12章 全等三角形教案.docx
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12章全等三角形教案
第12课时12.1全等三角形
一、教学目标
1、领会全等三角形对应边和对应角相等的有关概念.
2、经历探索全等三角形性质的过程,能在全等三角形中正确找出对应边、对应角.
3、培养观察、操作、分析能力,体会全等三角形的应用价值.
二、教学重难点
重点:
会确定全等三角形的对应元素.
难点:
掌握找对应边、对应角的方法.
三、教学过程
(一)、动手操作,导入课题
1.先在其中一张纸上画出任意一个多边形,再用剪刀剪下,思考得到的图形有何特点?
2.重新在一张纸板上画出任意一个三角形,再用剪刀剪下,思考得到的图形有何特点
【学生活动】动手操作、用脑思考、与同伴讨论,得出结论.
指导学生用剪刀剪出重叠的两个多边形和三角形.
在学生操作过程中,让学生事先在纸上画出三角形,然后固定重叠的两张纸,注意整个过程要细心.
【互动交流】剪出的多边形和三角形,可以看出:
形状、大小相同,能够完全重合.这样的两个图形叫做全等形,用“≌”表示.
概念:
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.
在纸版上任意剪下一个三角形,要求学生手拿一个三角形,做如下运动:
平移、翻折、旋转,观察其运动前后的三角形会全等吗?
【学生活动】动手操作,实践感知,得出结论:
两个三角形全等.
要求学生用字母表示出每个剪下的三角形,同时互相指出每个三角形的顶点、三个角、三条边、每条边的边角、每个角的对边.
【学生活动】把两个三角形按上述要求标上字母,并任意放置,与同桌交流:
(1)何时能完全重在一起?
(2)此时它们的顶点、边、角有何特点?
【交流讨论】通过同桌交流,实验得出下面结论:
1.任意放置时,并不一定完全重合,只有当把相同的角旋转到一起时才能完全重合.
2.这时它们的三个顶点、三条边和三个内角分别重合了.
3.完全重合说明三条边对应相等,三个内角对应相等,对应顶点在相对应的位置.
根据学生交流的情况,给予补充和语言上的规范.
1.概念:
把两个全等的三角形重合到一起,重合的顶点叫做对应顶点,重合的边叫做对应
边,重合的角叫做对应角.
2.证两个三角形全等时,通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上,如果本图11.1─2△ABC和△DBC全等,点A和点D,点B和点B,点C和点C是对应顶点,记作△ABC≌△DBC.
【问题提出】课本图11.1─1中,△ABC≌△DEF,对应边有什么关系?
对应角呢?
【学生活动】经过观察得到下面性质:
1.全等三角形对应边相等;
2.全等三角形对应角相等.
(二)、随堂练习,巩固深化
课本P32练习.
【探研】
1.如图1所示,△ACF≌△DBE,∠E=∠F,若AD=20cm,BC=8cm,你能求出线段AB的长吗?
与同伴交流.(AB=6)
2.如图2所示,△ABC≌△AEC,∠B=30°,∠ACB=85°,求出△AEC各内角的度数.(∠AEC=30°,∠EAC=65°,∠ECA=85°)
四、课堂小结
1.什么叫做全等三角形?
2.全等三角形具有哪些性质?
五、作业
课本P33习题12.1第1,2,3,4题.
《同步学习》P18页
第13课时12.2三角形全等的判定1(SSS)
一、教学目标
1、了解三角形的稳定性,会应用“边边边”判定两个三角形全等.
2、经历探索“边边边”判定全等三角形的过程,解决简单的问题.
3、培养有条理的思考和表达能力,形成良好的合作意识.
二、教学重难点
重点:
掌握“边边边”判定两个三角形全等的方法.
难点:
理解证明的基本过程,学会综合分析法.
三、教学过程
(一)、设疑求解,操作感知(出示教具)
问题提出:
一块三角形的玻璃损坏后,只剩下如图2所示的残片,你对图中的残片作哪些测量,就可以割取符合规格的三角形玻璃,与同伴交流.
【学生活动】观察,思考,回答问题.
方法如下:
可以将图1的玻璃碎片放在一块纸板上,然后用直尺和铅笔或水笔画出一块完整的三角形.如图2,剪下模板就可去割玻璃了.
如果△ABC≌△A′B′C′,那么它们的对应边相等,对应角相等.反之,如果△ABC与△A′B′C′满足三条边对应相等,三个角对应相等,即AB=A′B′,BC=B′C′,CA=C′A′,∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′.
这六个条件,就能保证△ABC≌△A′B′C′,从刚才的实践我们可以发现:
只要两个三角形三条对应边相等,就可以保证这两块三角形全等.
【作图验证】(用直尺和圆规)
先任意画出一个△ABC,再画一个△A′B′C′,使A′B′=AB,B′C′=BC,C′A′=CA.把画出的△A′B′C′剪下来,放在△ABC上,它们能完全重合吗?
(即全等吗)
【学生活动】拿出直尺和圆规按上面的要求作图,并验证.(如课本图11.2-2所示)
画一个△A′B′C′,使A′B′=AB′,A′C′=AC,B′C′=BC:
1.画线段取B′C′=BC;
2.分别以B′、C′为圆心,线段AB、AC为半径画弧,两弧交于点A′;
3.连接线段A′B′、A′C′.
引入课题:
上述的生活实例和尺规作图的结果反映了什么规律?
【学生活动】在思考、实践的基础上可以归纳出下面判定两个三角形全等的定理.
(1)判定方法:
三边对应相等的两个三角形全等(简写成“边边边”或“SSS”).
(2)判断两个三角形全等的推理过程,叫做证明三角形全等.
【评析】通过学生全过程的画图、观察、比较、交流等,逐步探索出最后的结论──边边边,在这个过程中,学生不仅得到了两个三角形全等的条件,同时增强了数学体验.
(二)、范例点击,应用所学
【例1P36】如11.2─3所示,△ABC是一个钢架,AB=AC,AD是连接点A与BC中点D的支架,求证△ABD≌△ACD.(教师板书)
分析:
要证明△ABD≌△ACD,可看这两个三角形的三条边是否对应相等.
证明:
∵D是BC的中点,
∴BD=CD
在△ABD和△ACD中
∴△ABD≌△ACD(SSS).
【评析】符号“∵”表示“因为”,“∴”表示“所以”;从例1可以看出,证明是由题设(已知)出发,经过一步步的推理,最后推出结论(求证)正确的过程.书写中注意对应顶点要写在同一个位置上,哪个三角形先写,哪个三角形的边就先写.
(三)、实践应用,合作学习
【问题思考】
已知AC=FE,BC=DE,点A、D、B、F在直线上,AD=FB(如图所示),要用“边边边”证明△ABC≌△FDE,除了已知中的AC=FE,BC=DE以外,还应该有什么条件?
怎样才能得到这个条件?
请学生说说自己的想法.
【学生活动】先独立思考后,再发言:
“还应该有AB=FD,只要AD=FB两边都加上DB即可得到AB=FD.”
(四)、课堂堂练习
课本P37练习.
《课堂练习》P14页
【探研】
如图所示,AB=DF,AC=DE,BE=CF,BC与EF相等吗?
你能找到一对全等三角形吗?
说明你的理由.(BC=EF,△ABC≌△DFE)
四、课堂小结
1.全等三角形性质是什么?
2.正确地判断出全等三角形的对应边、对应角,利用全等三角形处理问题的基础,你是怎样掌握判断对应边、对应角的方法?
3.“边边边”判定法告诉我们什么呢?
(答:
只要一个三角形三边长度确定了,则这个三角形的形状大小就完全确定了,这就是三角形的稳定性)
五、布置作业,专题突破
课本P43--44页1、9.
《同步学习》P19—20页
第14课时12.2三角形全等判定2(SAS)
一、教学目标
1、领会“边角边”判定两个三角形的方法.
2、经历探究三角形全等的判定方法的过程,学会解决简单的推理问题.
3、培养合情推理能力,感悟三角形全等的应用价值.
二、教学重难点
重点:
会用“边角边”证明两个三角形全等.
难点:
应用结合法的格式表达问题.
三、教学过程
(一)、回顾交流,操作分析
作一个角等于已知角.
【学生活动】动手用直尺、圆规画图.
已知:
∠AOB.
求作:
∠A1O1B1,使∠A1O1B1=∠AOB.
【作法】
(1)作射线O1A1;
(2)以点O为圆心,以适当长为半径画弧,交OA于点C,交OB于点D;(3)以点O1为圆心,以OC长为半径画弧,交O1A1于点C1;(4)以点C1为圆心,以CD长为半径画弧,交前面的弧于点D1;(5)过点D1作射线O1B1,∠A1O1B1就是所求的角.
【导入课题】
叙述:
请同学们连接CD、C1D1,回忆作图过程,分析△COD和△C1O1D1中相等的条件.
与同伴交流,发现下面的相等量:
OD=O1D1,OC=O1C1,∠COD=∠C1O1D1,△COD≌△C1O1D1.
归纳出规律:
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简写成“边角边”或“SAS”).
通过让学生回忆基本作图,在作图过程中体会相等的条件,在直观的操作过程中发现问题,获得新知,使学生的知识承上启下,开拓思维,发展探究新知的能力.
(二)、范例
例2(P38)如图所示有一池塘,要测池塘两侧A、B的距离,可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点,连接AC并延长到D,使CD=CA,连接BC并延长到E,使CE=CB,连接DE,那么量出DE的长就是A、B的距离,为什么?
分析:
如果能够证明△ABC≌△DEC,就可以得出AB=DE.在△ABC和△DEC中,CA=CD,CB=CE,如果能得出∠1=∠2,△ABC和△DEC就全等了.
证明:
在△ABC和△DEC中
∴△ABC≌△DEC(SAS)
∴AB=DE
想一想:
∠1=∠2的依据是什么?
(对顶角相等)AB=DE的依据是什么?
(全等三角形对应边相等)
让学生参与领悟“边角边”证明三角形全等的方法,学会分析推理和规范书写.
评析:
证明分别属于两个三角形的线段相等或角相等的问题,常常通过证明这两个三角形全等来解决.
(三)、辨析理解,正确掌握
【问题探究】
我们知道,两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等,由“两边及其中一边的对角对应相等”的条件能判定两个三角形全等吗?
为什么?
拿出教具进行示范,让学生直观地感受到问题的本质.
操作教具:
把一长一短两根细木棍的一端用螺钉铰合在一起,使长木棍的另一端与射线BC的端点B重合,适当调整好长木棍与射线BC所成的角后,固定住长木棍,把短木棍摆起来(课本图12.2-7),出现一个现象:
△ABC与△ABD满足两边及其中一边对角相等的条件,但△ABC与△ABD不全等.这说明,有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.
让学生观察操作教具、发现问题、辨析理解,动手用直尺和圆规实验一次,做法如下:
(如图右图所示)
(1)画∠ABT;
(2)以A为圆心,以适当长为半径,画弧,交BT于C、C′;
(3)连线AC,AC′,△ABC与△ABC′不全等.
结论:
“边边角”不能作为判定两个三角形全等的条件.
(四)、练习
课本P39练习第1、2题.
探研:
一位经历过战争的老人讲述了这样一个故事:
(如图2所示)
四、课堂小结:
1.请你叙述“边角边”定理.
2.证明两个三角形全等的思路是:
首先分析条件,观察已经具备了什么条件;然后以已具备的条件为基础根据全等三角形的判定方法,来确定还需要证明哪些边或角对应相等,再设法证明这些边和角相等.
五、作业,专题突破
课本P43—44页习题12.2第3、4题.《同步学习》P20—21页
第15课时12.2三角形全等判定3(ASA)
一、教学目标
1、理解“角边角”、“角角边”判定三角形全等的方法.
2、经历探索“角边角”、“角角边”判定三角形全等的过程,能运用已学三角形判定法解决实际问题.
3、培养良好的几何推理意识,发展思维,感悟全等三角形的应用价值.
二、教学重难点
重点:
应用“角边角”、“角角边”判定三角形全等.
难点:
学会综合法解决几何推理问题.
三、教学过程
(一)、回顾交流,巩固学习
1、小菁做了一个如图1所示的风筝,其中∠EDH=∠FDH,ED=FD,将上述条件注在图中,小明不用测量就能知道EH=FH吗?
与同伴交流.
(1)
(2)
(能,因为根据“SAS”,可以得到△EDH≌△FDH,从而EH=FH)
2.如图2,AB=AD,AC=AE,能添上一个条件证明出△ABC≌△ADE吗?
[答案:
BC=DE(SSS)或∠BAC=∠DAE(SAS)].
3.如果两边及其中一边的对角对应相等,两个三角形一定会全等吗?
试举例说明.
提出问题,组织学生思考和提问.
活动:
通过情境思考,复习前面学过的知识,学会正确选择三角形全等的判定方法。
(二)、新课讲解
探究:
先任意画一个△ABC,再画出一个△A′B′C′,使A′B′=AB,∠A′=∠A,∠B′=∠B(即使两角和它们的夹边对应相等),把画出的△A′B′C′剪下,放到△ABC上,它们全等吗?
学生动手操作,感知问题的规律,画图如下:
画一个△A′B′C′,使A′B′=AB,
∠A′=∠A,∠B′=∠B:
1.画A′B′=AB;
2.在A′B′的同旁画∠DA′B′=∠A,
∠EBA′=∠B,A′D,B′E交于点C′。
结论:
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”).
提出问题:
课本图12.2─8中,∠A′=∠A,∠B′=∠B,那么∠C=∠A′C′B′吗?
为什么?
根据三角形内角和定理,∠C′=180°-∠A′-∠B′,∠C=180°-∠A-∠B,由于∠A=∠A′,∠B=∠B′,∴∠C=∠C′.
提问:
在△ABC和△DEF中,∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF(课本图12.2─9),△ABC与△DEF全等吗?
活动:
运用三角形内角和定理,以及“ASA”很快证出△ABC≌△EFD,并且归纳如下:
结论:
两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(简与成AAS).
(三)、范例点击,应用所学
例3(P40)如图,D在AB上,E在AC上,AB=AC,∠B=∠C,求证:
AD=AE.
引导学生分析:
关键是寻找到和已知条件有关的△ACD和△ABE,再证它们全等,从而得出AD=AE.
证明:
在△ACD与△ABE中,
∴△ACD≌△ABE(ASA)
∴AD=AE
提问:
三角对应相等的两个三角形全等吗?
学生互相交流
有三角对应相等的两个三角形不一定会全等,例子如右图
(四)、课堂练习
课本P41页练习第1,2题《课堂作业》P17
四、课堂小结
1、证明两个三角形全等有几种方法?
如何正确选择和应用这些方法?
2、全等三角形性质可以用来证明哪些问题?
举例说明.
3、你在本节课的探究过程中,有什么感想?
五、作业
课本P43--44习题12.2第5,6,9,10题.《同步练习》P22—23页
第16课时12.2三角形全等判定4(HL)
一、教学目标
1、在操作、比较中理解直角三角形全等的过程,并能用于解决实际问题.
2、经历探索直角三角形全等判定的过程,掌握数学方法,提高合情推理的能力.
3、培养几何推理意识,激发学生求知欲,感悟几何思维的内涵.
二、教学重难点
重点:
理解利用“斜边、直角边”来判定直角三角形全等的方法.
难点:
培养有条理的思考能力,正确使用“综合法”表达.
三、教学过程
(一)、回顾交流,迁移拓展
图1是两个直角三角形,除了直角相等的条件,还要满足几个条件,这两个直角三角形才能全等?
提出问题,组织学生讨论.
学生小组讨论,发表意见:
由三角形全等条件可知,对于两个直角三角形,满足一边一锐角对应相等,或两直角边对应相等,这两个直角三角形就全等了.”
做一做如课本P42图12.2─11:
任意画出一个Rt△ABC,使∠C=90°,再画一个Rt△A′B′C′,使B′C′=BC,A′B′=AB,把画好的Rt△A′B′C′剪下,放到Rt△ABC上,它们全等吗?
画图分析,寻找规律.如下:
规律:
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“HL”).
(二)、范例点击,应用所学
例5(P42)如图,AC⊥BC,BD⊥AD,AC=BD,求证BC=AD.
思路:
欲证BC=AD,首先应寻找和这两条线段有关的三角形,这里有△ABD和△BAC,△ADO和△BCO,O为DB、AC的交点,经过条件的分析,△ABD和△BAC具备全等的条件.
证明:
∵AC⊥BC,BD⊥BD,
∴∠C与∠D都是直角.
在Rt△ABC和Rt△BAD中,
∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL).
∴BC=AD.
【评析】在证明两个直角三角形全等时,要防止学生使用“SSA”来证明.
(三)、课堂练习
课本P43第练习1、2题.《课堂作业》P19页
四、课堂小结
本节课通过动手操作,在合作交流、比较中共同发现问题,培养直观发现问题的能力,在反思中发现新知,体会解决问题的方法.通过今天的学习和对前面三角形全等条件的探求,可知判定直角三角形全等有五种方法。
五、作业
课本P44习题12.2第7,8题《同步练习》P23页
第16课时12.3角的平分线的性质
(1)
一、教学目标
通过作图直观地理解角平分线的两个互逆定理.
经历探究角的平分线的性质的过程,领会其应用方法.
激发学生的几何思维,启迪他们的灵感,使学生体会到几何的真正魅力.
二、教学重难点
重点:
领会角的平分线的两个互逆定理难点:
两个互逆定理的实际应用.
三、教学过程
(一)、创设情境,导入新课
探究:
如课本P48页图12.3─1,是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC,将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线,你能说明它的道理吗?
问题提出,然后运用教具直观地进行讲述,提出探究的问题.
学生活动:
小组讨论后得出:
根据三角形全等条件“边边边”课本图12.3─1判定法,可以说明这个仪器的制作原理.
请同学们和老师一起完成下面的作图问题.
已知:
∠AOB.
求作:
∠AOB的平分线.
作法:
(1)以O为圆心,适当长为半径作弧,交OA于M,交OB于N.
(2)分别以M、N为圆心,大于
MN的长为半径作弧,两弧在∠AOB的内部交于点C.
(3)作射线OC,射线OC即为所求(课本图11.3─2).
学生动手制图(尺规),边画图边领会,认识角平分线的定义;同时在实践操作中感知.
学生小组合作交流意见
(二)、课堂练习
课本P50练习.
学生动手画图,从中得到:
直线CD与直线AB是互相垂直的.
思考:
课本P48页图12.3─3,将∠AOB对折,再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边),然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕,你能得出什么结论?
学生实践感知,互动交流,得出结论:
从实践中可以看出,第一条折痕是∠AOB的平分线OC,第二次折叠形成的两条折痕PD、PE是角的平分线上一点到∠AOB两边的距离,这两个距离相等.”
论证如下:
已知:
OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D、E(P49图)
求证:
PD=PE.
证明:
∵PD⊥OA,PE⊥OB,
∴∠PDO=∠PEO=90°
在△PDO和△PEO中,
∴△PDO≌△PEO(AAS)
∴PD=PE
归纳:
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
P49页思考:
如图12.3─5,要在S区建一个集贸市场,使它到公路、铁路的距离相等,离公路与铁路交叉处500米,这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的位置,比例尺为1:
20000)?
学生小组合作学习,动手操作探究,获得问题结论.从实践中可知:
角平分线上的点到角的两边距离相等,将条件和结论互换:
到角的两边的距离相等的点也在角的平分线.
证明由学生完成
归纳:
到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
(三)、范例点击,应用所学
例(P50)如图12.3─6,△ABC的角平分线BM,CN相交于点P,求证:
点P到三边AB,BC,CA的距离相等.
分析:
因为已知、求证中都没有具体说明哪些线段是距离,而证明它们相等必须标出它们.所以这一段话要在证明中写出,同辅助线一样处理.如果已知中写明点P到三边的距离是哪些线段,那么图中画实线,在证明中就可以不写.
证明:
过点P作PD、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA,垂足为D、E、F.
∴BM是△ABC的角平分线,点P在BM上.
∴PD=PE
同理PE=PF
∴PD=PE=PF
即点P到边AB、BC、CA的距离相等.
在几何里,如果证明的过程完全一样,只是字母不同,可以用“同理”二字概括,省略详细证明过程.
(四)、课堂练习
《课堂作业》P21—22页
四、课堂小结
1、学生复述角平分线性质及其逆定理,和它们的区别.
2、本节例子实际上是证明三角形三条角平分线相交于一点的问题,这一点是三角形的内切圆的圆心(为以后学习设伏).
五、作业
《同步练习》P26—27页
第17课时12.3角的平分线的性质(巩固练习)
一、教学目标
1、能应用角的平分线的性质定理解决一些实际的问题.
2、经历探索角的平分线性质的应用过程,领会几何分析的内涵,掌握综合法的表达思想.
3、激发学生的逻辑思维,在比较中获取知识,使学生感悟几何的简练思维.
二、教学重难点
重点:
应用角的平分线性质定理.难点:
应用“综合法”进行表达.
三、教学过程
(一)、回顾交流,练中反思
概念复习
提问:
能否从集合的观点来说明角的平分线的性质.
学生活动:
交流得出角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合.
练习
1.已知:
如图1,△ABC中,AD是角的平分线,BD=CD,DE、DF分别垂直于AB、AC,E、F是垂足,求证:
EB=FC.
思路:
只要证明EB和FC分别所在的两个三角形全等(△EBD≌△FCD).
学生活动小组合作学习,寻求解题思路上台演示自己的证明.
证明:
∵AD是角的平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DE=DF
在△EBD和△FCD中,
∴△EBD≌△FCD(HL)
∴EB=FC
2.已知:
如图2,河的南区有一个工厂,在公路西侧,到公路的距离与到河岸的距离相等,并且与河上公路桥的距离为300米,在图上标出工厂的位置,并说明理由.
思路:
画图略,根据角的平分线性质,工厂应在河流与公路交角的平分线上.
学生分小组讨论,得出结论.
(二)、操作观察,辨析理解
按如下步骤进行操作:
(1)在一张纸上任意画一个角(角的边不要画得太短)∠AOB.
(2)剪下所画的角.
(3)折叠所画的角,使角的两边OA与OB重合,设折痕为Ox,如图3.
(4)在折叠形成的两层纸之间放入复写纸.
(5)在Ox上取一点P,并且过点P画OA的垂线.
(6)拿出复写纸,并且把折叠的纸展开观察展开后的图形,并进行思考,上面的操作反映了哪条规律?
是课本上一节课中的那个概念吗?
学生分小组合作学习,从操作中感悟知识和规律,得到结论:
角的平分线上的点到角的两边距离相等.
(三)、课堂演练
1.已知:
如图4,AB=CD,DE⊥A
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