高考数学考前提醒高中知识点易错点梳理doc.docx
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高考数学考前提醒:
高中知识点易错点梳理
一、集合、简易逻辑、函数
1•研究集合必须注意集合元素的特征即三性(确定,互异,无序);已知集合
A={x,xy,lgxy},集合B={0,|x|,y},且A=B,则x+y=
2.研究集合,首先必须弄清代表元素,才能理解集合的意义•
(1)已知"集合M={y|y=x2,x€R},N={y|y=x2+1,x€R},求MAN";
与“集合M={(x,y)|y=x2,x€R},N={(x,y)|y=x2+1,x€R}求MQN'的区
别•
(2)已知集合A={圆},B={直线},则ARB中的元素个数是个.你注意空集了吗?
(3)设f(x)的定义域A是无限集,则下列集合中必为无限集的有_
①{y|y二f(x),xA}②{(x,y)|y二f(x),xA}
③{x|f(x)_O,xA}④{x|f(x)=2,xA}
⑤{x|y=f(x)}
3.集合A、B,A-B二..时,你是否注意到“极端”情况:
A—_或B=;
求集合的子集A二B时是否忘记A=处.
例如:
a-2x2,2a-2x-1:
:
:
0对一切R恒成立,求a的取植范围,你讨论了a=2的情况了吗?
4.(Cua)A(CuB)=Cu(AUB),(CUA)U(CuB)=Cu(AAB);
A佃=BB三A,AB=BA±B,
对于含有n个元素的有限集合M,其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n,2n-1,2n-1,2n-2.如满足条件
{1}M{1,23,4}的集合M共有多少个?
(特别注意-)
5.解集合问题的基本工具是韦恩图.
某文艺小组共有10名成员,每人至少会唱歌和跳舞中的一项,其中7人会
唱歌跳舞5人会,现从中选出会唱歌和会跳舞的各一人,表演一个唱歌和一个跳舞节目,问有多少种不同的选法?
6.两集合之间的关系.M={xx=永+1,"Z},N={xx=4k±1,k^Z}
7.命题的四种形式及其相互关系;全称命题和存在命题
(1)原命题与逆否命题同真同假;逆命题与否命题同真同假
(2)“命题的否定”与“否命题”的区别:
练习:
(1)命题“异面直线a,b不垂直,则过a的任一平面与b都不垂直”,求出该
命题的否命题.
(2)命题“5^Q,使x2=3成立”,求该命题的否定.
(3)若存在a^[1,],使不等式ax2+(a—2)x—2>0,求x的取值范围
8你对映射的概念了解了吗?
映射f:
A。
B中,A中元素的任意性和B中与
它对应元素的唯一性,映射与函数的关系如何?
例如:
函数y二fx与直线x=a的交点的个数有个
9、函数的几个重要性质:
1如果函数y=fx对于一切x•R,都有fa,x=fa-x或f(2a-x)=f(x),那么函数y=f(x的图象关于直线X=a对称•
2函数y=fx与函数y二f-x的图象关于直线x二0对称;
函数y=fx与函数y=-fx的图象关于直线y=0对称;
函数y二fx与函数y=-f-x的图象关于坐标原点对称•
3若奇函数y二fx在区间0,•:
:
上是递增函数,则y二fx在区间
-:
-,0上也是递增函数.
4若偶函数y二fx在区间0,•:
:
上是递增函数,则y二fx在区间
-:
:
0上是递减函数.
⑤函数y=fx•a(a0)的图象是把函数y二fx的图象沿x轴向左平移a个单位得到的;函数y二fx•a((a:
:
:
0)的图象是把函数
y二fx的图象沿x轴向右平移a个单位得到的;
函数y=fx+a(a0)的图象是把函数y=fx助图象沿y轴向上平移a个单位得到的;函数y二fx+a(a:
:
:
0)的图象是把函数y二fx助图象沿y轴向下平移a个单位得到的•
⑥函数y二f:
i.「x•a与函数y=fxb的图象关于直线
对称
例如:
(1)函数y=fx满足fx1=f-x1则关于直线
对称
(2)函数y二fx1与y二f:
;:
-x•1关于直线对称
(3)函数y=log2ax-1(a式0)的图象关于直线x=2对称,则a=
.(4)函数y=sinx的图象可由y=1-cos3x的图象按向量a=4
(a最小)平移得到.
10、求一个函数的解析式,你标注了该函数的定义域了吗?
例如:
(1)若f(sinx)二cos2x,贝yfx二
11
(2)若f(x)=x33,贝Ufxi:
=
xx
11、求函数的定义域的常见类型记住了吗?
复合函数的定义域弄清了吗?
例如:
(1)函数y=x(4-x2的定义域是;
lg(x_3)2
(2)函数f(x)的定义域是[0,1],求f(log0.5x)的定义域.
(3)函数f(2x)的定义域是(0,1],求f(log2x)的定义域.
函数f(x)的定义域是[a,b],b,_a.0,求函数F(x)=f(x)•f(»)的定义域
12、你知道求函数值域的常用方法有哪些吗,含参的二次函数的值域、最值要记得讨论•
例如
(1)已知函数y=fX的值域是[a,b],则函数y=fX-1的值域是
(2)函数y=x-1-2x的值域是
(3)函数y=x・jlx2的值域是
2x_1
(4)函数y-的值域是
2x+1
13、判断一个函数的奇偶性时,你注意到函数的定义域是否关于原点对称...这个必要非充分条件了吗?
在公共定义域内:
两个奇函数的乘积是偶函数;两个偶函数的乘积是偶函数;一个奇函数与一个偶函数的乘积是奇函数;
例如:
(1)函数fXi;=x2(x_0)的奇偶性是
(2)函数y二fx是R上的奇函数,且x.0时,fX]=1•2x,则
fx的表达式为
14、根据定义证明函数的单调性时,规范格式是什么?
(取值,作差,判正负.)
可别忘了导数也是判定函数单调性的一种重要方法•在求函数的单调区间或求
解不等式时,你知道函数的定义域要优先考虑吗?
例如:
(1)函数y=logj(x2-2x-3)的单调减区间为
2
(2)若函数y=logr(x2-ax•3a)在区间〔2,川3];上是减函数,则实
2
数a的取值范围是
(3)若定义在R上的偶函数fx在区间0,•二上是单调增函数,则
不等式f1:
:
flgx的解集为
a
15、你知道钩型函数y=Xa0的单调区间吗?
(该函数在
x
-二,-、a”廿L.a,■二上单调递增;在L..a,0和0,a】上单调递减)这可是一个应用广泛的函数!
16、幕函数与指数函数有何区另U?
例如:
(1)若幕函数fx二-2-3^•3x一2'是0,=上的单调减函
数,贝H:
-=
(2)若关于X的方程4Xa2Xa^0有解,则实数a的取值范围是
17、对数的换底公式及它的变形,你掌握了吗?
(logab,logan=logab)你还记得对数恒等式吗?
(a""=b)
logca
例如:
(1)x、y、z・0,•:
:
且3x=4y=6z,则3x、4y、6z的大小关系可
按从小到大的顺序排列为
11
(2)若集合A二nlog12,n・N,则A的子集有个
[2n3J
18、求解对数函数问题时,注意真数与底数的限制条件!
例如:
(1)方程2x4=log2(x2)的解的个数是
(2)不等式log(a」)(2x-1)•log(a」)(x-1)成立的充要条件是
19、“实系数一元二次方程ax2bx0有实数解”转化为“△=b2-4acZ0”,你是否注意到必须a式0;当a=0时,“方程有解”不
能转化为代=b2-4ac_0•若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式,你是否考虑到二次项系数可能为零的情形?
已知函数y=lg(a2-1x^-ia1x1
(1)若函数的定义域为R,求a的取值范围是
(2)若函数的值域为R,求a的取值范围是
2.三角
1•三角公式记住了吗?
两角和与差的公式;二倍角公
式:
解题时本着“三看”的基本原则来进行:
“看角,
看函数,看特征”,基本的技巧有:
巧变角,公式变形使用,化切割为弦,用倍角公式将高次降次,
2.在解三角问题时,你注意到正切函数、余切函数的定义域了吗?
正切函数
在整个定义域内是否为单调函数?
你注意到正弦函数、余弦函数的有界
性了吗?
3.在三角中,你知道1等于什么吗?
22TtJT
(1二sinxcosx二tanxcotx二tan—二sin—二cos0=1这些统42
称为1的代换)常数“1”的种种代换有着广泛的应用.诱导公试:
奇变
偶不变,符号看象限
4.在三角的恒等变形中,要特别注意角的各种变换.(如
GoQGot+P(PfaG
P=(a+P)—ot,0=(a_B)+a,=a——i-—-P等)
2I2丿l2丿
5.你还记得三角化简题的要求是什么吗?
项数最少、函数种类最少、分母不含三角函数、且能求出值的式子,一定要算出值来)
6.你还记得三角化简的通性通法吗?
(切化弦、降幕公式、用三角公式转化
出现特殊角•异角化同角,异名化同名,高次化低次);你还记得降幕公
22
式吗?
cosx=(1+cos2x)/2;sinx=(1-cos2x)/2
7.你还记得某些特殊角的三角函数值吗?
会求吗?
&°寸6-血。
°76+72&V5t
sin15二cos75,sin75-cos15,sin18=
练习:
K
(1)tan(a=0)是acos2vbsin2v-a的条件.
a
解析:
:
二a
l-coQ,叱二acos2「bsin2—a
2
反之,若acos2jbsin2v-a成立,
K
则未必有tanv--,取
a
rJI
a=0,即可,故为充分不必要条件
2
易错原因:
未考虑tanv不存在的情况
3亍4
(2)已知sin,cos,则v角的终边在
2525
忤2A4口
解析:
因为sin-,cos-,故是第二象限角,即
25252
n0
2k2k二(kZ),故二4k二:
:
:
v:
:
:
2-k(kZ),
22
在第三或第四象限
以上的结果是错误的,正确的如下:
亠日3e43兀6
由sin,cos,知2k2k二(kZ)
252542
所以—4k二:
:
:
v:
:
:
24k二(k•Z),故在第四象限
2
易错原因:
角度的存在区间范围过大
&你还记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗?
(丨=0(
1
r,S扇形=2lr)
9.
辅助角公式:
asinx-bcos^a2b2sinx(其中二角所在的象
b
限由a,b的符号确定,二角的值由tan^-确定)在求最值、化简时起
a
着重要作用•
10.三角函数(正弦、余弦、正切)图象的草图能迅速画出吗?
能写出他们的单调区、对称轴,取最值时的x值的集合吗?
(别忘了Z)
三角函数性质要记牢.函数y=Asin(・「x••k的图象及性质:
点,反之亦然,使y取到最值的x的集合为,当门>0,A0
时函数的增区间为,减区间为;当■<0时要利
用诱导公式将-变为大于零后再用上面的结论•
二3二
五点作图法:
令:
依次为。
2,二,2,2二求出x与y,依点x,y作图
练习:
如图,摩天轮的半径为40m,点O距地面的高度为50m,摩天轮做匀速转动,每3min转一圈,摩天轮上的点P的起始位置在最低点处,
(1)试确定在时刻tmin时点P距地面的高度;
(2)摩天轮转动的一圈内,有多长时间点P距地
面超过70m?
11.三角函数图像变换:
TT
(1)将函数为y=f(x)的图像向右平移—个单位后,再作关于x轴的对称4
变换,得到函数y=cos2x的图像,贝Uf(x)口
(2)f(x)=2sin(x•…)-2cosx的图像按向量m平移得到g(x)的图像,若g(x)是偶函数,求|£|最小的向量m
12.有关斜三角形的几个结论:
在RtABC中,AC^AD[AB,BC2二BD_BA,CD2内切圆半径r=ab_c(s为ABC的面积)
2
在AABC中,
①sin(AB)=sinC,cos(AB)--cosC,
tanAtanBtanC=tanA!
anBjtanC
.ABCAB.Csincos,cossin
2222
2正弦定理
3余弦定理
111
④面积公式SabsinCbcsinAacsinB
222
⑤内切圆半径r
a+b+c
13.在ABC中,判断下列命题的正误
(1)AB的充要条件是cos2A:
:
cos2B
⑵tanAtanB•tanC0,则二ABC是锐角三角形
(3)若ABC是锐角三角形,则cosA:
:
:
sinB
三、数列
1•等差数列中的重要性质:
(1)若m•n-pq,则am'an=ap'aq;
(2)数列a2nj},{a2n},{kan均仍成等差数列S,怎n令,2n£n仍成等差殲列;
as
(3)若{an},{bn}是等差数列,Sn,Tn分别为它们的前n项和,则」=—沁;bmT2m斗
(4)在等差数列中,求环的最大(小)值,其中一个思路是找出最后一正项(负
项)a,那么(Sn)max(min)=Sk
练习:
1在等差数列{an}中,若S=18,Sn=240,an/=30,则n二
S2n_1a
2{an},{bn}都是等差数列,前n项和分别为Sn,Tn,且二,则」二
Tn3n+2b9
3若{a*}的首项为14,前n和为Sn,点(an,an1)在直线x—y—2=0上,那
Sn最大时,n=
2•等比数列中的重要性质:
(1)若m•n=pq,则ama^apaq;
(2)Sk,S2k―Sk,S3k~'S2k成等比数列;
(3)若{an}是等差数列,则{ban}是等比数列,若{an}是等比数列且an0,则{logban}是等差数列;
(4)类比等差数列而得的有关结论
练习:
①若{an}是等比数列,a4La7512,a3比=124,公比q为整数,则a10二
2已知数列{x*}满足—1X—3—,并且
捲+1x2+3x3十5xn+2n—1
—!
X2Vxn=8,那么为:
a+2a+111+na
3等差数列{an}满足」一2J二bn,则{bn}也是等差数列,类比
1+2+山+nn
等比数列{aj满足
3•等差数列的通项,前n项和公式的再认识:
①a^a-i(n-1)d二An,B是关于n的一次函数,②
n(a1an)丨
SnnLa中,
2
③Sn二An2Bn
等比数列呢?
练习:
等比数列{an}中,前n项和Sn-23n4r,则r二
4•你知道“错位相减”求和吗?
(如:
求{(2n-1)3n4-3}的前n项和)
1
你知道“裂项相消”求和吗?
(如:
求{}的前n项和)
n(n+2)
5•由递推关系求通项的常见方法:
练习:
1{an}中,a^2,an1二2an-1,则an=
2{a.}中,a=2,an1=2an2,贝Van=(注:
关系
111an1:
:
2an1=an1•1:
:
2(an1)=
印a2a3川an乞1T1_丄1一1-1313
223n—2n—1n—1
四、不等式
1、同向不等式能相减,相除吗?
2、不等式的解集的规范书写格式是什么?
(一般要写成集合的表达式)
3、分式不等式比.aa=0的一般解题思路是什么?
(移项通分,分子分
g(x)
母分解因式,x的系数变为正值,奇穿偶回)
4、解指对不等式应该注意什么问题?
(指数函数与对数函数的单调性,对数的真数大于零.)
5、含有两个绝对值的不等式如何去绝对值?
(一般是根据定义分类讨论)
时,你是否注意到a,bR(或a,b非负),且“等号成立”时的条件,积ab或和a+b其中之一应是定值?
(一正二定三相等)
0:
:
a<1或a1)讨论完之后,要写出:
综上所述,原不等式的解集是…
9、解含参数的不等式的通法是“定义域为前提,函数增减性为基础,分类讨
论是关键.”
10、对于不等式恒成立问题,常用的处理方式?
(转化为最值问题)
五、向量
1•两向量平行或共线的条件,它们两种形式表示,你还记得吗?
注意a二,b
是向量平行的充分不必要条件.(定义及坐标表示)
2•向量可以解决有关夹角、、距离、平行和垂直等问题,要记住以下公式:
i;i2=a•a,cos免吐x/严—
|a||b|Jxj+yjpx22+y22
3•利用向量平行或垂直来解决解析几何中的平行和垂直问题可以不用讨论斜率不存在的情况,要注意:
斗」呻斗ji斗T彳叮兀扌彳
(1)a*b:
:
0=:
:
a,b、三(一,二],a*b=0=:
:
a,b,a*b0
22
■彳n
=:
:
a,b,二[0,)
2
(2)a・b:
:
:
0是向量a和口向量b夹角为钝角的必要而非充分条件
4.向量的运算要和实数运算有区别:
(1)如两边不能约去一个向量,即
a・b=a・c推不出b=c,
(2)向量的乘法不满足结合律,即
—K—►—&f—►
a(b*cp-(a*b)c,(3)两向量不能相除.
5.你还记得向量基本定理的几何意义吗?
它的实质就是平面内的任何向量都
可以用平面内任意不共线的两个向量线性表示,它的系数的含义与求法你清楚
吗?
6.几个重要结论:
(1)已知OAOB不共线,OP=,OA—〔OB,贝UA,P,
例^设J为抛物线y2斗的焦点,A,B,C为该抛物线上三点,若
FA+FB+FC=0,贝U|FA|+|FB|+|FC|=.
TTT
7.向量等式OC二・OA•」OB的常见变形方法:
(1)两边同时平方;
(2)两边同时乘以一个向量;(3)合并成两个新向量间的线性关系.
&一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量,这是题目中的天然条件,
要注意运用,对于一个向量等式,可以移项,两边平方、两边同乘以一个实数,两边同时取模,两边同乘以一个向量,但不能两边同除以一个向量.
TTT彳
例1.LABC内接于以O为圆心,1为半径的圆,且3OA4OB5OC二0,
求数量积OAgB,OB_OC,OCjOA.
例2.平面四边形ABCD中,AB=13,AD=5,AC=5,cos・DAC
例3.如图,设点0在LABC内部,且有OA2~0^3朮」0,则
SA0C:
S」AB=C
六、导数
1•导数的几何意义即曲线在该点处的切线的斜率,学会定义的多种变形
2
•几个重要函数的导数:
3fxgxi;i;f'xgxfxg'x
„f(x)1f(x)g(xf(x)g(x)
4=丿2一(g(x严0)
g(x)g(x)
3.
利用导数可以证明或判断函数的单调性,注意当
4.f(x0)=0是函数f(x)在X。
处取得极值的必要非充分条件,f(x)在X0处取得极值的充分必要条件是什么?
5.求函数极值的方法:
(1)先找定义域,求导数f'x;
(2)求方程f'x=0的根X1,X2,…,Xn找出定义域的分界点;
(3)列表,根据单调性求出极值.
已知f(x)在Xo处的极值为A,相当于给出了两个条件:
①函数在此点导数值为零,②函数在此点的值为定值.
6.利用导数求最值的步骤:
(1)求函数在给定区间上的极值;
(2)比较区间端点所对的函数值与极值的大小,确定最大值与最小值
7•含有参数的函数求最值的方法:
看导数为0的点与定义域之间的关系•
&利用导数证明不等式f(x).g(x)的步骤:
(1)作差F(x)二f(x)_g(x);
(2)判断函数F(x)在定义域上的单调性并求它的最小值;
(3)判断最小值A_0;
(4)结论:
F(x)A_0,则f(x).g(x).
9•利用导数判断方程的解的情况.
.已知函数f(x)在x=1处的导数为1,则当x>0时f(1x)-f
(1)趋近于
2x
解析:
由定义得当x>0时,
f(1x)-f
(1)1f(1.:
x)-f
(1)1f'
(1)1
==—f
(1)=—
2x2x22
易错原因:
不会利用导数的定义来解题•
例2•函数f(x)=x3-ax2bxc,其中a,b,c•R,当a2-3b:
:
:
0时,f(x)
在R上的增减性是
解析:
f'(x)=3x22axb,则•:
-4(a^3b):
:
0在R上f'(x)0,故
是增函数.
易错原因:
不善于利用导函数的"厶"来判别单调性•
1
例3•若函数f(x)x^f'^1)x2x5,贝Uf'(—1)=
3
1
解析:
设f(x)x3-ax2x5,则f'(x)=x2-2ax1.故
3
f'(-1)=22a.由a=22a知a--2有f'(-1)=-2.
易错原因:
不会运用待定系数法解题.
例4.f(x)=x3-X,则当x•(0,2)时,f(x)的值域为
解析:
f'(x)二3x2-1,令f(x)0=x-,
3
f(x)的值域为
易错原因:
求导之后判别单调区间时概念模糊
7.概率:
1.古典概型和几何概型的区别.
例如:
⑴任意取实数X.[1,100],恰好落在[50,100]之间的概率为
(2)任意取整数x・[1,100],恰好落在
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