安徽省初中学业考试数学试题及答案解析.docx
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安徽省初中学业考试数学试题及答案解析
2017年安徽省初中毕业学业考试
数学试题
(试题卷)
注意事项:
1.你拿到的试卷满分为150分,考试时间为120分钟。
2.本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分。
“试题卷”共4页,“答题卷”共6页。
3.请务必在“答题卷”上答题,在“试题卷”上答题是无效的。
4.考试结束后,请将“试题卷”和“答题卷”一并交回。
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,满分40分)
每小题都给出A、B、C、D四个选项,其中只有一个是正确的.
1.
的相反数是
A.
B.-
C.2D.-2
2.计算(-a3)2的结果是
A.a6B.-a6C.-a5D.a5
3.如图,一个放置在水平实验台上的锥形瓶,它的俯视图为
4.截至2016年底,国家开发银行对“一带一路”沿线国家累计发放贷款超过1600亿美元.其中1600亿用科学记数法表示为
A.16×1010B.1.6×1010C.1.6×1011D.0.16×1012
5.不等式4-2x>0的解集在数轴上表示为
6.直角三角板和直尺如图放置.若∠1=20°,则∠2的度数为
A.60°B.50°C.40°D.30°
第6题图
7.为了解某校学生今年五一期间参加社团活动时间的情况,随机抽查了其中100名学生进行统计,并绘成如图所示的频数直方图.已知该校共有1000名学生,据此估计,该校五一期间参加社团活动时间在8~10小时之间的学生数大约是
A.280B.240C.300D.260
第7题图
8.一种药品原价每盒25元,经过两次降价后每盒16元.设两次降价的百分率都为x,则x满足
A.16(1+2x)=25B.25(1-2x)=16C.16(1+x)2=25D.25(1-x)2=16
9.已知抛物线y=ax2+bx+c与反比例函数y=
的图象在第一象限有一个公共点,其横坐标为1,则一次函数y=bx+ac的图象可能是
10.如图,在矩形ABCD中,AB=5,AD=3.动点P满足S△PAB=
S矩形ABCD.则点P到A,B两点距离之和PA+PB的最小值为
A.
B.
C.5
D.
第10题图
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)
11.27的立方根是________.
12.因式分解:
a2b-4ab+4b=________.
13.如图,已知等边△ABC的边长为6,以AB为直径的⊙O与边AC,BC分别交于D,E两点,则劣弧
的长为______.
第13题图
14.在三角形纸片ABC中,∠A=90°,∠C=30°,AC=30cm.将该纸片沿过点B的直线折叠,使点A落在斜边BC上的一点E处,折痕记为BD(如图1),剪去△CDE后得到双层△BDE(如图2),再沿着过△BDE某顶点的直线将双层三角形剪开,使得展开后的平面图形中有一个是平行四边形.则所得平行四边形的周长为________cm.
第14题图
三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
15.计算:
|-2|×cos60°-(
)-1.
16.《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题,原文如下:
今有人共买物,人出八,盈三;人出七,不足四。
问人数,物价各几何?
译文为:
现有一些人共同买一个物品,每人出8元,还盈余3元;每人出7元,则还差4元.问共有多少人?
这个物品的价格是多少?
请解答上述问题.
四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
17.如图,游客在点A处坐缆车出发,沿A-B-D的路线可至山顶D处.假设AB和BD都是直线段,且AB=BD=600m,α=75°,β=45°,求DE的长.
(参考数据:
sin75°≈0.97,cos75°≈0.26,
≈1.41)
第17题图
18.如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,给出了格点△ABC和△DEF(顶点为网格线的交点),以及过格点的直线l.
(1)将△ABC向右平移两个单位长度,再向下平移两个单位长度,画出平移后的三角形;
(2)画出△DEF关于直线l对称的三角形;
(3)填空:
∠C+∠E=________°.
第18题图
五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)
19.【阅读理解】
我们知道,1+2+3+…+n=
,那么12+22+32+…+n2结果等于多少呢?
在图1所示三角形数阵中,第1行圆圈中的数为1,即12;第2行两个圆圈中数的和为2+2,即22;……;第n行n个圆圈中数的和为
,即n2.这样,该三角形数阵中共有
个圆圈,所有圆圈中数的和为12+22+33+…+n2.
第19题图1
【规律探究】
将三角形数阵经两次旋转可得如图2所示的三角形数阵,观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数(如第n-1行的第一个圆圈中的数分别为n-1,2,n),发现每个位置上三个圆圈中数的和均为________.由此可得,这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为:
3(12+22+32+…+n2)=________.因此,12+22+32+…+n2=________.
第19题图2
【解决问题】
根据以上发现,计算
的结果为________.
20.如图,在四边形ABCD中,AD=BC,∠B=∠D,AD不平行于BC,过点C作CE∥AD交△ABC的外接圆O于点E,连接AE.
(1)求证:
四边形AECD为平行四边形;
(2)连接CO,求证:
CO平分∠BCE.
第20题图
六、(本题满分12分)
21.甲、乙、丙三位运动员在相同条件下各射靶10次,每次射靶的成绩如下:
甲:
9,10,8,5,7,8,10,8,8,7;
乙:
5,7,8,7,8,9,7,9,10,10;
丙:
7,6,8,5,4,7,6,3,9,5.
(1)根据以上数据完成下表:
平均数
中位数
方差
甲
8
8
________
乙
8
8
2.2
丙
6
________
3
(2)依据表中数据分析,哪位运动员的成绩最稳定,并简要说明理由;
(3)比赛时三人依次出场,顺序由抽签方式决定.求甲、乙相邻出场的概率.
七、(本题满分12分)
22.某超市销售一种商品,成本每千克40元,规定每千克售价不低于成本,且不高于80元.经市场调查,每天的销售量y(千克)与每千克售价x(元)满足一次函数关系,部分数据如下表:
售价x(元/千克)
50
60
70
销售量y(千克)
100
80
60
(1)求y与x之间的函数表达式;
(2)设商品每天的总利润为W(元),求W与x之间的函数表达式(利润=收入-成本);
(3)试说明
(2)中总利润W随售价x的变化而变化的情况,并指出售价为多少元时获得最大利润,最大利润是多少?
八、(本题满分14分)
23.已知正方形ABCD,点M为边AB的中点.
(1)如图1,点G为线段CM上的一点,且∠AGB=90°,延长AG,BG分别与边BC,CD交于点E,F.
①求证:
BE=CF;
②求证:
BE2=BC·CE.
(2)如图2,在边BC上取一点E,满足BE2=BC·CE,连接AE交CM于点G,连接BG并延长交CD于点F,求tan∠CBF的值.
第23题图1 第23题图2
2017年安徽省初中毕业学业考试
数学试题参考答案
1.B 【解析】由互为相反数的两个数的和为0可知,
的相反数为-
.
2.A 【解析】本题考查积的乘方,(-a3)2=(-1)2·(a3)2=a3×2=a6.
3.B 【解析】本题考查简单组合体的三视图,由实物图可知该锥形瓶是由上方圆柱和下方圆台组成的一个几何体,∴该锥形瓶的俯视图是一个同心圆,故选B.
4.C 【解析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.1亿=108,∴1600亿=1600×108=1.6×103×108=1.6×1011.
5.D 【解析】解4-2x>0,得x<2,在数轴上表示为
.
6.C 【解析】如解图①,在Rt△ABC中,∠A=30°,则∠B=60°,过点B作直尺两边的平行线可得∠1=∠3=20°,∠2=∠4=60°-∠3=60°-20°=40°,故选C.
第6题解图①
【一题多解】如解图②,∠3=∠1+30°=20°+30°=50°,∴∠4=∠3=50°,∠5=∠4=50°,∠2=∠6=90°-∠5=90°-50°=40°.
第6题解图②
7.A 【解析】由条形统计图可知,参加社团活动在8~10小时之间的学生数是:
100-8-24-30-10=28,∴在所抽查的100名学生中参加社团活动时间在8~10小时之间的学生所占的比例为
=0.28,由样本估计总体可得全校1000名学生参加社团活动时间在8~10小时之间的学生数大约是1000×0.28=280.
8.【思维教练】若设变化前的量为a,变化后的量为b,平均变化率为x,则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b.
D 【解析】原价为25元/盒,两次降价后的价格为16元/盒,两次降价的百分率都为x,根据题意可得:
25(1-x)2=16.
9.【思维教练】求一次函数的大致图象,需确定一次项系数和常数项的正负.已知交点在第一象限,且横坐标为1,根据反比例函数表达式可判断b的正负,根据抛物线表达式可判断ac的正负,根据系数的正负和一次函数图象性质即可判断函数的大致图象.
B 【解析】∵抛物线y=ax2+bx+c与反比例函数y=
的交点横坐标为1,且交点在第一象限,将x=1代入反比例函数表达式可得y=
=b>0,交点坐标为(1,b),将(1,b)代入抛物线表达式可得b=a+b+c,∴a+c=0,∴ac互为相反数,故ac<0,∴对于直线y=bx+ac,∵b>0,ac<0,∴图象过一、三、四象限.
10.【思维教练】要求动点问题的线段和的最小值,首先根据已知条件得出动点的运动轨迹,然后利用对称性质确定最小值点,再利用勾股定理即可求解.
第10题解图
D 【解析】如解图所示,设△PAB底边AB上的高为h,∵S△PAB=
S矩形ABCD,∴
·AB·h=
·AB·AD,∴h=2,为定值,在AD上截取AE=2,作EF∥AB,交CD于F,故P点在直线EF上,作点A关于直线EF的对称点A′,连接A′B,交直线EF于点P,此时PA+PB最小,且PA+PB=A′B=
=
=
.
11.3 【解析】∵33=27,∴27的立方根为3.
12.b(a-2)2 【解析】观察多项式有三项,且有公因式b,故先提取公因式b,再用完全平方公式因式分解.a2b-4ab+4b=b(a2-4a+4)=b(a-2)2.
第13题解图
13.【思维教练】要求劣弧
的长,根据弧长公式需知道劣弧
所对圆心角的度数及所在圆半径,已知直径可求得半径,利用等边三角形的性质求得劣弧
所对圆心角的度数,利用弧长公式l=
求出弧长即可.
π 【解析】在等边△ABC中,∠A=∠B=60°,如解图,连接OE、OD,OB=OE=OD=OA=
AB=
×6=3,∴∠BOE=∠AOD=60°,∴∠DOE=60°,∴
=
=π.
14.【思维教练】若在重叠的三角形中从顶点进行剪开则有两种情况:
a.沿过E点的直线剪开,得到以AD和DE为邻边的平行四边形;b.沿过D点的直线剪开,得到以∠B为顶角,BD为对角线的平行四边形;然后根据题中所给条件即可求解.
40或
【解析】在Rt△ABC中,AC=30,∠C=30°,可得AB=BE=10
,由对称性可知∠ABD=∠EBD=30°,∴在Rt△ABD中,AD=10,∴AD=DE=10,CD=20.a.如解图①所示,当沿过E点的直线剪开,展开后所得平行四边形是以AD和DE为邻边的平行四边形ADEF时,∵AD=DE=10,∴所得平行四边形ADEF的周长为4AD=40;
第14题解图①
第14题解图②
b.如解图②所示,当沿过D点的直线剪开,展开后所得平行四边形是以∠B为顶角,BD为对角线的平行四边形DFBG时,由折叠性质可得DG=DF,DF∥AB,∴DF∶AB=CD∶CA=2∶3,AB=10
,∴DF=
,∴所得平行四边形DFBG的周长为4DF=
.
15.解:
原式=2×
-3(6分)
=-2.(8分)
16.解:
(方法一)设共有x人,依题意得:
8x-3=7x+4,(3分)
解得x=7,
8x-3=8×7-3=53,(7分)
答:
共有7个人,物品价格为53元..(8分)
(方法二)设共有x人,价格为y元,依题意得:
,(3分)
解得
.(7分)
答:
共有7个人,物品价格为53元.(8分)
17.【思维教练】要求DE的长,结合图形可知DE=EF+DF=BC+DF,在Rt△BDF中,已知β和BD,可求出DF;在Rt△ABC中,已知α和AB,可求出BC的长.
解:
(方法一)在Rt△BDF中,由sinβ=
可得,
DF=BD·sinβ=600×sin45°=600×
=300
≈423(m).(3分)
在Rt△ABC中,由cosα=
可得,
BC=AB·cosα=600×cos75°≈600×0.26=156(m).(6分)
∴DE=DF+EF=DF+BC≈423+156=579(m).(8分)
第17题解图
(方法二)如解图,连接AD,过点B作BG⊥AD,∵AB=BD=600m,
∴AG=GD=
AD,∠ABG=∠DBG=
∠ABD,
又∵α=75°,β=45°,∠FBC=90°,
∴∠ABD=360°-75°-45°-90°=150°,
∴∠ABG=75°,∴∠DAB=∠BAC=15°,∠DAE=30°,
在Rt△ABG中,sin∠ABG=
,
∴AG=AB·sin∠ABG=600×sin75°≈600×0.97=582(m)
在Rt△DEA中,∵∠DAE=30°,
∴DE=
AD=AG=582(m).(8分)
18.【思维教练】
(1)分别将三个顶点平移,得到对应点,顺次连接即可;
(2)作三个顶点关于直线l的对称点,得到对应点,顺次连接即可;(3)由平移和对称可得∠C+∠E=∠A′C′F′,∵在网格中,利用△A′C′F′是等腰直角三角形,即可得出答案.
解:
(1)如解图所示;(3分)
(2)如解图所示;(6分)
第18题解图
(3)45.(8分)
解法提示:
∵平移和轴对称变换不改变图形的形状和大小,
∴∠C+∠E=∠A′C′F′,
如解图,连接A′F′,△A′C′F′在边长为1个长度单位的小正方形组成的网格中的格点三角形,
∴A′C′=
,A′F′=
,F′C′=
,A′C′=A′F′,
∴A′C′2+A′F′2=F′C′2,
∴△A′C′F′是等腰直角三角形,
∴∠C+∠E=∠A′C′F′=45°.
19.解:
【规律探究】2n+1.(3分)
;(6分)
;(8分)
解法提示:
第n-1行的第一个圆圈中的数分别为n-1,2,n,则n-1+2+n=2n+1;
3(12+22+32+…+n2)=(1+2+3+…+n)(2n+1)=
;
12+22+32+…+n2=
·
=
.
【解决问题】1345.(10分)
解法提示:
=
=
=1345.
20.【思维教练】
(1)要证四边形AECD为平行四边形,已知一组对边平行,再需证明这组对边相等或另一组对边平行即可.已知∠B=∠D,∠E与∠B是同弧所对圆周角,可证得AE∥CD,即可得证;
(2)要证明CO平分∠BCE,即证明圆心O在∠BCE的平分线上,即证点O到BC和BE的距离相等,由于BC与CE是圆的两条弦,需要添加辅助线过点O作弦心距即可证明.
(1)证明:
∵∠B=∠D,∠B=∠E,
∴∠D=∠E.(10分)
∵CE∥AD,
∴∠E+∠DAE=180°,
∴∠D+∠DAE=180°,
∴AE∥DC.
∴四边形AECD为平行四边形.(5分)
(2)证明:
(方法一)如解图①,过点O作OM⊥EC,ON⊥BC,垂足分别为M、N.
∵四边形AECD是平行四边形,
∴AD=EC,
又AD=BC,
∴EC=BC,
∴OM=ON,
∴CO平分∠BCE.(10分)
第20题解图①
第20题解图②
(方法二)如解图②,连接OB、OE,在△COE和△COB中,
,
∴△COE≌△COB(SSS),
∴∠ECO=∠BCO,
∴CO平分∠BCE.
21.【思维教练】
(1)根据方差计算公式s2=
[(x1-x)2+(x2-x)2+…+(xn-x)2]代入计算即可,要求丙的中位数,先将10个数据从小到大排列,取第5个和第6个的平均数即可;
(2)根据方差是表示数据波动大小的量,结合三位运动员的方差,即可判断哪位运动员的成绩最稳定;(3)画树状图,得出出场顺序总的结果数,然后从中找出甲乙相邻出场的情况,利用概率计算公式计算.
解:
(1)2,6;(4分)
解法提示:
s甲2=
[(9-8)2+(10-8)2+(8-8)2+(5-8)2+(7-8)2+(8-8)2+(10-8)2+(8-8)2+(8-8)2+(7-8)2]=2,
丙的中位数,先将10个数据从小到大排列:
3,4,5,5,6,6,7,7,8,9,排在第5、6位的数字均为6,∴中位数是6.
(2)∵2<2.2<3,所以s甲2
(3)画出树状图如解图:
第21题解图
出场顺序共有6种等可能的结果,
其中甲乙相邻出场的有:
甲乙丙、乙甲丙、丙甲乙、丙乙甲,共4种情况,
∴甲乙相邻出场的概率P=
=
.(12分)
22.【思维教练】
(1)要求y与x之间的函数表达式,已知y与x之间是一次函数关系,及三组数据,利用待定系数法即可求解;
(2)根据“利润=收入-成本”,收入=售价×销售数量,成本=40×销售数量,即可列出W与x之间的函数表达式;(3)根据所求,将W与x之间的二次函数表达式化成顶点式后,由二次函数的性质结合实际情况可以求解.
解:
(1)设y=kx+b.由题意,得
,
解得
,
∴所求函数表达式为y=-2x+200;(4分)
(2)W=(x-40)(-2x+200)=-2x2+280x-8000;(7分)
(3)W=-2x2+280x-8000=-2(x-70)2+1800,
其中40≤x≤80,
∵-2<0,
∴当40≤x<70时,W随x的增大而增大;当70 23.【思维教练】 (1)①要证明BE=CF,观察这两条线段分别在两个直角三角形,可利用全等三角形证明.已知条件中有一对直角边相等(都是正方形的边),有一对直角相等,再结合所给90°的角以及正方形的内角,找出两个直角三角形的一对锐角相等即可;②要证明BE2=BC·CE,但是这三条线段在同一直线上,除非利用黄金分割证明,但所给条件无法直接证明,结合第 (1)问BE=CF,考虑将BE进行转化利用相似三角形对应边成比例证明,转化成CF后与CE构不成三角形,再利用等腰三角形的性质与判定将CF转化为CG,这时很容易证明△CGE∽△CBG,得到 = ⇒CG2=BC·CE,从而得以证明BE2=BC·CE; (2)结合第 (1)问点E的位置与图1中点E位置相同,想法证明∠AGB=90°,CF=BE,是解题的关键,然后设出正方形的边长,由BE2=BC·CE,表示出BE的长,从而得到tan∠CBF的值. (1)①证明: ∵四边形ABCD为正方形, ∴AB=BC,∠ABC=∠BCF=90°, 又∠AGB=90°, ∴∠BAE+∠ABG=90°, 又∵∠ABG+∠CBF=90°, ∴∠BAE=∠CBF. ∴△ABE≌△BCF(ASA), ∴BE=CF;(4分) ②证明: (方法一)∵∠AGB=90°,点M为AB的中点, ∴MG=MA=MB,∴∠GAM=∠AGM. 又∵∠CGE=∠AGM, ∴∠CGE=∠CBG, 又∵∠ECG=∠GCB,∴△CGE∽△CBG. ∴ = ,即CG2=BC·CE, ∵∠CFG=∠GBM=∠BGM=∠CGF,得CF=CG. 由①知,BE=CF, ∴BE=CG, ∴BE2=BC·CE.(9分) 第23题解图① (方法二)∵∠AGB=90°,M是AB的中点, ∴∠MG=BM,∴∠MGB=∠MBG=∠CFG=∠CGF, ∴CF=CG, 又由①知,CF=BE,∴CG=BE, ∵∠CGF+∠CGE=90°, ∴∠MBG+∠GBE=90°, ∴∠CGE=∠EBG, ∴△CEG≌△CGB, ∴CG2=BC·CE, 即BE2=BC·CE.(9分) (2)解: (方法一)延长AE,DC交于点N(如解图①), ∵正方形ABCD是正方形,∴AB∥CD. ∴∠N=∠EAB, 又∵∠CEN=∠BEA, ∴△CEN∽△BEA. ∴ = ,即BE·CN=AB·CE, ∵AB=BC,BE2=BC·CE, ∴CN=BE, ∵AB∥DN,∴ = = . 又∵AM=MB, ∴FC=CN=BE, 不妨假设正方形边长为1. 设BE=x,则由BE2=BC·CE,得x2=1·(1-x). 解得x1= ,x2= (舍去), ∴ = . ∴tan∠CBF= = = . 第23题解图② (方法二)不妨假设正方形边长为1,设BE=x,则由BE2=BC·CE,得x2=1·(1-x). 解得x1= ,x2= (舍去), 即BE= . 作GN∥BC交AB于点N(如解图②),则△MNG∽△MBC, ∴ = = . 设MN=y,则GN=2y,GM= y, ∵ = ,即 = , 解得y= ,∴GM= , ∴GM=MA=MB,此时点G在AB为径的圆上. ∴△AGB是直角三角形,且∠AGB=90°. 由 (1)知BE=CF ∴tan∠CBF= = = .(14分) 第23题解图③ (方法三)过点M作BC的平行线交AE于点N(如解图③), 设BM=x,则AM=x,AB=BC=2x, 由BE2=BC·CE得, AE2=2x·(2x-BE),解得BE=( -1)x, ∴CE=2x·(2x-BE),解得BE=( -1)x, ∴CE=2x-BE=(3- )x,MN= BE= x, ∵MN∥BC,∴△MNG∽△CEG, ∴ = ,∵CM= = x, ∴ = , = = = = = , ∴MG= · x=x,CG= x-x=( -1)x, ∴∠1=∠2,∠3=∠4,CF=CG, ∴tan∠CBF= = .(4分)
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