二次函数提优题.docx
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二次函数提优题.docx
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二次函数提优题
1.(2016·湖北鄂州)如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与x轴正半轴相交于A、B两点,与y轴相交于点C,对称轴为直线x=2,且OA=OC.则下列结论:
①abc>0②9a+3b+c<0③c>-1④关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个根为-
其中正确的结论个数有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
【考点】二次函数图象与系数的关系,数形结合思想.
【分析】①由抛物线开口方向得a<0,由抛物线的对称轴位置可得b>0,由抛物线与y轴的交点位置可得c<0,则可对①进行判断;②当x=3时,y=ax2+bx+c=9a+3b+c>0,则可对②进行判断;③
【解答】①解:
∵抛物线开口向下,
∴a<0,
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧,
∴b>0,
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方,
∴c<0,
∴abc>0,
∴①正确;
②当x=3时,y=ax2+bx+c=9a+3b+c>0,
∴②9a+3b+c<0错误;
③∵C(0,c),OA=OC,
∴A(﹣c,0),
由图知,A在1的左边∴﹣c<1,即c>-1
∴③正确;
④把-
代入方程ax2+bx+c=0(a≠0),得
ac﹣b+1=0,
把A(﹣c,0)代入y=ax2+bx+c得ac2﹣bc+c=0,
即ac﹣b+1=0,
∴关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个根为-
.
综上,正确的答案为:
C.
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系:
对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小:
当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口;一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置:
当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右.(简称:
左同右异);常数项c决定抛物线与y轴交点:
抛物线与y轴交于(0,c);抛物线与x轴交点个数由△决定:
△=b2﹣4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点;△=b2﹣4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点;△=b2﹣4ac<0时,抛物线与x轴没有交点.
1.(2016·四川资阳)已知二次函数y=x2+bx+c与x轴只有一个交点,且图象过A(x1,m)、B(x1+n,m)两点,则m、n的关系为( )
A.m=nB.m=nC.m=n2D.m=n2
【考点】抛物线与x轴的交点.
【分析】由“抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点”推知x=﹣时,y=0.且b2﹣4c=0,即b2=4c,其次,根据抛物线对称轴的定义知点A、B关于对称轴对称,故A(﹣﹣,m),B(﹣+,m);最后,根据二次函数图象上点的坐标特征即可得出结论.
【解答】解:
∵抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点,
∴当x=﹣时,y=0.且b2﹣4c=0,即b2=4c.
又∵点A(x1,m),B(x1+n,m),
∴点A、B关于直线x=﹣对称,
∴A(﹣﹣,m),B(﹣+,m),
将A点坐标代入抛物线解析式,得m=(﹣﹣)2+(﹣﹣)b+c,即m=﹣+c,
∵b2=4c,
∴m=n2,
故选D.
2.(2016·四川自贡)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图,反比例函数y=与正比例函数y=bx在同一坐标系内的大致图象是( )
A.B.C.D.
【考点】二次函数的性质;正比例函数的图象;反比例函数的图象.
【分析】根据函数图象的开口方向,对称轴,可得a、b的值,根据a、b的值,可得相应的函数图象.
【解答】解:
由y=ax2+bx+c的图象开口向下,得a<0.
由图象,得﹣>0.
由不等式的性质,得b>0.
a<0,y=图象位于二四象限,
b>0,y=bx图象位于一三象限,
故选:
C.
【点评】本题考查了二次函数的性质,利用函数图象的开口方向,对称轴得出a、b的值是解题关键.
3.(2016·四川成都·3分)二次函数y=2x2﹣3的图象是一条抛物线,下列关于该抛物线的说法,正确的是( )
A.抛物线开口向下B.抛物线经过点(2,3)
C.抛物线的对称轴是直线x=1D.抛物线与x轴有两个交点
【考点】二次函数的性质.
【分析】根据二次函数的性质对A、C进行判断;根据二次函数图象上点的坐标特征对B进行判断;利用方程2x2﹣3=0解的情况对D进行判断.
【解答】解:
A、a=2,则抛物线y=2x2﹣3的开口向上,所以A选项错误;
B、当x=2时,y=2×4﹣3=5,则抛物线不经过点(2,3),所以B选项错误;
C、抛物线的对称轴为直线x=0,所以C选项错误;
D、当y=0时,2x2﹣3=0,此方程有两个不相等的实数解,所以D选项正确.
故选D.
4.(2016·四川达州·3分)如图,已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(﹣1,0),与y轴的交点B在(0,﹣2)和(0,﹣1)之间(不包括这两点),对称轴为直线x=1.下列结论:
①abc>0
②4a+2b+c>0
③4ac﹣b2<8a
④<a<
⑤b>c.
其中含所有正确结论的选项是( )
A.①③B.①③④C.②④⑤D.①③④⑤
【考点】二次函数的性质.
【分析】根据对称轴为直线x=1及图象开口向下可判断出a、b、c的符号,从而判断①;根据对称轴得到函数图象经过(3,0),则得②的判断;根据图象经过(﹣1,0)可得到a、b、c之间的关系,从而对②⑤作判断;从图象与y轴的交点B在(0,﹣2)和(0,﹣1)之间可以判断c的大小得出④的正误.
【解答】解:
①∵函数开口方向向上,
∴a>0;
∵对称轴在原点左侧
∴ab异号,
∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴,
∴c<0,
∴abc>0,
故①正确;
②∵图象与x轴交于点A(﹣1,0),对称轴为直线x=﹣1,
∴图象与x轴的另一个交点为(3,0),
∴当x=2时,y<0,
∴4a+2b+c<0,
故②错误;
③∵图象与x轴交于点A(﹣1,0),
∴当x=﹣1时,y=(﹣1)2a+b×(﹣1)+c=0,
∴a﹣b+c=0,即a=b﹣c,c=b﹣a,
∵对称轴为直线x=1
∴=1,即b=﹣2a,
∴c=b﹣a=(﹣2a)﹣a=﹣3a,
∴4ac﹣b2=4•a•(﹣3a)﹣(﹣2a)2=﹣16a2<0
∵8a>0
∴4ac﹣b2<8a
故③正确
④∵图象与y轴的交点B在(0,﹣2)和(0,﹣1)之间,
∴﹣2<c<﹣1
∴﹣2<﹣3a<﹣1,
∴>a>;
故④正确
⑤∵a>0,
∴b﹣c>0,即b>c;
故⑤正确;
故选:
D.
5.(2016·四川广安·3分)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,并且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0有两个不相等的实数根,下列结论:
①b2﹣4ac<0;②abc>0;③a﹣b+c<0;④m>﹣2,
其中,正确的个数有( )
A.1B.2C.3D.4
【考点】二次函数图象与系数的关系.
【分析】直接利用抛物线与x轴交点个数以及抛物线与方程之间的关系、函数图象与各系数之间关系分析得出答案.
【解答】解:
如图所示:
图象与x轴有两个交点,则b2﹣4ac>0,故①错误;
∵图象开口向上,∴a>0,
∵对称轴在y轴右侧,
∴a,b异号,
∴b<0,
∵图象与y轴交于x轴下方,
∴c<0,
∴abc>0,故②正确;
当x=﹣1时,a﹣b+c>0,故此选项错误;
∵二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标纵坐标为:
﹣2,
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0有两个不相等的实数根,则m>﹣2,
故④正确.
故选:
B.
6.(2016·四川凉山州·4分)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图,则反比例函数与一次函数y=bx﹣c在同一坐标系内的图象大致是( )
A.B.C.D.
【考点】反比例函数的图象;一次函数的图象;二次函数的图象.
【分析】根据二次函数的图象找出a、b、c的正负,再结合反比例函数、一次函数系数与图象的关系即可得出结论.
【解答】解:
观察二次函数图象可知:
开口向上,a>0;对称轴大于0,﹣>0,b<0;二次函数图象与y轴交点在y轴的正半轴,c>0.
∵反比例函数中k=﹣a<0,
∴反比例函数图象在第二、四象限内;
∵一次函数y=bx﹣c中,b<0,﹣c<0,
∴一次函数图象经过第二、三、四象限.
故选C.
7.(2016湖北襄阳,10,3分)一次函数y=ax+b和反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的图象如图所示,则二次函数y=ax2+bx+c的图象大致为( )
A.B.C.D.
【考点】反比例函数的图象;一次函数的图象;二次函数的图象.
【分析】根据一次函数的图象的性质先确定出a、b的取值范围,然后根据反比例函数的性质确定出c的取值范围,最后根据二次函数的性质即可做出判断.
【解答】解:
∵一次函数y=ax+b经过一、二、四象限,
∴a<0,b>0,
∵反比例函数y=的图象在一、三象限,
∴c>0,
∵a<0,
∴二次函数y=ax2+bx+c的图象的开口向下,
∵b>0,
∴>0,
∵c>0,
∴与y轴的正半轴相交,
故选C.
【点评】本题主要考查的是二次函数、一次函数和反比例函数的性质,掌握相关性质是解题的关键.
8.(2016湖北孝感,10,3分)如图是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象,其顶点坐标为(1,n),且与x轴的一个交点在点(3,0)和(4,0)之间.则下列结论:
①a﹣b+c>0;
②3a+b=0;
③b2=4a(c﹣n);
④一元二次方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根.
其中正确结论的个数是( )
A.1B.2C.3D.4
【考点】二次函数图象与系数的关系.
【专题】数形结合.
【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点(﹣2,0)和(﹣1,0)之间,则当x=﹣1时,y>0,于是可对①进行判断;利用抛物线的对称轴为直线x=﹣=1,即b=﹣2a,则可对②进行判断;利用抛物线的顶点的纵坐标为n得到=n,则可对③进行判断;由于抛物线与直线y=n有一个公共点,则抛物线与直线y=n﹣1有2个公共点,于是可对④进行判断.
【解答】解:
∵抛物线与x轴的一个交点在点(3,0)和(4,0)之间,而抛物线的对称轴为直线x=1,
∴抛物线与x轴的另一个交点在点(﹣2,0)和(﹣1,0)之间.
∴当x=﹣1时,y>0,
即a﹣b+c>0,所以①正确;
∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1,即b=﹣2a,
∴3a+b=3a﹣2a=a,所以②错误;
∵抛物线的顶点坐标为(1,n),
∴=n,
∴b2=4ac﹣4an=4a(c﹣n),所以③正确;
∵抛物线与直线y=n有一个公共点,
∴抛物线与直线y=n﹣1有2个公共点,
∴一元二次方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根,所以④正确.
故选C.
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系:
对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小:
当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口;一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置:
当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右;常数项c决定抛物线与y轴交点位置:
抛物线与y轴交于(0,c):
抛物线与x轴交点个数由△决定:
△=b2﹣4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点;△=b2﹣4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点;△=b2﹣4ac<0时,抛物线与x轴没有交点.
9.(2016·广东广州)对于二次函数,下列说法正确的是()
A、当x>0,y随x的增大而增大B、当x=2时,y有最大值-3
C、图像的顶点坐标为(-2,-7)D、图像与x轴有两个交点
[难易]中等
[考点]二次函数的性质
[解析]二次函数,所以二次函数的开口向下,当时,取得最大值,最大值为-3,所以B正确。
[参考答案]B
10.(2016年浙江省宁波市)已知函数y=ax2﹣2ax﹣1(a是常数,a≠0),下列结论正确的是( )
A.当a=1时,函数图象过点(﹣1,1)
B.当a=﹣2时,函数图象与x轴没有交点
C.若a>0,则当x≥1时,y随x的增大而减小
D.若a<0,则当x≤1时,y随x的增大而增大
【考点】二次函数的性质.
【分析】把a=1,x=﹣1代入y=ax2﹣2ax﹣1,于是得到函数图象不经过点(﹣1,1),根据△=8>0,得到函数图象与x轴有两个交点,根据抛物线的对称轴为直线x=﹣=1判断二次函数的增减性.
【解答】解:
A、∵当a=1,x=﹣1时,y=1+2﹣1=2,∴函数图象不经过点(﹣1,1),故错误;
B、当a=﹣2时,∵△=42﹣4×(﹣2)×(﹣1)=8>0,∴函数图象与x轴有两个交点,故错误;
C、∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1,∴若a>0,则当x≥1时,y随x的增大而增大,故错误;
D、∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1,∴若a<0,则当x≤1时,y随x的增大而增大,故正确;
故选D.
【点评】本题考查的是二次函数的性质,熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.
11.(2016年浙江省衢州市)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象上部分点的坐标(x,y)对应值列表如下:
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
…
y
…
﹣3
﹣2
﹣3
﹣6
﹣11
…
则该函数图象的对称轴是( )
A.直线x=﹣3B.直线x=﹣2C.直线x=﹣1D.直线x=0
【考点】二次函数的图象.
【分析】根据二次函数的对称性确定出二次函数的对称轴,然后解答即可.
【解答】解:
∵x=﹣3和﹣1时的函数值都是﹣3相等,
∴二次函数的对称轴为直线x=﹣2.
故选:
B.
1.(2016·山东烟台)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,下列结论:
①4ac<b2;②a+c>b;③2a+b>0.
其中正确的有( )
A.①②B.①③C.②③D.①②③
【考点】二次函数图象与系数的关系.
【分析】根据抛物线与x轴有两个交点即可判断①正确,根据x=﹣1,y<0,即可判断②错误,根据对称轴x>1,即可判断③正确,由此可以作出判断.
【解答】解:
∵抛物线与x轴有两个交点,
∴△>0,
∴b2﹣4ac>0,
∴4ac<b2,故①正确,
∵x=﹣1时,y<0,
∴a﹣b+c<0,
∴a+c<b,故②错误,
∴对称轴x>1,a<0,
∴﹣>1,
∴﹣b<2a,
∴2a+b>0,故③正确.
故选B.
12.(2016·山东枣庄)已知二次函数
(
)的图象如图所示,给出以下四个结论:
①
;②
;③
;④
.其中,正确的结论有
A.1个B.2个C.3个D.4个
【答案】C.
考点:
抛物线的图象与系数的关系.
13.(2016·山西)将抛物线
向左平移3个单位,再向上平移5个单位,得到抛物线的表达式为(D)
A.
B.
C.
D.
考点:
抛物线的平移
分析:
先将一般式化为顶点式,根据左加右减,上加下减来平移
解答:
将抛物线化为顶点式为:
,左平移3个单位,再向上平移5个单位
得到抛物线的表达式为
故选D.
14.(2016·上海)如果将抛物线y=x2+2向下平移1个单位,那么所得新抛物线的表达式是( )
A.y=(x﹣1)2+2B.y=(x+1)2+2C.y=x2+1D.y=x2+3
【考点】二次函数图象与几何变换.
【分析】根据向下平移,纵坐标相减,即可得到答案.
【解答】解:
∵抛物线y=x2+2向下平移1个单位,
∴抛物线的解析式为y=x2+2﹣1,即y=x2+1.
故选C.
【点评】本题考查了二次函数的图象与几何变换,向下平移|a|个单位长度纵坐标要减|a|.
15.(2016·四川巴中)如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,图象过点A(﹣3,0),对称轴为直线x=﹣1,给出四个结论:
①c>0;
②若点B(﹣,y1)、C(﹣,y2)为函数图象上的两点,则y1<y2;
③2a﹣b=0;
④<0,
其中,正确结论的个数是( )
A.1B.2C.3D.4
【考点】二次函数图象与系数的关系.
【分析】①根据抛物线y轴交点情况可判断;②根据点离对称轴的远近可判断;③根根据抛物线对称轴可判断;④根据抛物线与x轴交点个数以及不等式的性质可判断.
【解答】解:
由抛物线交y轴的正半轴,∴c>0,故①正确;
∵对称轴为直线x=﹣1,
∴点B(﹣,y1)距离对称轴较近,
∵抛物线开口向下,
∴y1>y2,故②错误;
∵对称轴为直线x=﹣1,
∴﹣=﹣1,即2a﹣b=0,故③正确;
由函数图象可知抛物线与x轴有2个交点,
∴b2﹣4ac>0即4ac﹣b2<0,
∵a<0,
∴>0,故④错误;
综上,正确的结论是:
①③,
故选:
B.
16.(2016山东省聊城市,3分)二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数且a≠0)的图象如图所示,则一次函数y=ax+b与反比例函数y=的图象可能是( )
A.B.C.D.
【考点】反比例函数的图象;一次函数的图象;二次函数的图象.
【专题】函数及其图象.
【分析】根据二次函数y=ax2+bx+c的图象,可以判断a、b、c的正负情况,从而可以判断一次函数y=ax+b与反比例函数y=的图象分别在哪几个象限,从而可以解答本题.
【解答】解:
由二次函数y=ax2+bx+c的图象可知,a>0,b<0,c<0,
则一次函数y=ax+b的图象经过第一、三、四象限,
反比例函数y=的图象在二四象限,
故选C.
【点评】本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象、二次函数的图象,解题的关键是明确它们各自图象的特点,利用数形结合的思想解答问题.
17.(2016.山东省临沂市,3分)二次函数y=ax2+bx+c,自变量x与函数y的对应值如表:
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
…
y
…
4
0
﹣2
﹣2
0
4
…
下列说法正确的是( )
A.抛物线的开口向下
B.当x>﹣3时,y随x的增大而增大
C.二次函数的最小值是﹣2
D.抛物线的对称轴是x=﹣
【考点】二次函数的性质.
【专题】推理填空题;二次函数图象及其性质.
【分析】选出3点的坐标,利用待定系数法求出函数的解析式,再根据二次函数的性质逐项分析四个选项即可得出结论.
【解答】解:
将点(﹣4,0)、(﹣1,0)、(0,4)代入到二次函数y=ax2+bx+c中,
得:
,解得:
,
∴二次函数的解析式为y=x2+5x+4.
A、a=1>0,抛物线开口向上,A不正确;
B、﹣=﹣,当x≥﹣时,y随x的增大而增大,B不正确;
C、y=x2+5x+4=﹣,二次函数的最小值是﹣,C不正确;
D、﹣=﹣,抛物线的对称轴是x=﹣,D正确.
故选D.
【点评】本题考查了待定系数求函数解析式以及二次函数的性质,解题的关键是利用待定系数法求出函数解析式.本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,结合点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键.
18.(2016.山东省泰安市,3分)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,那么一次函数y=ax+b的图象大致是( )
A.B.
C.D.
【分析】由y=ax2+bx+c的图象判断出a>0,b<0,于是得到一次函数y=ax+b的图象经过一,二,四象限,即可得到结论.
【解答】解:
∵y=ax2+bx+c的图象的开口向上,
∴a>0,
∵对称轴在y轴的左侧,
∴b>0,
∴一次函数y=ax+b的图象经过一,二,三象限.
故选A.
【点评】本题考查了二次函数和一次函数的图象,解题的关键是明确二次函数的性质,由函数图象可以判断a、b的取值范围.
19.(2016.山东省威海市,3分)已知二次函数y=﹣(x﹣a)2﹣b的图象如图所示,则反比例函数y=与一次函数y=ax+b的图象可能是( )
A.B.C.D.
【考点】反比例函数的图象;一次函数的图象;二次函数的图象.
【分析】观察二次函数图象,找出a>0,b>0,再结合反比例(一次)函数图象与系数的关系,即可得出结论.
【解答】解:
观察二次函数图象,发现:
图象与y轴交于负半轴,﹣b<0,b>0;
抛物线的对称轴a>0.
∵反比例函数y=中ab>0,
∴反比例函数图象在第一、三象限;
∵一次函数y=ax+b,a>0,b>0,
∴一次函数y=ax+b的图象过第一、二、三象限.
故选B.
20.(2016·江苏省宿迁)若二次函数y=ax2﹣2ax+c的图象经过点(﹣1,0),则方程ax2﹣2ax+c=0的解为( )
A.x1=﹣3,x2=﹣1B.x1=1,x2=3C.x1=﹣1,x2=3D.x1=﹣3,x2=1
【分析】直接利用抛物线与x轴交点求法以及结合二次函数对称性得出答案.
【解答】解:
∵二次函数y=ax2﹣2ax+c的图象经过点(﹣1,0),
∴方程ax2﹣2ax+c=0一定有一个解为:
x=﹣1,
∵抛物线的对称轴为:
直线x=1,
∴二次函数y=ax2﹣2ax+c的图象与x轴的另一个交点为:
(3,0),
∴方程ax2﹣2ax+c=0的解为:
x1=﹣1,x2=3.
故选:
C.
【点评】此题主要考查了抛物线与x轴的交点,正确应用二次函数对称性是解题关键.
21.(2016•浙江省舟山)二次函数y=﹣(x﹣1)2+5,当m≤x≤n且mn<0时,y的最小值为2m,最大值为2n,则m+n的值为( )
A.B.2C.D.
【考点】二次函数的最值.
【分析】结合二次函数图象的开口方向、对称轴以及增减性进行解答即可.
【解答】解:
二次函数y=﹣(x﹣1)2+5的大致图象如下:
.
①当m≤0≤x≤n<1时,当x=m时y取最小值,即2m=﹣(m﹣1)2+5,
解得:
m=﹣2.
当x=n时y取最大值,即2n=﹣(n﹣1)2+5,
解得:
n=2或n=﹣2(均不合题意,舍去);
②当当m≤0≤x≤1≤n时,当x=m时y取最小值,即2m=﹣(m﹣1)2+5,
解得:
m=﹣2.
当x=1时y取最大值,即2n=﹣(1﹣1)2+5,
解得:
n=,
所以m+n=﹣2+=.
故选:
D.
22.(2016•辽宁沈阳)在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+2x﹣3的图象如图所示,点A(x1,y1),B(x2,y2)是该二次函数图象上的两点,其中﹣3≤x1<x2≤0,则下列结论正确的是( )
A.y1<y2B.y1>y2
C.y的最小值是﹣3D.y的最小值是﹣4
【考点】二次函数图象上点的坐标特征;二次函数的最值.
【分析】根据抛物线解析式求得抛物线的顶点坐标,结合函数图象的增减性进行解答.
【解答】解:
y=x2+2x﹣3=(x+3)(x﹣1),
则该抛物线与x轴的两交点横坐标分别是﹣3、1.
又y=x2+2x﹣3=(x+1)2﹣4,
∴该抛物线的顶点坐标是(﹣1,﹣4),对称轴为x=
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- 二次 函数 提优题