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力学总结
1、力的三要素,力对物体的作用效果取决于:
力的大小;力的方向;力的作用点。
2、力的大小表明物体间相互作用的强弱程度,在国际单位制中,力的单位是牛顿(N)千牛顿(KN)。
3、物体的平衡状态,是指物体相对于地球保持静止或作匀速直线运动的状态。
4、静力学公理
1)二力平衡公理:
作用在同一个物体上的两个力,使该物体处于平衡状态的条件是:
这两个力大小相等、方向相反,作用在同一条直线上。
二力杆:
只在两点受力而处于平衡状态的杆件称为二力构或二力杆。
2)作用与反作用力公理:
两个物体间的作用力和反作用力总是同时存在,它们大小相等,方向相反,沿同一条直线,分别作用在两个物体上。
3)加减平衡力系公理:
在作用于某物体(不考虑变形)的力系中,加入或减去一个平衡力系,并不改变原力系对物体的运动效果。
4)平行四边形法则:
作用于物体上同一点的两个力,可以合成为一个合力,合力的作用点也在该点,合力的大小和方向用以两分力为邻边所构成的平行四边形的对角线表示。
5、几种常见的约束及其约束力
1)柔约束反力:
限制物体的运动:
只能限制物体沿着柔体伸长方向的运动。
约束反力:
通过接触点,沿柔体中心线作用的拉力,即背离被约束的物体约束反力的方向总是和该约束所能阻碍物体的运动方向相反。
2)光滑面约束,只能限制物体沿着光滑面的垂线并指向光滑面的运动,而不能限制物体沿着光滑面或离开光滑面的运动。
约束反力:
通过接触点,沿接触面在该点的垂线方向作用的压力,即指向被约束的物体。
3)链杆约束,杆件两端是铰(或固定铰支座),且两铰之间不受任何力杆称为链杆。
限制物体的运动:
只能限制物体沿链杆的轴线方向的运动,而不能限制其它方向的运动。
约束反力:
链杆的约束反力沿链杆两端铰的连线,指向不定。
4.三种支座
(1).可动铰支座
限制物体的运动:
不能限制物体绕销钉轴线的转动和沿支承面方向的移动,只能限制构件沿垂直于支承面方向的移动。
约束反力:
通过构件与支承面,并垂直于支承面,方向可能向上,也可能向下。
(2)固定铰支座
限制物体的运动:
可限制物体在垂直于销钉轴线的平面内沿任意方向的移动,而不限制构件绕销钉轴线的转动。
约束反力:
两个互相垂直的未知力Fx、Fy来表示。
铰链:
如将一个圆柱形光滑销钉插入两个物体的圆孔中,就构成了圆柱铰链(图a),圆柱铰链简称为铰链。
门窗用的合页就是圆柱铰链的实例。
这种约束不能限制物体绕销钉转动,但能限制物体在垂直于销钉轴线的平面内沿任意方向的移动。
圆柱铰链的约束力也垂直于销钉轴线,用两个互相垂直的未知力Fx、Fy来表示。
(3)固定端支座
限制物体的运动:
既限制构件沿任何方向的移动,又限制构件的转动。
约束反力:
作用于插入处的水平约束反力和竖向约束反力,还有一个阻止转动的力偶。
作受力图要领归纳如下:
1、明确研究对象。
首先明确要画哪一个物体的受力图,然后把它所受的全部约束去掉,单独画出该研究物体的简图---画分离体。
2、注意约束反力与约束一一对应。
每解除一个约束,就有与它相应的约束反力作用在研究对象上,约束反力的方向依据约束的类型来画,不可根据主动力的方向简单推断。
3、注意作用与反作用关系。
在分析两物体之间的相互作用时,要符合作用与反作用的关系。
作用力的方向一经确定,反作用力的方向就必须与它相反,不能再随意假设。
4、同一约束反力的方向在不同的受力图中应保持一致。
5、画受力图时,通常应先找出二力杆或二力构件,画出它的受力图,然后再画其它物体的受力图。
●平面力系是指力的作用在全在同一平面内的力系。
平面力系可分为:
平面汇交力系、平面平行力系、平面力偶系和平面任意力系。
●力的投影
例:
试求图中各力在x、y轴上的投影。
已知F1=100N,F2=150N,F3=F4=200N。
解:
Fx1=F1cos45°=100×0.707=70.7N
Fy1=F1sin45°=100×0.707=70.7N
Fx2=-F2cos30°=-150×0.866=-129.9N
Fy2=F2sin30°=150×0.5=75N
Fx3=F3cos60°=200×0.5=100N
Fy3=-F3sin60°=-200×0.866=-173.2N
Fx4=F4cos90°=0
Fy4=-F4sin90°=-200×1=-200N
Ø平面汇交力系的平衡条件:
力系中所有各力在两个坐标轴上的投影的代数和分别为零。
平面汇交力系只有两个独立的平衡方程,应用这两个方程可以求解两个未知量,步骤如下:
1)选取研究对象。
2)画受力图。
要正确应用二力杆的性质,注意物体间的作用与反作用关系当约束反力指向未定时应先假设。
3)选坐标轴。
最好使某一坐标轴与一个未知力垂直,以便简化计算。
4)列平衡方程求解未知量。
列方程时要注意各力的投影的正负号。
如求出
未知力为负值,说明该力的实际方向与假设的方向相反。
求下图a所示三角支架中杆AC和杆BC所受的力(已知重物D重W=10kN)
解:
(1)取铰C为研究对象。
因杆AC和杆BC都是二力杆,所以FNAC和FNBC的作用线都沿杆轴方向。
现假定FNAC为拉力,FNBC为压力,受力图如图b所示。
(2)选取坐标系如图b所示。
(3)列平衡方程,求解未知力FNAC和FNBC。
由∑Fy=0,FNACsin60°-W=0
得FNAC=11.55kN
由∑Fx=0,FNBC-FNACcos60°=0
得FNBC=FNACcos60°=5.77kN
力矩的概念:
用力的大小与力臂的乘积Fd再加上正号或负号表示力F使物体绕O点转的矩,简称为力矩。
MO(F)=±Fd
注意:
计算力臂必须要从矩心到力的作用线作垂线,这样求出的矩心到垂足的距离才是力臂。
力矩的单位是力的单位和距离的单位的乘积。
常用单位是牛顿·米(N·m)或千牛顿·米(kN·m)。
例:
扳手分别受到F1、F2、F3作用,如图所示。
求各力分别对螺帽中心O的力矩。
已知F1=F2=F3=100N。
力偶的概念:
由大小相等、方向相反、作用线平行但不共线的两个力组成的力系,称为力偶。
组成力偶的两个力虽然大小相等、方向相反,但却不在同一作用线上,所以不是一对平衡力。
所以力偶矩为代数量,即:
Me=±Fd
力偶矩的单位和力矩的单位相同,常用牛顿·米(N·m)或千牛顿·米(kN·m)表示。
梁AB上作用一个力偶,其力偶矩Me=100kNm,力偶的转向如图a所示。
若梁长l=5m,重量不计,试求A、B支座的反力。
解:
(1)画受力图如图b所示。
(2)物体在力偶系作用下处于平衡状态,满足平衡方程:
由ΣMei=0得FNAl-Me=0
所以:
FNA=20kN(↓)
FNB=FNA=20kN(↑)
Ø平面一般力系的平衡条件
物体在平面一般力系作用下处于平衡状态,该物体就不能产生移动和转动,因此平面一般力系的平衡条件为:
力系中所有各力在两个坐标轴中x、y每一轴上的投影的代数和都等于零;力系中所有各力对任一点的力矩的代数和等于零。
即
或二力矩形式
悬臂梁AB上受到集度为q的均布荷载作用,并在B端作用一集中力F,如图a所示。
设梁长l=2m,q=4kN/m,F=10kN,试求固定端A的约束力。
解:
画出AB的受力图如图(b)所示
由ΣFx=0得FAx=0
由ΣFy=0,FAy-ql-F=0
得FAy=ql+F=4×2+10=18kN(↑)
由ΣMA(F)=0得
求解物体系统平衡问题的要领如下:
(1)“拆”:
将物体系统从相互联系的地方拆开,在拆开的地方用相应的约束力代替约束对物体的作用。
(2)“比”:
比较系统的独立平衡方程个数和未知量个数,若彼此相等,则可根据平衡方程求解出全部未知量。
一般来说,由n个物体组成的系统,可以建立3n个独立的平衡方程。
(3)“取”:
根据已知条件和所求的未知量,选取研究对象。
通常可先由整体系统的平衡,求出某些待求的未知量,然后再根据需要适当选取系统中的某些部分为研究对象,求出其余的未知量。
(4)在各单个物体的受力图上,物体间相互作用的力一定要符合作用与反作用关系。
物体拆开处的作用与反作用关系,是顺次继续求解未知力的“桥”。
(5)注意选择平衡方程的适当形式和选取适当的坐标轴及矩心,尽可能做到在一个平衡方程中只含有一个未知量,并尽可能使计算简化。
由外力(或外部因素)作用而引起杆件内部某一部分与另一部分间的相互作用力称为内力。
应力反映了内力的分布集度。
在国际单位制中,应力的单位是帕(Pa)或兆帕(MPa),有1Pa=1N/m2,1MPa=1N/mm2=106Pa
“截面法”:
为计算杆件某一截面m-m上的内力,如图所示,用一个“假想截面”在该截面处将杆件切断成为两部分;取任一部分为研究对象,要使这部分与原来一样处于平衡状态,就必须在被切断的截面上用内力代替另一部分对它的作用;然后根据平衡条件计算出该截面上的内力。
截面法是计算杆件内力的基本方法。
铰接三角形支架在点B承受一重物W=20kN(图a),杆AB为直径为d=25mm的钢制圆杆,杆CB为边长a=80mm的正方形截面木杆。
试计算杆AB和杆CB横截面上的正应力。
解:
(1)计算各杆的轴力。
如图b所示,取结点B为研究对象,杆件轴力均假设为受拉(背离结点)。
根据平衡条件得
ΣFy=0,-FNBCsin45º-W=0
FNBC=-28.3kN(压力)
ΣFx=0,-FNBCcos45º-FNBA=0
FNBA=20kN(拉力)
(2)计算各杆的正应力
将极限应力σu除以一个大于1的安全因数n作为构件正常工作时所允许产生的最大应力,称为许用应力,用[σ]表示。
安全因数n由有关设计规范来确定.
胡克定律的另一种表达形式:
它表明:
在弹性受力范围内,应力与应变成正比。
梁的最大正应力计算公式为
提高梁刚度的措施为
(1)改善结构形式,减小弯矩M;
(2)增加支承,减小跨度l;
(3)选用合适的材料,增加弹性模量E。
但因各种钢材的弹性模量基本相同,所以为提高梁的刚度而采用高强度钢,效果并不显著;
(4)选择合理的截面形状,提高惯性矩I,如工字形截面、空心截面等。
稳定性在土木工程上是指构件受力后保持其原有的平衡状态的能力。
受压杆件临界力计算公式
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