3和5的公倍数减2,由此得这个两位数是3×5×6﹣2=88.
2.【分析】“二个二个一数余1个,三个三个一数余1个,五个五个一数也余1个”,说明这堆玻璃球的个数是2、3、5的公倍数加1,求这堆玻璃球最少有多少个,先求出2、3、5的最小公倍数,然后加上1,由此解决问题即可.
【解答】解:
2、3、5是互质数,它们的最小公倍数是:
2×3×5=30;
玻璃球的个数就是30+1=31(个);
答:
这一堆玻璃球至少有31个.
故选:
D.
【点评】此题主要考查求三个数的最小公倍数的方法:
三个数互质,它们的最小公倍数是它们的积,并用此决解实际问题.
3.【分析】根据乘法口诀可知,七七四十九,由于这堆草莓,比40个多,比50个少,分的份数和每一份的个数同样多,只有49合适,所以这堆草莓有49个.
【解答】解:
由分析可知,比40个多,比50个少,
分的份数和每一份的个数同样多,
这堆草莓有49个.
故选:
C.
【点评】此题考查了乘法口诀在数学中的运用.
4.【分析】可设69=x+aa是余数,90=y+a,125=z+a,x,y,z能被这个自然数整除,相减之后即90﹣69=x﹣y能被这个自然数整除,所以得到这个结论:
这个数能同时整除它们的差,然后求出公约数即可解答.
【解答】解:
90﹣69=21,
125﹣69=56,
125﹣90=35,
21,56,35能同时被这个数整除,
21,56,35大于1的公约数为7.
81÷7=11…4
故选:
B.
【点评】本题主要考查了公约数的概念,通过同余得出他们的差能够整除这个自然数是解答本题的关键.
5.【分析】分别写出8、18、28的因数然后依题意判断即可.
【解答】解:
8的因数有:
1、2、4、8,1+2+4=7,8不是完全数;
18的因数有:
1、2、3、6、9、18,1+2+3+6+9=21,18不是完全数;
28的因数有:
1、2、4、7、14、28,1+2+4+7+14=28,28是完全数;
故选:
C.
【点评】本题可采用排除法注意判断作答.
6.【分析】先找出32的约数有1,2,4,8,16,32,然后把它们相加即可.
【解答】解:
32的约数有1,2,4,8,16,32,
1+2+4+8+16+32=63;
答:
32的所有约数之和是63;
故选:
B.
【点评】此类题做题的关键是先找出32的约数,然后根据题意,相加即可得出结论.
7.【分析】先求出A的乘积,再求这个数的约数,解决问题.
【解答】解:
A=2×3×5=30,
30的自因数有:
1、2、3、5、6、10、15、30,计8个.
答:
A的因数有8个.
故选:
D.
【点评】也可以这样解答:
2、3、5各一次,还有2×3,2×5,3×5,2×3×5,再加上1,共8个.
8.【分析】设这个数=a×b×c,则这个数的因数为:
1、a、b、c、ab、ac、bc、abc,共有8个;据此解答即可.
【解答】解:
设这个数=a×b×c,则这个数的因数有:
1、a、b、c、ab、ac、bc、abc,共有8个.
答:
一个两位数是由3个不同的质数相乘得到的,它的因数共有8个.
故选:
A.
【点评】解决本题的关键是将所有因数写出,再计数.
9.【分析】根据题意可得,50减去2,65减去5,91减去7,得到的差都是这个数倍数,然后求出它们的公因数即可.
【解答】解:
50﹣2=48
65﹣5=60
91﹣7=84
在三个选项中只有12是48、60、84的公因数;所以这个数是12.
故选:
C.
【点评】本题考查了余数问题与公因数问题的综合应用,关键是明确一个数减去它除以某个数的余数,得到的差一定是某数的倍数.
10.【分析】先将数4,15,28,31分解正因数,再求其小于它本身的所有正因数的和,最后判断是否等于这个数,即可得出结论.
【解答】解:
4,小于4的正因数共有1,2,因为4≠1+2,所以4不是一个完全数;
15,小于15的正因数共有1,3,5,因为15≠1+3+5,所以15不是一个完全数.
28,小于28的正因数共有1,2,4,7,14,因为28=1+2+4+7+14,所以28是一个完全数.
31,小于31的正因数共有1,因为31≠1,所以31不是一个完全数,
综上所述,4,15,28,31中,只有28是完全平方数,
故选:
C.
【点评】此题主要考查了一个数分解正因数的方法,新定义,找出一个整数的所有正因数是解本题的关键.
二.填空题(共10小题)
11.【分析】据题意可知,四个不同的自然数中其中任意两个数的和是2的倍数,根据数和的奇偶性可知,这四个自然数同为奇数,或同为偶数;由任意3个数的和都是3的倍数可知:
全是3的倍数,如果全是偶数,四数全是6的倍数即可;如果全是奇数,必须满足任意两数的差是6的倍数.总而言之,只要任意两数的差是6的倍数,即可满足题目要求如:
1,7,13,19
0、6,12,18,等.使这4个数的和尽可能少,则取0,6,12,18.
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