一元一次方程的应用.docx
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一元一次方程的应用
年级
初一
学科
数学
内容标题
一元一次方程的应用
编稿老师
巩建兵
一、学习目标:
1.进一步熟练掌握解一元一次方程的方法,提高解方程的能力;
2.提高分析实际问题中数量关系的能力,能熟练地利用相等关系建立数学模型——列方程.
二、重点、难点:
重点:
寻找等量关系列方程.
难点:
把实际问题抽象成数学模型.
三、考点分析:
本节内容是中考热点,在历年考试中均有出现有时是作为解其他题型的基础而出现.如果在选择题中出现,一般要求根据题意列出方程;如果在填空题中出现,一般要求写出最后结果,列方程和解方程的过程不要求写出;在解答题中单纯的一元一次方程应用题很少出现,但往往在一些综合题中出现.
1.常见应用题类型及其各种关系
类型
题中涉及的数量及公式
等量关系
注意事项
和、差、倍、分
由题意可知
弄清“倍数、多、少”等关系
等积变形
各种几何图形的面积公式;各种几何体的体积公式
变形前后面积或体积之间的关系
分清边长、半径、直径等
行程问题
相遇问题
路程=速度×时间
快者+慢者=初始距离
相向而行注意始发时间和地点
追及问题
快者-慢者=初始距离
同向而行注意始发时间和地点
调配问题
从调配后数量关系中找等量关系
调配对象流动的方向和数量
比例分配
全部数量=各种成分的数量之和
把一份设为x
工程问题
工作量=工作效率×工作时间
两个或多个工作效率不同的对象所完成工作量的和等于总工作量
一般情况下把总工作量设为1
利润率问题
利润率=
×100%;
利润=售价-进价
找出利润或利润率之间的关系
打几折就是按原售价的百分之几十出售
数字问题
设a、b为一个两位数的个位与十位上的数字,则这个两位数可表示为10b+a
一般情况下设间接未知数
行船问题
顺流速度=静水中的速度+水流速度;逆流速度=静水中的速度-水流速度
2.销售中的盈亏问题
(1)进价:
购进商品时的价格,有时也叫成本价.
(2)售价:
在销售商品时的售出价(有时称成交价、卖价).
(3)标价:
在销售商品时标出的价(原价、定价).
(4)利润:
在销售商品过程中的纯收入,利润=售价-进价.若利润为正,则为盈;若利润为负,则为亏.
(5)利润率:
利润占进价的百分率,也可看作是商品的利润与进价的商.利润率=
×100%=
×100%.
(6)折扣:
卖货时,按照标价减去一个数目,减到原价的十分之几,则称将标价进行了几折或几扣(这种方法叫打折)处理或理解为使销售价占标价的百分率.
(7)折数:
若打折到原价的
,则n叫折数.
(8)原价×
(或降到的百分率)=售价.进价×(1+利润率)=标价×
,或进价×(1+利润率)=标价×打折到的百分率.
3.优化设计问题
一件产品(或一项工作)在生产(或进行)时,常常要有一种或几种设计方案,从中选择出一个最优方案,这种问题通常称之为优化设计问题或最优方案选择问题.
解决此类问题,可分以下步骤:
(1)设未知数:
根据题中的数量关系设未知数;
(2)列式:
列出各种方案的式子;
(3)比较:
可用数值代入试探,也可将表示各方案的式子相减进行比较;
(4)决定取舍:
根据上述比较选择确定最优方案.
知识点一:
常见应用题类型
例1:
小明中考时的准考证号码是由四个数字组成的,这四个数字组成的四位数有如下特征:
(1)它的千位数字为1;
(2)把千位上的数字1向右移动,使其成为个位数字,那么所得的新数比原数的5倍少49.
请你根据以上特征推出小明的准考证号码.
思路分析:
题意分析:
这是一道数字问题的应用题,除1以外的三位可看作一个整体.
解题思路:
此题若直接设未知数,很难解决,可间接设原数的后三位数为x,则原数为1000+x,把1移到个位后的新数为10x+1.
解答过程:
设原数的后三位数为x,根据题意得:
5(1000+x)-49=10x+1,
解之得x=990
所以小明的准考证号码是1990.
解题后的思考:
数字问题设未知数都是间接设.本题和一般的数字问题稍有不同,这个四位数每个数位上的数字不必一一表示出来,把除1以外的三位看成一个整体即可.
例2:
一商店将某种鞋子按成本价提高40%后标价,又以8折优惠价卖出,结果每双仍获利15元,求这种鞋子每双的成本是多少元?
思路分析:
题意分析:
我们知道每双鞋子的利润是鞋子售价与鞋子成本价的差.
解题思路:
如果设每双鞋子的成本价为x元,那么每双鞋子的标价是(1+40%)x元,它的实际售价为[(1+40%)x×80%]元.那么每双鞋子的利润为[(1+40%)x·80%-x]元.
解答过程:
设每双鞋子的成本价是x元,根据题意列方程,得:
(1+40%)x×80%-x=15,
解这个方程得x=125.
答:
每双鞋子的成本价为125元.
解题后的思考:
解决销售问题时,关键是理清商品从购进到卖出的过程中价格的变化.在本题中,成本价→提高40%→标价→打8折→实际售价.
例3:
李阿姨买了20000元某公司1年期的债券,1年后扣除20%的利息税之后得到本利和为20800元,请问这种债券的年利率是多少?
思路分析:
题意分析:
本题中债券的计息方法与银行存款的计息方法相同.
解题思路:
可按照本利和=本金×年利率×(1-20%)×存期的计算公式找相等关系列方程.
解答过程:
设这种债券的年利率是x,根据题意列方程得:
20000+20000×x×(1-20%)=20800
解这个方程得x=0.05=5%.
答:
这种债券的年利率是5%.
解题后的思考:
本题还可以列方程:
20000[1+(1-20%)x]=20800.另外解方程时,可先利用等式的基本性质化简.
例4:
某班学生步行从学校到一农场去参加劳动,以每小时4千米的速度行进,走了1千米时,一名学生奉命回学校取东西,他以每小时5千米的速度回到学校,取了东西后又以同样的速度追赶队伍,结果他和队伍同时到达农场.求学校到农场的路程.
思路分析:
题意分析:
这一道行程问题是追及问题,学生队伍速度慢,走的路程短;取东西的学生速度快,走的路程长一些.
解题思路:
两者的速度已知.时间关系:
从出发1千米后到结束,两者所用的时间相同;路程关系:
在整个过程中取东西的学生比队伍多走1千米.
解答过程:
方法一:
线段图分析如图,设学校到农场的路程为x千米.
依题意得
=
解得x=9
答:
学校到农场的路程为9千米.
方法二:
设该学生从返回到到达农场用了x小时,
依题意得4x+1=5x-1
解得x=2
4x+1=4×2+1=9(千米)
答:
学校到农场的路程为9千米.
解题后的思考:
速度已知,若设路程为未知数,则找时间的等量关系;若设时间为未知数,则找路程的等量关系.
例5:
一艘轮船航行于两个码头之间,逆水需10小时,顺水需6小时.已知该船在静水中每小时航行12千米,求水流速度和两码头间的距离.
思路分析:
题意分析:
这是一道行船问题,已知时间和在静水中的速度,求水流速度和距离.
解题思路:
本题中的相等关系是两码头间距离不变或船在静水中的速度不变.
解答过程:
设水流速度为x千米/时,根据题意列方程,得:
6(12+x)=10(12-x).
解这个方程,得x=3.
所以6(12+x)=90.
答:
水流速度是3千米/时,两码头之间的距离为90千米.
解题后的思考:
航行问题中,顺水速度=静水中航行速度+水流速度;逆水速度=静水中航行速度-水流速度;顺水速度-逆水速度=2×水流速度;顺水速度+逆水速度=2×静水中航行速度,如果是在空中航行,这些公式仍适用.
例6:
某足球比赛的计分规则为胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分.一个队踢14场球负5场共得19分,问这个队胜了几场?
思路分析:
题意分析:
根据题意,所得的19分是踢胜的场数和踢平的场数所得的积分.
解题思路:
踢胜的场数和踢平的场数共14-5=9场,如果设胜了x场,那么踢平的场数就是9-x场.分别乘它们的分值,和为19.
解答过程:
设胜了x场,根据题意得:
3x+1×(14-x-5)=19
即3x+9-x=19
解得x=5
答:
这个队胜了5场.
解题后的思考:
积分多少与胜、平、负的场数有关,同时也与比赛积分规定有关,如果对体育比赛有一定了解,会有助于理解题意.
小结:
应用题类型很多,不同的题型有不同的特点,关键是找出等量关系列方程.认真总结,还是有规律可循的.
知识点二:
复杂应用题和优化设计问题
例7:
A、B两站相距300千米,一列快车从A站开出,行驶速度是每小时60千米,一列慢车从B站开出,行驶速度是每小时40千米.
(1)两车同时开出,相向而行,几小时后相遇?
(2)快车先开15分钟,两车相向而行,快车开出几小时后两车相遇?
(3)两车同时同向开出,慢车在前,出发多长时间后快车追上慢车?
(4)慢车先开30分钟,两车同向而行,慢车在前,快车出发多长时间后追上慢车?
此时慢车行驶了多少千米?
思路分析:
题意分析:
这是一道比较复杂的行程问题,包括相遇问题和追及问题.
解题思路:
(1)和
(2)两问属于相遇问题;(3)和(4)两问属于追及问题.可借助线段图分析,找出相等关系列方程,如图所示:
解答过程:
(1)设两车行驶x小时后相遇,
根据题意列方程,得60x+40x=300,
解这个方程,得x=3,
所以两车同时开出3小时后相遇.
(2)设快车开出y小时后两车相遇,则慢车行驶了(y-
)小时,根据题意列方程,得60y+40(y-
)=300,
解这个方程,得y=3.1,
所以快车开出3.1小时后两车相遇.
(3)设快车出发m小时后追上慢车,
根据题意列方程,得60m=300+40m,
解这个方程,得m=15,
所以,两车出发15小时后快车追上慢车.
(4)设快车出发n小时后追上慢车,根据题意列方程,
得60n=300+40×
+40n,
解这个方程,得n=16,
所以40×
+40n=20+40×16=660(千米),
快车出发16小时后追上慢车,此时慢车行驶了660千米.
解题后的思考:
借助线段图分析复杂问题中的数量关系,从而建立方程解决实际问题,这是一种解决实际问题的比较好的工具.
例8:
有一个牛奶厂现有鲜奶9吨,若在市场上直接销售鲜奶,每吨可获取利润500元;制成酸奶销售,每吨可获取利润1200元;制成奶片销售,每吨可获取利润2000元.该牛奶厂的生产能力是:
如果制成酸奶,每天可加工3吨;制成奶片,每天可加工1吨.受人员限制,两种加工方式不能同时进行;受气温限制,这批牛奶必须在4天内加工完毕并全部销售.为此,该厂设计了两种方案.
方案一:
尽可能多地制成奶片,其余的直接销售鲜奶;
方案二:
将一部分制成奶片,其余的制成酸奶销售,并恰好4天完成.你认为选择哪一种方案获利多呢?
思路分析:
题意分析:
本题题干较长,条件复杂,但仔细读题后,不难找出关系.两种方案已经给出,只要选择最优方案即可.
解题思路:
方案一中,时间为4天,这4天都制奶片,可加工4吨奶片,每吨获利2000元,其余的作为鲜奶直接销售,可获利(5×500)元,则方案一的总获利可求.方案二中的相等关系是:
(1)加工酸奶的天数+加工奶片的天数=4天,
(2)加工酸奶的牛奶吨数+加工奶片的牛奶吨数=9吨,根据
(1)设未知数,
(2)列方程即可求出方案二的总获利.
解答过程:
方案一:
4天都制奶片,其余的作为鲜奶直接销售.
总获利为4×1×2000+(9-4)×500=10500(元).
方案二:
设加工奶片x天,则加工酸奶(4-x)天.
根据题意,得x+3(4-x)=9.
解得,x=1.5.
所以4-x=4-1.5=2.5(天).
所以方案二的总获利为1.5×1×2000+2.5×3×1200=12000(元).
因为12000>10500,所以方案二获利多.
解题后的思考:
分别计算两种方案的利润,采用“比较法”合理地选择,确定最佳方案.
小结:
对于较复杂的应用题一般采取化难为简、分步或分段处理的方式;对于优化设计问题一般列出所有方案选择符合题意的最优方案.
1.方程思想:
(1)方程思想就是把未知数看成已知数,让代替未知数的字母和已知数一样参加运算.
(2)求未知数的值(例如在填空题和简单应用类题目中),一般都通过构建方程来求解.
2.数形结合思想:
数形结合思想是指在研究问题的过程中,由数思形,由形思数,把数与形结合起来,分析问题的思想方法.本章在列方程解应用题时常用画线段图和画框图的方法来分析问题.
(答题时间:
60分钟)
一、选择题
1.A种饮料比B种饮料单价少1元,小峰买了2瓶A种饮料和3瓶B种饮料,一共花了13元,如果设B种饮料单价为x元/瓶,那么下面所列方程正确的是()
A.2(x-1)+3x=13B.2(x+1)+3x=13
C.2x+3(x+1)=13D.2x+3(x-1)=13
2.一列长a米的队伍以每分钟60米的速度向前行进,队尾一名同学用1分钟从队尾走到队头,这位同学走的路程是()
A.a米B.(a+60)米C.60a米D.60米
3.小商贩从批发市场进了一批笔,他出售给顾客的价格要么是5元/支,要么是每3支10元,而商贩用这两种方法出售所获利润都是相等的,则每支笔的批发价是()
A.1.5元B.2元C.2.5元D.3元
4.两个蓄水池共蓄水40t,若甲池再注水4t,乙池再注水8t,两池水的吨数相等,则两水池原来各有水()t.
A.甲池21,乙池19B.甲池22,乙池18
C.甲池23,乙池17D.甲池24,乙池16
5.要将40kg浓度为16%的盐水变为浓度为20%的盐水,则需蒸发掉水()
A.8kgB.7kgC.6kgD.5kg
*6.某商品降价20%以后,欲恢复原价,则提高的百分数是()
A.18%B.20%C.25%D.30%
*7.8个人用35天完成了某项工程的
.此时,又增加6个人,那么要完成剩余的工程,还需要的天数是()
A.18B.35C.40D.60
**8.某原料供应商对购买其原料的顾客实行了如下优惠办法:
①一次购买金额不超过1.0×104元,不予优惠;
②一次购买金额超过1.0×104元,但不超过3.0×104元,给9折优惠;
③一次购买超过3.0×104元的,其中3.0×104元9折优惠,超过3.0×104元的部分8折优惠.
某厂因库容原因,第一次在该供应商处购买原料付款7800元,第二次购买原料付款26100元,如果他是一次购买同样数量的原料,可少付金额为()
A.1460元B.1540元C.1560元D.2000元
二、填空题
9.x的30%减去4所得差的一半,等于x的20%加上6,列出方程是________.
10.鸡兔同笼,共有头12个,脚36只.问:
笼中有鸡兔各几只?
答:
有鸡_____只,兔_____只.
11.某商品的价格标签已丢失,售货员只知道“它的进价为80元,打七折售出后,仍可获利5%”.你认为售货员应标在标签上的价格为__________元.
*12.如图,两根铁棒直立于桶底水平的木桶中,在桶中加入水后,一根露出水面的长度是它的
,另一根露出水面的长度是它的
.两根铁棒长度之和为55cm,此时木桶中水的深度是__________cm.
*13.用一根绳子围成一个正方形,又用这根绳子围成一个圆,已知圆的半径比正方形的边长少2(π-2)米,请问这根绳子的长度是__________米.
**14.甲、乙两车从A向B行驶,甲比乙晚出发6小时,甲、乙的速度比是4∶3.甲出发6小时后,速度提高1倍,甲、乙两车同时到达B.则甲从A到B共走了__________小时.
三、解答题
15.某市中学生排球比赛中,按胜一场得2分,平一场得1分,负一场得0分计算,市第四中学排球队参加了8场比赛,保持不败的记录,共得了13分,问其中胜了几场?
16.北京市实施交通管理新措施以来,全市公共交通客运量显著增加.据统计,2008年10月11日到2009年2月28日期间,地面公交日均客运量与轨道交通日均客运量总和为1696万人次,地面公交日均客运量比轨道交通日均客运量的4倍少69万人次.在此期间,地面公交和轨道交通日均客运量各为多少万人次?
17.甲、乙二人相距40千米,乙先出发1.5小时后,甲再出发,甲在后乙在前,二人同向而行,甲的速度是8千米/小时,乙的速度是6千米/小时,甲出发几小时后追上乙?
*18.有四个数的和为100,把第一个数加上4,第二个数减去4,第三个数乘以4,第四个数除以4,结果相同,求这四个数各是多少?
**19.某家电商场一次售出两台不同品牌的电视机,其中一台赚了12%,另一台赔了12%,且这次售出的两台电视机的售价都是3080元,那么这次买卖中商场是否赔钱?
**20.某工厂出售一种产品,其成本价为每件28元,若直接由厂家门市部出售,每件产品售价35元,消耗其他费用每月2100元,若委托商店销售,出厂价每件32元.
(1)求在这两种销售方式下,每月销售出多少件时,所得利润平衡?
(2)若销售量每月达1000件时,采用哪种销售方式获利较多?
一、选择题
1.A
2.B解析:
在这一分钟的时间里,队伍中除了这名同学其他同学都走了60米,这名同学走了(60+a)米,如图所示:
3.C解析:
设每支笔的批发价为x元,则5-x=10-3x,所以x=2.5.
4.B解析:
设甲池原有水xt,则乙池原有水(40-x)t,由题意得x+4=(40-x)+8,所以x=22,40-x=18.
5.A解析:
设需蒸发掉水xkg,则40×16%=(40-x)×20%,解得x=8.
6.C解析:
设提高百分数为x,又设商品进价为a,则a(1-20%)(1+x)=a,所以x=25%.
7.C解析:
每人每天完成的工作量是
÷8÷35=
,设还需要的天数是x,则(8+6)×x×
=1-
,解得x=40.
8.A解析:
第一次付的款是原材料款7800元,第二次付的款是打折后的款,所购原材料款为26100÷0.9=29000(元).将两次原材料款加起来为29000+7800=36800(元),一次购36800元原材料应付款为30000×0.9+6800×0.8=32440(元).所以少付款7800+26100-32440=1460(元).
二、填空题
9.
(30%x-4)=20%x+6
10.6,6解析:
设有鸡x只,则有兔(12-x)只,根据列方程得2x+4(12-x)=36,解得x=6,12-x=6,所以有鸡6只,有兔6只.
11.120解析:
设标签上价格为x元,则70%x-80=80×5%,解得x=120.
12.20解析:
设水深为xcm,则x÷(1-
)+x÷(1-
)=55,解得x=20.
13.8π解析:
设圆的半径为r米,则2πr=4[r+2(π-2)],解得r=4,所以绳子的长度是2πr=8π米.
14.8.4解析:
设从A到B甲用x小时,那么乙用(x+6)小时,甲、乙的速度分别是4k和3k,则3k(x+6)=4k×6+2×4k(x-6),即5kx=42k,因为k≠0,所以x=8.4(小时).
三、解答题
15.解:
设胜了x场,可列方程:
2x+(8-x)=13,解之得x=5.答:
胜了5场.
16.解:
设轨道交通日均客运量为x万人次,则x+(4x-69)=1696.解得x=353,4x-69=1343.答:
地面公交和轨道交通日均客运量分别为1343万人次和353万人次.
17.解:
设甲出发x小时后追上乙,则甲走的路程为8x千米,乙走的路程为6(x+1.5)千米,则8x-6(x+1.5)=40.解得x=24.5,答:
甲出发24.5小时后追上乙.
18.解:
设相同的结果为x,则第一个数为x-4,第二个数为x+4,第三个数为
,第四个数为4x.根据题意列方程得:
(x-4)+(x+4)+
+4x=100,解得x=16.所以x-4=12,x+4=20,
=4,4x=64.答:
这四个数分别为12、20、4、64.
19.解:
设这两种电视机的成本价分别为x元、y元.则x(1+12%)=3080,解得x=2750.y(1-12%)=3080,解得y=3500.销售价与成本价的差是3080×2-(x+y)=3080×2-(2750+3500)=-90.答:
商场在这次买卖中赔了90元.
20.解:
(1)设每月销售出x件时,所得利润平衡,根据题意得(35-28)×x-2100=(32-28)×x,解得x=700(件).答:
每月销售700件时所得利润平衡.
(2)由厂家门市部销售所得利润是:
(35-28)×1000-2100=4900(元);委托商店销售所得利润是:
(32-28)×1000=4000(元).因为4900>4000,所以销售量每月达1000件时由厂家门市部销售所得利润较多.
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