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新定义题型
(1)灵活掌握与圆有关的概念,定理,性质和判定。
(2)充分利用圆中的有关知识解决一类与圆有关的实际应用问题、动态型问题、探索型问题,并会探索平面图形的镶嵌问题,且能用几种常见的图形进行简单的镶嵌设计。
(3)综合运用圆、方程、函数、三角、相似形等知识解决一类与圆有关的中考压轴题.
(4)考察了数形结合的思想、分类讨论的思想以及观察、想象、分析、综合、比较、演绎、归纳、抽象、概括、类比等数学方法;同时,考查学生逻辑推理的能力、分析和解决问题的能力,以及创新意识和实践的能力.
类型一、函数类
(2017年长沙中考第25题)若三个非零实数
满足:
只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和,则称这三个实数
构成“和谐三数组”.
(1)实数1,2,3可以构成“和谐三数组”吗?
请说明理由.
(2)若
三点均在函数y=
(
为常数,
)的图象上,且这三点的纵坐标
构成“和谐三数组”,求实数
的值;
(3)若直线
与
轴交于点
,与抛物线
交于
两点.
①求证:
A,B,C三点的横坐标
构成“和谐三数组”;
②若
,求点P(
)与原点O的距离OP的取值范围。
【趁热打铁】
1、定义:
(一)如果两个函数y1,y2,存在x取同一个值,使得y1=y2,那么称y1,y2为“合作函数”,称对应x的值为y1,y2的“合作点”;
(二)如果两个函数为y1,y2为“合作函数”,那么y1+y2的最大值称为y1,y2的“共赢值”.
(1)判断函数y=x+2m与y=
是否为“合作函数”,如果是,请求出m=1时它们的合作点;如果不是,请说明理由;
(2)判断函数y=x+2m与y=3x﹣1(|x|≤2)是否为“合作函数”,如果是,请求出合作点;如果不是,请说明理由;
(3)已知函数y=x+2m与y=x2﹣(2m+1)x+(m2+4m﹣3)(0≤x≤5)是“合作函数”,且有唯一合作点.
①求出m的取值范围;
②若它们的“共赢值”为24,试求出m的值.
2、我们约定,在平面直角坐标系中两条抛物线有且只有一个交点时,我们称这两条抛物线为“郡园牵手抛物线”,这个交点为“郡园点”.例如:
抛物线y=x2与y=﹣x2是“郡园牵手抛物线”,“郡园点”为(0,0)
(1)如图,若抛物线L1:
y1=﹣x2+2x+1与L2:
y2=﹣2x2+mx为“郡园牵手抛物线”,求m的值.
(2)在
(1)的条件下,若点M是第一象限内抛物线L2上的动点,过M作MN⊥x轴,N为垂足,求MN+ON的最大值.
(3)在
(1)的条件下,设点B是抛物线L3:
y3=x2+2x+2与L4:
y4=2x2+6x+6的“郡园点”,点D是抛物线L2上一动点,问在抛物线L2的对称轴上是否存在点C,使△BCD是以点C为直角顶点的等腰直角三角形?
若存在,请直接写出点C的坐标,若不存在,请说明理由.
类型二、几何类
(2018年长沙中考第26题)我们不妨约定:
对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”.
(1)①在“平行四边形,矩形,菱形,正方形”中,一定是“十字形”的有 ;
②在凸四边形ABCD中,AB=AD且CB≠CD,则该四边形 “十字形”.(填“是”或“不是”)
(2)如图1,A,B,C,D是半径为1的⊙O上按逆时针方向排列的四个动点,AC与BD交于点E,∠ADB﹣∠CDB=∠ABD﹣∠CBD,当6≤AC2+BD2≤7时,求OE的取值范围;
(3)如图2,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a>0,c<0)与x轴交于A,C两点(点A在点C的左侧),B是抛物线与y轴的交点,点D的坐标为(0,﹣ac),记“十字形”ABCD的面积为S,记△AOB,△COD,△AOD,△BOC的面积分别为S1,S2,S3,S4.求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式;
①
;②
;③“十字形”ABCD的周长为12
.
【趁热打铁】
1、四边形的一条对角线将这个四边形分成两个三角形,如果这两个三角形相似(不全等),那么我们将这条对角线叫做这个四边形的相似对角线.
(1)如图1,四边形ABCD中,∠DAB=100°,∠DCB=130°,对角线AC平分∠DAB,求证:
AC是四边形ABCD的相似对角线;
(2)如图2,直线y=﹣
+
分别与x,y轴相交于A,B两点,P为反比例函数y=
(k<0)上的点,若AO是四边形ABOP的相似对角线,求反比例函数的解析式;
(3)如图3,AC是四边形ABCD的相似对角线,点C的坐标为(3,1),AC∥x轴,∠BCA=∠DCA=30°,连接BD,△BCD的面积为
.过A,C两点的抛物线y=ax2+bx+c(a<0)与x轴交于E,F两点,记|m|=AC+1,若直线y=mx与抛物线恰好有3个交点,求实数a的值.
2、若凸四边形的两条对角线所夹锐角为60°,我们称这样的凸四边形为“美丽四边形”.
(1)①在“平行四边形、梯形、菱形、正方形”中,一定不是“美丽四边形”的有 ;
②若矩形ABCD是“美丽四边形”,且AB=3,则BC= ;
(2)如图1,“美丽四边形”ABCD内接于⊙O,AC与BD相交于点P,且对角线AC为直径,AP=1,PC=5,求另一条对角线BD的长;
(3)如图2,平面直角坐标系中,已知“美丽四边形”ABCD的四个顶点A(﹣3,0)、C(2,0),B在第三象限,D在第一象限,AC与BD交于点O,且四边形ABCD的面积为
,若二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,且a≠0)的图象同时经过这四个顶点,求a的值.
课堂巩固
1.对于某一函数给出如下定义:
若存在实数p,当其自变量的值为p时,其函数值等于
,则称p为这个函数的“开心值”.在函数存在“开心值”时,该函数的最大“开心值”与最小“开心值”之差q称为这个函数的“开心长度”.特别地,当函数只有一个“开心值”时,其“开心长度”q为零.
(1)分别判断函数
,y=x2有没有“开心值”?
如果有,直接写出其“开心长度”;
(2)函数y=﹣2x+b
①若其“开心长度”为零,求b的值;
②若3≤b≤4,求其“开心长度”q的取值范围;
(3)记函数y=4x﹣3(x≥m,m>0)的图象为G1,将G1沿x=m翻折后得到的函数图象记为G2,函数G的图象由G1和G2两部分组成,求函数G“开心长度”q取值范围为多少?
2.对于一个函数给出如下定义:
对于函数y,若当a≤x≤b,函数值y满足m≤y≤n,且满足n﹣m=k(b﹣a),则称此函数为“k属和合函数”.例如:
正比例函数y=﹣3x,当1≤x≤3时,﹣9≤y≤﹣3,则﹣3﹣(﹣9)=k(3﹣1),求得:
k=3,所以函数y=﹣3x为“3属和合函数”.
(1)①若一次函数y=4x﹣1(1≤x≤2)为“k属和合函数”,则k的值为 ;
②若一次函数y=ax﹣1(1≤x≤3)为“2属和合函数”,求a的值.
(2)反比例函数y=
(k>0,a≤x≤b,且0<a<b)是“k属和合函数”,且a+b=3,请求出a﹣b的值;
(3)已知二次函数y=﹣2x2+4ax,当﹣1≤x≤1时,y是“k属和合函数”,求k的取值范围.
3、在平面直角坐标系中,点A的坐标为(0,6),点B在x轴的正半轴上.点P,Q均在线段AB上,点P的横坐标为m,点Q的横坐标大于m,在△PQM中,若PM∥x轴,OM∥y轴,则称△PQM为点P,Q的“云三角形”.
(1)若B点的坐标为(4,0),m=2,则点P,B的“云三角形”的面积为 .
(2)当点P,Q的“云三角形”是等腰三角形时,求点B的坐标.
(3)在
(2)的条件下,作过O,P,B三点的抛物线y=ax2+bx+c,
①若点M为抛物线上一点,△POM是点P,O的“云三角形”,求△POM的面积S与m之间的函数关系式,并写出m的取值范围;
②当点P,Q的“云三角形”的面积为3,且抛物线y=ax2+bx+c与点P,Q的“云三角形”恰有两个交点时,直接写出m的取值范围.
4、如图1,在平面直角坐标系中,直线AB:
y=kx+b(k<0,b>0),与x轴交于点A、与y轴交于点B,直线CD与x轴交于点C、与y轴交于点D.若直线CD的解析式为y=﹣
(x+b),则称直线CD为直线AB的”姊线”,经过点A、B、C的抛物线称为直线AB的“母线”.
(1)若直线AB的解析式为:
y=﹣3x+6,求AB的”姊线”CD的解析式为:
(直接填空);
(2)若直线AB的”母线”解析式为:
,求AB的”姊线”CD的解析式;
(3)如图2,在
(2)的条件下,点P为第二象限”母线”上的动点,连接OP,交”姊线”CD于点Q,设点P的横坐标为m,PQ与OQ的比值为y,求y与m的函数关系式,并求y的最大值;
(4)如图3,若AB的解析式为:
y=mx+3(m<0),AB的“姊线”为CD,点G为AB的中点,点H为CD的中点,连接OH,若GH=
,请直接写出AB的”母线”的函数解析式.
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