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中考数学分类汇编正方形有解析
2018中考数学分类汇编--正方形(有解析)
2018中考数学试题分类汇编:
考点26正方形
一.选择题(共4小题)
1.(2018无锡)如图,已知点E是矩形ABCD的对角线AC上的一动点,正方形EFGH的顶点G、H都在边AD上,若AB=3,BC=4,则tan∠AFE的值()
A.等于B.等于
C.等于D.随点E位置的变化而变化
【分析】根据题意推知EF∥AD,由该平行线的性质推知△AEH∽△ACD,结合该相似三角形的对应边成比例和锐角三角函数的定义解答.
【解答】解:
∵EF∥AD,
∴∠AFE=∠FAG,
∴△AEH∽△ACD,
∴==.
设EH=3x,AH=4x,
∴HG=GF=3x,
∴tan∠AFE=tan∠FAG===.
故选:
A.
2.(2018宜昌)如图,正方形ABCD的边长为1,点E,F分别是对角线AC上的两点,EG⊥AB.EI⊥AD,FH⊥AB,FJ⊥AD,垂足分别为G,I,H,J.则图中阴影部分的面积等于()
A.1B.C.D.
【分析】根据轴对称图形的性质,解决问题即可;
【解答】解:
∵四边形ABCD是正方形,
∴直线AC是正方形ABCD的对称轴,
∵EG⊥AB.EI⊥AD,FH⊥AB,FJ⊥AD,垂足分别为G,I,H,J.
∴根据对称性可知:
四边形EFHG的面积与四边形EFJI的面积相等,
∴S阴=S正方形ABCD=,
故选:
B.
3.(2018湘西州)下列说法中,正确个数有()
①对顶角相等;
②两直线平行,同旁内角相等;
③对角线互相垂直的四边形为菱形;
④对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形.
A.1个B.2个C.3个D.4个
【分析】根据对顶角的性质,菱形的判定,正方形的判定,平行线的性质,可得答案.
【解答】解:
①对顶角相等,故①正确;
②两直线平行,同旁内角互补,故②错误;
③对角线互相垂直且平分的四边形为菱形,故③错误;
④对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形,故④正确,
故选:
B.
4.(2018张家界)下列说法中,正确的是()
A.两条直线被第三条直线所截,内错角相等
B.对角线相等的平行四边形是正方形
C.相等的角是对顶角
D.角平分线上的点到角两边的距离相等
【分析】根据平行线的性质、正方形的判定、矩形的判定、对顶角的性质、角平分线性质逐个判断即可.
【解答】解:
A、两条平行线被第三条直线所截,内错角才相等,错误,故本选项不符合题意;
B、对角线相等的四边形是矩形,不一定是正方形,错误,故本选项不符合题意;
C、相等的角不一定是对顶角,错误,故本选项不符合题意;
D、角平分线上的点到角的两边的距离相等,正确,故本选项符合题意;
故选:
D.
二.填空题(共7小题)
5.(2018武汉)以正方形ABCD的边AD作等边△ADE,则∠BEC的度数是30°或150°.
【分析】分等边△ADE在正方形的内部和外部两种情况分别求解可得.
【解答】解:
如图1,
∵四边形ABCD为正方形,△ADE为等边三角形,
∴AB=BC=CD=AD=AE=DE,∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°,∠AED=∠ADE=∠DAE=60°,
∴∠BAE=∠CDE=150°,又AB=AE,DC=DE,
∴∠AEB=∠CED=15°,
则∠BEC=∠AED﹣∠AEB﹣∠CED=30°.
如图2,
∵△ADE是等边三角形,
∴AD=DE,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=DC,
∴DE=DC,
∴∠CED=∠ECD,
∴∠CDE=∠ADC﹣∠ADE=90°﹣60°=30°,
∴∠CED=∠ECD=(180°﹣30°)=75°,
∴∠BEC=360°﹣75°×2﹣60°=150°.
故答案为:
30°或150°.
6.(2018呼和浩特)如图,已知正方形ABCD,点M是边BA延长线上的动点(不与点A重合),且AM<AB,△CBE由△DAM平移得到.若过点E作EH⊥AC,H为垂足,则有以下结论:
①点M位置变化,使得∠DHC=60°时,2BE=DM;②无论点M运动到何处,都有DM=HM;③无论点M运动到何处,∠CHM一定大于135°.其中正确结论的序号为①②③.
【分析】先判定△MEH≌△DAH(SAS),即可得到△DHM是等腰直角三角形,进而得出DM=HM;依据当∠DHC=60°时,∠ADH=60°﹣45°=15°,即可得到Rt△ADM中,DM=2AM,即可得到DM=2BE;依据点M是边BA延长线上的动点(不与点A重合),且AM<AB,可得∠AHM<∠BAC=45°,即可得出∠CHM>135°.
【解答】解:
由题可得,AM=BE,
∴AB=EM=AD,
∵四边形ABCD是正方形,EH⊥AC,
∴EM=AH,∠AHE=90°,∠MEH=∠DAH=45°=∠EAH,
∴EH=AH,
∴△MEH≌△DAH(SAS),
∴∠MHE=∠DHA,MH=DH,
∴∠MHD=∠AHE=90°,△DHM是等腰直角三角形,
∴DM=HM,故②正确;
当∠DHC=60°时,∠ADH=60°﹣45°=15°,
∴∠ADM=45°﹣15°=30°,
∴Rt△ADM中,DM=2AM,
即DM=2BE,故①正确;
∵点M是边BA延长线上的动点(不与点A重合),且AM<AB,
∴∠AHM<∠BAC=45°,
∴∠CHM>135°,故③正确;
故答案为:
①②③.
7.(2018青岛)如图,已知正方形ABCD的边长为5,点E、F分别在AD、DC上,AE=DF=2,BE与AF相交于点G,点H为BF的中点,连接GH,则GH的长为.
【分析】根据正方形的四条边都相等可得AB=AD,每一个角都是直角可得∠BAE=∠D=90°,然后利用“边角边”证明△ABE≌△DAF得∠ABE=∠DAF,进一步得∠AGE=∠BGF=90°,从而知GH=BF,利用勾股定理求出BF的长即可得出答案.
【解答】解:
∵四边形ABCD为正方形,
∴∠BAE=∠D=90°,AB=AD,
在△ABE和△DAF中,
∵,
∴△ABE≌△DAF(SAS),
∴∠ABE=∠DAF,
∵∠ABE+∠BEA=90°,
∴∠DAF+∠BEA=90°,
∴∠AGE=∠BGF=90°,
∵点H为BF的中点,
∴GH=BF,
∵BC=5、CF=CD﹣DF=5﹣2=3,
∴BF==,
∴GH=BF=,
故答案为:
.
8.(2018咸宁)如图,将正方形OEFG放在平面直角坐标系中,O是坐标原点,点E的坐标为(2,3),则点F的坐标为(﹣1,5).
【分析】结合全等三角形的性质可以求得点G的坐标,再由正方形的中心对称的性质求得点F的坐标.
【解答】解:
如图,过点E作x轴的垂线EH,垂足为H.过点G作x轴的垂线EG,垂足为G,连接GE、FO交于点O′.
∵四边形OEFG是正方形,
∴OG=EO,∠GOM=∠OEH,∠OGM=∠EOH,
在△OGM与△EOH中,
∴△OGM≌△EOH(ASA)
∴GM=OH=2,OM=EH=3,
∴G(﹣3,2).
∴O′(﹣,).
∵点F与点O关于点O′对称,
∴点F的坐标为(﹣1,5).
故答案是:
(﹣1,5).
9.(2018江西)在正方形ABCD中,AB=6,连接AC,BD,P是正方形边上或对角线上一点,若PD=2AP,则AP的长为2或2或﹣.
【分析】根据正方形的性质得出AC⊥BD,AC=BD,OB=OA=OC=OD,AB=BC=AD=CD=6,∠ABC=90°,根据勾股定理求出AC、BD、求出OA、OB、OC、OD,画出符合的三种情况,根据勾股定理求出即可.
【解答】解:
∵四边形ABCD是正方形,AB=6,
∴AC⊥BD,AC=BD,OB=OA=OC=OD,AB=BC=AD=CD=6,∠ABC=∠DAB=90°,
在Rt△ABC中,由勾股定理得:
AC===6,
∴OA=OB=OC=OD=3,
有三种情况:
①点P在AD上时,
∵AD=6,PD=2AP,
∴AP=2;
②点P在AC上时,
设AP=x,则DP=2x,
在Rt△DPO中,由勾股定理得:
DP2=DO2+OP2,
(2x)2=(3)2+(3﹣x)2,
解得:
x=﹣(负数舍去),
即AP=﹣;
③点P在AB上时,
设AP=y,则DP=2y,
在Rt△APD中,由勾股定理得:
AP2+AD2=DP2,
y2+62=(2y)2,
解得:
y=2(负数舍去),
即AP=2;
故答案为:
2或2或﹣.
10.(2018潍坊)如图,正方形ABCD的边长为1,点A与原点重合,点B在y轴的正半轴上,点D在x轴的负半轴上,将正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°至正方形AB'C′D′的位置,B'C′与CD相交于点M,则点M的坐标为(﹣1,).
【分析】连接AM,由旋转性质知AD=AB′=1、∠BAB′=30°、∠B′AD=60°,证Rt△ADM≌Rt△AB′M得∠DAM=∠B′AD=30°,由DM=ADtan∠DAM可得答案.
【解答】解:
如图,连接AM,
∵将边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形AB'C′D′,
∴AD=AB′=1,∠BAB′=30°,
∴∠B′AD=60°,
在Rt△ADM和Rt△AB′M中,
∵,
∴Rt△ADM≌Rt△AB′M(HL),
∴∠DAM=∠B′AM=∠B′AD=30°,
∴DM=ADtan∠DAM=1×=,
∴点M的坐标为(﹣1,),
故答案为:
(﹣1,).
11.(2018台州)如图,在正方形ABCD中,AB=3,点E,F分别在CD,AD上,CE=DF,BE,CF相交于点G.若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2:
3,则△BCG的周长为+3.
【分析】根据面积之比得出△BGC的面积等于正方形面积的,进而依据△BCG的面积以及勾股定理,得出BG+CG的长,进而得出其周长.
【解答】解:
∵阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2:
3,
∴阴影部分的面积为×9=6,
∴空白部分的面积为9﹣6=3,
由CE=DF,BC=CD,∠BCE=∠CDF=90°,可得△BCE≌△CDF,
∴△BCG的面积与四边形DEGF的面积相等,均为×3=,
设BG=a,CG=b,则ab=,
又∵a2+b2=32,
∴a2+2ab+b2=9+6=15,
即(a+b)2=15,
∴a+b=,即BG+CG=,
∴△BCG的周长=+3,
故答案为:
+3.
三.解答题(共6小题)
12.(2018盐城)在正方形ABCD中,对角线BD所在的直线上有两点E、F满足BE=DF,连接AE、AF、CE、CF,如图所示.
(1)求证:
△ABE≌△ADF;
(2)试判断四边形AECF的形状,并说明理由.
【分析】
(1)根据正方形的性质和全等三角形的判定证明即可;
(2)四边形AECF是菱形,根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可判断;
【解答】证明:
(1)∵正方形ABCD,
∴AB=AD,
∴∠ABD=∠ADB,
∴∠ABE=∠ADF,
在△ABE与△ADF中
,
∴△ABE≌△ADF(SAS);
(2)连接AC,
四边形AECF是菱形.
理由:
∵正方形ABCD,
∴OA=OC,OB=OD,AC⊥EF,
∴OB+BE=OD+DF,
即OE=OF,
∵OA=OC,OE=OF,
∴四边形AECF是平行四边形,
∵AC⊥EF,
∴四边形AECF是菱形.
13.(2018吉林)如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在BC,CD上,且BE=CF,求证:
△ABE≌△BCF.
【分析】根据正方形的性质,利用SAS即可证明;
【解答】证明:
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC,∠ABE=∠BCF=90°,
在△ABE和△BCF中,
,
∴△ABE≌△BCF.
14.(2018白银)已知矩形ABCD中,E是AD边上的一个动点,点F,G,H分别是BC,BE,CE的中点.
(1)求证:
△BGF≌△FHC;
(2)设AD=a,当四边形EGFH是正方形时,求矩形ABCD的面积.
【分析】
(1)根据三角形中位线定理和全等三角形的判定证明即可;
(2)利用正方形的性质和矩形的面积公式解答即可.
【解答】解:
(1)∵点F,G,H分别是BC,BE,CE的中点,
∴FH∥BE,FH=BE,FH=BG,
∴∠CFH=∠CBG,
∵BF=CF,
∴△BGF≌△FHC,
(2)当四边形EGFH是正方形时,可得:
EF⊥GH且EF=GH,
∵在△BEC中,点,H分别是BE,CE的中点,
∴GH=,且GH∥BC,
∴EF⊥BC,
∵AD∥BC,AB⊥BC,
∴AB=EF=GH=a,
∴矩形ABCD的面积=.
15.(2018潍坊)如图,点M是正方形ABCD边CD上一点,连接AM,作DE⊥AM于点E,BF⊥AM于点F,连接BE.
(1)求证:
AE=BF;
(2)已知AF=2,四边形ABED的面积为24,求∠EBF的正弦值.
【分析】
(1)通过证明△ABF≌△DEA得到BF=AE;
(2)设AE=x,则BF=x,DE=AF=2,利用四边形ABED的面积等于△ABE的面积与△ADE的面积之和得到xx+x2=24,解方程求出x得到AE=BF=6,则EF=x﹣2=4,然后利用勾股定理计算出BE,最后利用正弦的定义求解.
【解答】
(1)证明:
∵四边形ABCD为正方形,
∴BA=AD,∠BAD=90°,
∵DE⊥AM于点E,BF⊥AM于点F,
∴∠AFB=90°,∠DEA=90°,
∵∠ABF+∠BAF=90°,∠EAD+∠BAF=90°,
∴∠ABF=∠EAD,
在△ABF和△DEA中
,
∴△ABF≌△DEA(AAS),
∴BF=AE;
(2)解:
设AE=x,则BF=x,DE=AF=2,
∵四边形ABED的面积为24,
∴xx+x2=24,解得x1=6,x2=﹣8(舍去),
∴EF=x﹣2=4,
在Rt△BEF中,BE==2,
∴sin∠EBF===.
16.(2018湘潭)如图,在正方形ABCD中,AF=BE,AE与DF相交于点O.
(1)求证:
△DAF≌△ABE;
(2)求∠AOD的度数.
【分析】
(1)利用正方形的性质得出AD=AB,∠DAB=∠ABC=90°,即可得出结论;
(2)利用
(1)的结论得出∠ADF=∠BAE,进而求出∠ADF+∠DAO=90°,最后用三角形的内角和定理即可得出结论.
【解答】
(1)证明:
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠DAB=∠ABC=90°,AD=AB,
在△DAF和△ABE中,,
∴△DAF≌△ABE(SAS),
(2)由
(1)知,△DAF≌△ABE,
∴∠ADF=∠BAE,
∵∠ADF+∠DAO=∠BAE+∠DAO=∠DAB=90°,
∴∠AOD=180°﹣(∠ADF+DAO)=90°.
17.(2018遵义)如图,正方形ABCD的对角线交于点O,点E、F分别在AB、BC上(AE<BE),且∠EOF=90°,OE、DA的延长线交于点M,OF、AB的延长线交于点N,连接MN.
(1)求证:
OM=ON.
(2)若正方形ABCD的边长为4,E为OM的中点,求MN的长.
【分析】
(1)证△OAM≌△OBN即可得;
(2)作OH⊥AD,由正方形的边长为4且E为OM的中点知OH=HA=2、HM=4,再根据勾股定理得OM=2,由直角三角形性质知MN=OM.
【解答】解:
(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴OA=OB,∠DAO=45°,∠OBA=45°,
∴∠OAM=∠OBN=135°,
∵∠EOF=90°,∠AOB=90°,
∴∠AOM=∠BON,
∴△OAM≌△OBN(ASA),
∴OM=ON;
(2)如图,过点O作OH⊥AD于点H,
∵正方形的边长为4,
∴OH=HA=2,
∵E为OM的中点,
∴HM=4,
则OM==2,
∴MN=OM=2.
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