高级数学高二上期第一周基础性教案.docx
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高级数学高二上期第一周基础性教案
1.1.1柱、锥、台、球的结构特征
(1)
一、教学目标:
1.知识与技能
(1)通过实物操作,增强学生的直观感知。
(2)能根据几何结构特征对空间物体进行分类。
(3)会用语言概述棱柱、棱锥、棱台、结构特征。
(4)会表示有关于几何体以及棱柱、棱锥、棱台的分类。
2.过程与方法
(1)让学生通过直观感受空间物体,从实物中概括出柱、锥、台、球的几何结构特征。
(2)让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。
3.情感态度与价值观
(1)使学生感受空间几何体存在于现实生活周围,增强学生学习的积极性,同时提高学生的观察能力。
(2)培养学生的空间想象能力和抽象括能力。
二、教学重点、难点
重点:
让学生感受大量空间实物及模型、概括出棱柱、棱锥、棱台结构特征。
难点:
柱、锥、台结构特征的概括及判断组合体是由哪些简单几何体构成的。
3、教学过程
一、创设情景,揭示课题:
在现实生活中,我们的周围存在着各种各样的物体,它们具有不同的几何形状。
由这些物体抽象出来的空间图形叫做空间几何体。
下面请同学们观察课本P2图1.1-1的物体,然后回答以下问题:
这些图片中的物体具有什么样的几何结构特征?
你能对它们进行分类吗?
学生观察思考,发现上图中的物体大体可分为两大类.其中
(2),(5),(7),(9),(13),(14),(15),(16)具有相同的特点:
组成几何体的每个面都是平面图形,并且都是平面多边形;
(1),(3),(4),(6),(8),(10),(11),(12)具有相同的特点:
组成它们的面不全是平面图形.
想一想,我们应该给上述两大类几何体取个什么名称才好呢?
(一)由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体。
围成多面体的各个多边形叫做多面体的面。
相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。
(二)由一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体,叫做旋转体,这条定直线叫做旋转体的轴。
这节课我们主要学习多面体——柱、锥的结构特征。
二、研探新知:
1.棱柱的结构特征:
请同学们仔细观察下列几何体,说说他们的共同特点.(师生共同讨论,总结出棱柱的定义及其相关概念)
(1)定义:
有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
(2)棱柱的有关概念:
(出示下图模型,边对照模型边介绍)
棱柱中,两个互相平行的面叫做棱柱的底面(简称底),其余各面叫做棱柱的侧面,相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱,侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。
(3)棱柱的分类:
按底面的多边形的边数分,有三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
(4)棱柱的表示
用底面各顶点的字母表示,如上图的六棱柱可表示为“棱柱ABCDEF—A'B'C'D'E'F'”
思考:
有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体是不是棱柱?
答:
不是棱柱。
可举反例。
如右图几何体有两个面平行,
其余各面都是平行四边形,但它不是棱柱。
2.棱锥的结构特征:
请同学们仔细观察下列几何体,说说他们的共同特点.
(师生共同讨论,总结出棱锥的定义及其相关概念)
(1)定义:
有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体叫做棱锥。
(2)棱锥的有关概念:
(出示下图模型,边对照模型边介绍)
棱锥中,这个多边形面叫做棱锥的底面或底,有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面,各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点,相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。
(3)棱锥的分类:
按底面的多边形的边数分,有三棱锥、四棱锥、五棱锥等。
(4)棱锥的表示
用底面各顶点的字母表示,如右图的四棱锥可表示为“棱锥
”
思考:
请比较棱柱和棱锥,想一想,把棱柱作怎样的变化后可变成棱锥
讨论:
棱柱、棱锥分别具有一些什么几何性质?
有什么共同的性质?
棱柱:
两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形
棱锥:
侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方.
3.棱台的结构特征:
思考:
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,得到怎样的两个几何体?
(师生共同讨论,总结出棱台的定义及其相关概念)
(1)棱台的概念:
棱锥被平行于棱锥底面的平面所截后,截面和底面之间的部分叫做棱台.
(2)棱台的有关概念:
(出示模型,边对照模型边介绍)棱台的上底面、下底面、侧面、棱、侧棱、顶点;
(3)棱台的分类:
三棱台、四棱台、五棱台、六棱台;
(4)棱台的表示方法:
“棱台ABCD-A'B'C'D'”
(5)棱台的特点:
两个底面是相似多边形,侧面都是梯形;侧棱延长后交于一点.
想一想,怎样给多面体分类呢?
由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.多面体有几个面就称为几面体.
如:
三棱锥是四面体,四棱柱是六面体.
1.1.1柱、锥、台、球的结构特征
(2)
一、教学目标:
1.知识与技能
(1)通过实物操作,增强学生的直观感知。
(2)能根据几何结构特征对空间物体进行分类。
(3)会用语言概述圆柱、圆锥、圆台、球结构特征。
(4)会表示有关于几何体以及圆柱、圆锥、圆台、球的分类。
2.过程与方法
(1)让学生通过直观感受空间物体,从实物中概括出圆柱、圆锥、圆台、球的几何结构特征。
(2)让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。
3.情感态度与价值观
(1)使学生感受空间几何体存在于现实生活周围,增强学生学习的积极性,同时提高学生的观察能力。
(2)培养学生的空间想象能力和抽象括能力。
二、教学重点、难点
重点:
让学生感受大量空间实物及模型、概括出圆柱、圆锥、圆台结构特征。
难点:
圆柱、圆锥、圆台、球结构特征的概括及判断组合体是由哪些简单几何体构成的。
三、教学过程
1、复习引入
【师生活动】教师提问,借助模型帮助学生回顾多面体和旋转体的定义和棱柱、棱锥、棱台的结构特征。
2、探究新知
探究1:
圆柱的结构特征
[师生活动]师生共同观察讨论圆柱的结构特征和构成方式,以教师引导、展示实物和图片为辅,学生观察、讨论总结为主.
师:
在
(1)(3)(4)(6)(8)(10)(11)(12)这些旋转体中,观察
(1)(8)具有什么样的共同外部特征?
,
(1)(8)
生:
(1)(8)是圆柱,它们有两个平行的平面是等大的圆面,还有一个曲面.
师:
你能说出它们是什么平面图形通过怎样的旋转得到的旋转体吗?
生:
圆柱是以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余各边旋转而形成的的曲面所围成的旋转体.
师:
旋转轴叫圆柱的轴;垂直于旋转轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面;平行于圆柱轴的边旋转而成的面叫圆柱的侧面,圆柱的侧面又称圆柱的面;无论转到什么位置,不垂直于轴的边都叫圆柱侧面的母线。
如图所示:
表示:
圆柱用表示轴的字母表示为圆柱
.
规定:
圆柱和棱柱统称为柱体.
探究2:
圆锥的结构特征
[师生活动]教师展示图片和实物,引导学生观察总结圆锥的结构特征.
师:
图中(3)(6)中的实物是一个圆锥,它们有什么共同的外部特征呢?
(6)
生:
圆锥由一个圆面和一个曲面构成.
师:
与圆柱一样,圆锥也是平面图形旋转而成的.仿照圆柱的有关定义,你能定义什么是圆锥以及圆锥的轴,底面、侧面、母线吗?
试在旁边的图中标出来.
生:
以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴,其余两边旋转而形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。
旋转轴叫圆锥的轴;垂直于旋转轴的边旋转而成的圆面成为圆锥的底面;不垂直于旋转轴的边旋转而成的曲面叫圆锥的侧面,圆锥的侧面又称圆锥的面,无论旋转到什么位置,这条边都叫做圆锥侧面的母线。
师:
如何表示圆锥?
生:
圆锥
.
师:
棱锥和圆锥都叫做椎体.
探究3:
圆台的结构特征.
[师生活动]教师展示图片和实物,给出讨论问题让学生分组讨论,总结圆台的结构特征和构成方式。
师:
图中像(4)(10)的物体叫做圆台,它们有什么共同的外部特征?
(4)(10)
生:
圆台有两个平行的平面是两个不等大的圆面和一个曲面.
师:
类比棱锥截得棱台,圆台也可以由圆锥截得的。
你能说出圆台是怎么由圆锥截得的吗?
生:
用一个平行于底面的平面截圆锥,截面与底面之间的部分就是圆台.
师:
除了由圆锥截得,圆台也是旋转体.它是什么图形通过怎样的旋转得到的呢?
生:
圆台是以一个直角梯形为直角的一腰所在的直线为旋转轴,其余三边旋转而形成的面围成的旋转体.
[师生活动]反思:
结合结构特征,从变化的角度思考,圆台、圆柱、圆锥三者之间有什么关系?
教师提示学生从旋转得到圆柱、圆锥、圆台的三个平面图形来寻找这三个几何体的关系,让学生自己观察总结.
探究4:
球的结构特征
[师生活动]教师展示球体,让学生给出球的定义,讨论旋转体不同的旋转方式.
师:
球由什么平面图形旋转得到?
生:
由半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周得到,也可以由圆绕着它的直径所在直线旋转半周得到.
师:
那么圆柱、圆锥、圆台可以由什么样的平面对称图形绕着对称轴旋转半周得到?
生:
圆柱可以由矩形以一组对边的中垂线为旋转轴旋转半周得到;圆锥可以由等腰三角形以底边上的高线所在直线为旋转轴旋转半周得到;圆台可以由等腰梯形以底边的中垂线为旋转轴旋转半周得到.
师:
以半圆的直径所在的直线为旋转轴,将半圆旋转一周所形成的曲面称为球面,球面所围成的旋转体称为球体,简称为球。
半圆的圆心称为球心,连接球面上任意一点与球心的线段称为球的半径,连接球面上两点并且过球心的线段称为球的直径。
师:
我们通常用球心表示球,如球
.
师:
如果用一个平面去截球,得到的截面是什么图形?
生:
是圆.
师:
是等大的圆吗?
生:
不是.
师:
这些圆哪些最大?
生:
过球心的最大.
师:
我们也可以说是过球的轴的截面圆最大.我们把过球心的截面叫大圆,不过球心的叫小圆.小圆的圆心记做
球心记做
,设
,球小圆半径为
,球半径为
那么
?
课后作业1.将下列几何体按结构特征分类填空:
⑴集装箱⑵铅球⑶橄榄球⑷氢离子⑸魔方⑹金字塔⑺三棱镜⑻滤纸卷成的漏斗⑼量筒⑽量杯
具有棱柱结构特征的有:
________________________;
具有棱锥结构特征的有:
________________________;
具有圆柱结构特征的有:
________________________;
具有圆锥结构特征的有:
________________________;
具有圆台结构特征的有:
________________________;
具有球结构特征的有:
________________________;
2.如图,长方体被截去一部分,其中EH‖
剩下的几何体是什么?
截去的几何体是什么?
3.下列命题中正确的是().
A.直角三角形绕一边旋转得到的旋转体是圆锥
B.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是旋转体
C.圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台
D.通过圆台侧面上一点,有无数条母线
4.用一个平面去截一个几何体,得到的截面是一个圆面,这个几何体是()
A.圆锥B.圆柱C.球体D.以上都可能
5.一个球内有一内接长方体,其长、宽、高分别为5、4、3,则球的直径为().
A.
B.
C.
D.
1.下列命题中,正确的是()
A.平行于圆锥的一条母线的截面是等腰三角形;
B.平行于圆台的一条母线的截面是等腰梯形;
C.过圆锥顶点的截面是等腰三角形
D.过圆台一个底面中心的截面是等腰梯形
6.一个圆柱的母线长为5,底面半径为2,则圆柱的轴截面的面积为()
A.10B.20C.40D.15
7.一等腰三角形底边的垂直平分线为旋转轴,将各边绕轴旋转1800形成的曲面所围成的几何体是_________________。
8.半径为3cm的球内接正方体的棱长为_________________。
9.用一个平面截半径为
的球,截面面积是
则球心到截面的距离为多少?
1.1.2简单组合体的结构特征
一、教学目标
1.掌握简单组合体的概念,学会观察、分析图形,提高空间想象能力和几何直观能力.
2.能够描述现实生活中简单物体的结构,学会通过建立几何模型来研究空间图形,培养学生的数学建模思想.
二、重点难点
描述简单组合体的结构特征.
三、教学过程
1.导入新课
思路1.在我们的生活中,酒瓶的形状是圆柱吗?
我们的教学楼的形状是柱体吗?
钢笔、圆珠笔呢?
这些物体都不是简单几何体,那么如何描述它们的结构特征呢?
教师指出课题:
简单几何体的结构特征.
思路2.现实世界中的物体表示的几何体,除柱体、锥体、台体和球体等简单几何体外,还有大量的几何体是由简单几何体组合而成的,这些几何体叫做简单组合体,这节课学习的课题是:
简单几何体的结构特征.
推进新课
2.新知探究
提出问题
①请指出下列几何体是由哪些简单几何体组合而成的.
图1
②观察图1,结合生活实际经验,简单组合体有几种组合形式?
③请你总结长方体与球体能组合成几种不同的组合体.它们之间具有怎样的关系?
活动:
让学生仔细观察图1,教师适当时候再提示.
①略.
②图1中的三个组合体分别代表了不同形式.
③学生可以分组讨论,教师可以制作有关模型展示.
讨论结果:
①由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体.现实世界中,我们看到的物体大多由具有柱、锥、台、球等几何结构特征的物体组合而成.图1
(1)是一个四棱锥和一个长方体拼接成的,这是多面体与多面体的组合体;图1
(2)是一个圆台挖去一个圆锥构成的,这是旋转体与旋转体的组合体;图1(3)是一个球和一个长方体拼接成的,这是旋转体与多面体的组合体.
②常见的组合体有三种:
多面体与多面体的组合;多面体与旋转体的组合;旋转体与旋转体的组合.其基本形式实质上有两种:
一种是由简单几何体拼接而成的简单组合体,如图1
(1)和(3)所示的组合体;另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成的简单组合体,如图1
(2)所示的组合体.
③常见的球与长方体构成的简单组合体及其结构特征:
1°长方体的八个顶点在同一个球面上,此时长方体称为球的内接长方体,球是长方体的外接球,并且长方体的对角线是球的直径;
2°一球与正方体的所有棱相切,则正方体每个面上的对角线长等于球的直径;
3°一球与正方体的所有面相切,则正方体的棱长等于球的直径.
应用示例
思路1
例1请描述如图2所示的组合体的结构特征.
图2
活动:
回顾简单几何体的结构特征,再将各个组合体分解为简单几何体.依据柱、锥、台、球的结构特征依次作出判断.
解:
图2
(1)是由一个圆锥和一个圆台拼接而成的组合体;
图2
(2)是由一个长方体截去一个三棱锥后剩下的部分得到的组合体;
图2(3)是由一个圆柱挖去一个三棱锥剩下的部分得到的组合体.
点评:
本题主要考查简单组合体的结构特征和空间想象能力.
变式训练
如图3所示,一个圆环绕着同一个平面内过圆心的直线l旋转180°,想象并说出它形成的几何体的结构特征.
图3
答案:
一个大球内部挖去一个同球心且半径较小的球.
例2连接正方体的相邻各面的中心(所谓中心是指各面所在正方形的两条对角线的交点),所得的一个几何体是几面体?
并画图表示该几何体.
活动:
先画出正方体,然后取各个面的中心,并依次连成线观察即可.连接相应点后,得出图形如图4
(1),再作出判断.
(1)
(2)
图4
解:
如图4
(1),正方体ABCD—A1B1C1D1,O1、O2、O3、O4、O5、O6分别是各表面的中心.由点O1、O2、O3、O4、O5、O6组成了一个八面体,而且该八面体共有6个顶点,12条棱.该多面体的图形如图4
(2)所示.
点评:
本题中的八面体,事实上是正八面体——八个面都是全等的正三角形,并且以每个顶点为其一端,都有相同数目的棱.由图还可见,该八面体可看成是由两个全等的四棱锥经重合底面后而得到的,而且中间一个四边形O2O3O4O5还是正方形,当然其他的如O1O2O6O4等也是正方形.为了增强立体效果,正方体应画得“正”些,而八面体的放置应稍许“倾斜”些,并且“后面的”线,即被前面平面所遮住的线,如图中的O1O5、O6O5、O5O2、O5O4应画成虚线.
变式训练
连接上述所得的几何体的相邻各面的中心,试问所得的几何体又是几面体?
答案:
六面体(正方体).
思路2
例1已知如图5所示,梯形ABCD中,AD∥BC,且AD<BC,当梯形ABCD绕BC所在直线旋转一周时,其他各边旋转围成的一个几何体,试描述该几何体的结构特征.
图5图6
活动:
让学生思考AB、AD、DC与旋转轴BC是否垂直,以此确定所得几何体的结构特征.
解:
如图6所示,旋转所得的几何体是两个圆锥和一个圆柱拼接成的组合体.
点评:
本题主要考查空间想象能力以及旋转体、简单组合体.
变式训练
如图7所示,已知梯形ABCD中,AD∥BC,且AD<BC,当梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周时,其他各边旋转围成的一个几何体,试描述该几何体的结构特征.
图7图8
答案:
如图8所示,旋转所得的几何体是一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分而成的组合体.
例2如图9
(1)、
(2)所示的两个组合体有什么区别?
图9
活动:
让学生分组讨论和思考,教师及时点拨和评价学生.
解:
图9
(1)所示的组合体是一个长方体上面又放置了一个圆柱,也就是一个长方体和一个圆柱拼接成的组合体;而图9
(2)所示的组合体是一个长方体中挖去了一个圆柱剩余部分构成的组合体.
点评:
考查空间想象能力和组合体的概念.
变式训练
如图10,说出下列物体可以近似地看作由哪几种几何体组成?
图10
答案:
图10
(1)中的几何体可以看作是由一个圆柱和一个圆锥拼接而成;图10
(2)中的螺帽可以近似看作是一个正六棱柱中挖掉一个圆柱构成的组合体.
知能训练
下图是一个奖杯,可以近似地看作由哪几种几何体组成?
图11
答案:
奖杯的底座是一个正棱台,底座的上面是一个正四棱柱,奖杯的最上部,在正棱柱上底面的中心放着一个球.
拓展提升
1.请想一想正方体的截面可能是什么形状的图形?
活动:
静止是相对的,运动是绝对的,点动成线,线动成面.用运动的观点看几何问题的形成,容易建立空间想象力,这样对于分割和组合图形是有好处的.
明确棱柱、棱锥、棱台等多面体的定义及圆柱、圆锥、圆台的生成过程,以及柱、锥、台的相互关系,对于我们正确的割补图形也是有好处的.
对于正方体的分割,可通过实物模型,实际切割实验,还可借助于多媒体手段进行切割实验.对于切割所得的平面图形可根据它的定义进行证明,从而判断出各个截面的形状.
探究:
本题考查立体几何的空间想象能力,通过尝试、归纳,可以有如下各种肯定或否定性的答案:
(1)截面可以是三角形:
等边三角形、等腰三角形、一般三角形.
(2)截面三角形是锐角三角形,截面三角形不能是直角三角形、钝角三角形.
(3)截面可以是四边形:
平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形;截面为四边形时,这个四边形至少有一组对边平行.
(4)截面不能是直角梯形.
(5)截面可以是五边形:
截面五边形必须有两组分别平行的边,同时有两个角相等;截面五边形不可能是正五边形.
(6)截面可以是六边形:
截面六边形必须有分别平行的边,同时有两个角相等.
(7)截面六边形可以是等角(均为120°)的六边形,即正六边形.
截面图形如图12中各图所示:
图12
课堂小结
本节课学习了简单组合体的概念和结构特征.
作业
习题1.1A组第3题;B组第2题.
课后作业:
1.判断:
(1)在圆柱的上下底面上各取一点,这两点的连线是圆柱的母线.( )
(2)圆台所有的轴截面是全等的等腰梯形.( )
(3)与圆锥的轴平行的截面是等腰三角形.( )
2.
三边长分别为3、4、5,绕着其中一边旋转得到圆锥,对所有可能描述不对的是().
A.是底面半径3的圆锥B.是底面半径为4的圆锥
C.是底面半径5的圆锥D.是母线长为5的圆锥
3.下列命题中正确的是().
A.直角三角形绕一边旋转得到的旋转体是圆锥
B.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是旋转体
C.圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台
D.通过圆台侧面上一点,有无数条母线
4.已知,ABCD为等腰梯形,两底边为AB,CD.且AB>CD,绕AB所在的直线旋转一周所得的几何体中是由、、的几何体构成的组合体.
5.圆锥母线长为
,侧面展开图圆心角的正弦值为
的锐角,则高等于__________.
6.圆台的上下底面的直径分别为2cm,10cm,高为3cm,则圆台母线长为_______.
7.观察下图所示几何体,其中判断正确的是( )
A.①是棱台B.②是圆台C.③是棱锥D.④不是棱柱
8如图,是由等腰梯形、矩形、半圆、圆、倒形三角对接形成的轴对称平面图形,
若将它绕轴旋转
后形成一个组合体,下面说法不正确的是___________
A.该组合体可以分割成圆台、圆柱、圆锥和两个球体
B.该组合体仍然关于轴
对称
C.该组合体中的圆锥和球只有一个公共点
D.该组合体中的球和半球只有一个公共点
9、用一个平面去截一个几何体,得到的截面是一个三角形,那么这个几何体可能是
①棱柱②棱台③圆柱④圆台⑤棱锥⑥圆锥⑦球
10、已知球的两个平行截面的面积分别是
,它们位于球心的同一侧,且相距为1,那么这球的半径为.
11圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,轴截面的面积等于392cm2,母线与轴的夹角是45°,求这个圆台的高、母线长和底面半径.
12.用一个平面截半径为
的球,截面面积是
则球心到截面的距离为多少?
13.如图,在底面半径为1,高为2的圆柱上A点处有一只蚂蚁,它要围绕圆柱由A点爬到B点,问蚂蚁爬行的最短距离是多少?
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