二次项定理0大典型例题.docx
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二次项定理0大典型例题
(1)知识点的梳理
1.二项式定理:
(ab)nCn0anCn1an1bCnranrbrCnnbn(nN),
2.基本概念:
①二项式展开式:
右边的多项式叫做(ab)n的二项展开式。
2二项式系数:
展开式中各项的系数Cnr(r0,1,2,,n).
3项数:
共(r1)项,是关于a与b的齐次多项式
4通项:
展开式中的第r1项Cnranrbr叫做二项式展开式的通项。
用Tr1Cnranrbr表示。
3.注意关键点:
1项数:
展开式中总共有(n1)项。
2顺序:
注意正确选择a,b,其顺序不能更改。
(ab)n与(ba)n是不同的。
3指数:
a的指数从n逐项减到0,是降幂排列。
b的指数从0逐项减到n,是升幂排列。
各项的次数和等于n.
4系数:
注意正确区分二项式系数与项的系数,二项式系数依次是
Cn0,Cn1,Cn2,,Cnr,,Cnn.项的系数是a与b的系数(包括二项式系数)。
4.常用的结论:
令a1,bx,(1x)nCn0Cn1xCn2x2CnrxrCnnxn(nN)
令a1,bx,(1x)nCn0Cn1xCn2x2Cnrxr
(1)nCnnxn(nN)
5.性质:
1
二项式系数的对称性:
与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等,即
2二项式系数和:
令ab1,则二项式系数的和为Cn0Cn1Cn2CnrCnn2n,
变形式Cn1Cn2CnrCnn2n1。
3奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和:
在二项式定理中,令a1,b1,则Cn0Cn1Cn2Cn3
(1)nCnn(11)n0,
从而得到:
Cn0Cn2Cn4Cn2rC1nCn3Cn2r112n2n1
2
4奇数项的系数和与偶数项的系数和:
a0a1x1a2x2anxn
anxna2x2a1x1a0
(ax)nCn0anx0C1nan1xCn2an2x2Cnna0xn
(xa)nCn0a0xnC1naxn1Cn2a2xn2Cnnanx0
令x1,则a0a1a2a3an(a1)n①
令x1,则a0a1a2a3an(a1)n②
①②得,a0a2a4an(a1)(a1)(奇数项的系数和)
2
①②得,a1a3a5an(a1)(a1)(偶数项的系数和)
5二项式系数的最大项:
如果二项式的幂指数n是偶数时,则中间一项的二项式n
系数Cn2取得最大值。
如果二项式的幂指数n是奇数时,则中间两项的二项式系n1n1
数Cn2,Cn2同时取得最大值。
6系数的最大项:
求(abx)n展开式中最大的项,一般采用待定系数法。
设展开式中各项系数分别
Ar1Ar
为A1,A2,,An1,设第r1项系数最大,应有r1r,从而解出r来。
12n1Ar1Ar2
2)专题总结
专题一
题型一:
二项式定理的逆用;
例:
Cn1Cn26Cn362Cnn6n1
Sn
(13)n14n1
解:
(16)nCn0C1n6Cn262Cn363Cnn6n与已知的有一些差距,
C1nCn26Cn362Cnn6n11(C1n6Cn262Cnn6n)
6
1(Cn0Cn16Cn262Cnn6n1)1[(16)n1]1(7n1)
666
练:
Cn13Cn29Cn33n1Cnn.
解:
设SnCn13Cn29Cn33n1Cnn,则
3SnCn13Cn232Cn333Cnn3nCn0Cn13Cn232Cn333Cnn3n1(13)n1
题型二:
利用通项公式求xn的系数;
例:
在二项式(413x2)n的展开式中倒数第3项的系数为45,求含有x3的项的系数?
解:
由条件知Cnn245,即Cn245,n2n900,解得n9(舍去)或n10,
由
1210r2r
Tr1C1r0(x4)10r(x3)rC1r0x43,由题意10r2r3,解得r6,
r1101043
则含有x3的项是第7项T61C160x3210x3,系数为210。
练:
求(x221x)9展开式中x9的系数?
解:
Tr1C9r(x2)9r
(1)rC9rx182r
(1)rxrC9r
(1)rx183r,令183r9,则
2x22
r3
题型三:
利用通项公式求常数项;
1
例:
求二项式(x221x)10的展开式中的常数项?
5
rr1r20r5
C10
(1)x2,令205r0,得r8,所以1022
练:
求二项式(2x1)6的展开式中的常数项?
2x
解:
Tr1C6r(2x)6r
(1)r
(1)r
(1)rC6r26r
(1)rx62r,令62r0,得r3,所2x2
以T4
(1)3C6320
练:
若(x21)n的二项展开式中第5项为常数项,则n.
x
解:
T5Cn4(x2)n4
(1)4Cn4x2n12,令2n120,得n6.x
题型四:
利用通项公式,再讨论而确定有理数项;
例:
求二项式(x3x)9展开式中的有理项?
1127r
解:
Tr1C9(x)(x)
(1)C9x,令6Z,(0r9)得r3或r9,
所以当r3时,64,T4
(1)C9x84x,
当r9时,27r3,T10
(1)C9xx。
6
题型五:
奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和;例:
若(x2312)n展开式中偶数项系数和为256,求n.
3x2
解:
设(x2312)n展开式中各项系数依次设为a0,a1,a
3x2
a1
令x1,则有a0a1an0,①,令x1,则有
a0a1a2a3
(1)an2,②
将①-②得:
2(a1a3a5)2n,a1a3a52n1
有题意得,22562,n9。
解:
Cn0Cn2Cn4Cn2r
练:
若(31512)n的展开式中,所有的奇数项的系数和为1024,求它的中间项。
Cn1Cn3Cn2r12n1,2n11024,
解得n11
61
T61462x15
题型六:
最大系数,最大项;
例:
已知(12x)n,若展开式中第5项,第6项与第7项的二项式系数成等差数
列,求展开式中二项式系数最大项的系数是多少?
解:
Cn4Cn62Cn5,n221n980,解出n7或n14,当n7时,展开式
中二项式系数最大的项是T4和T5T4的系数C73
(1)42335,,
22
1
T5的系数C74
(1)32470,当n14时,展开式中二项式系数最大的项是T8,
7177
T8的系数C174()7273432。
2
练:
在(ab)2n的展开式中,二项式系数最大的项是多少?
解:
二项式的幂指数是偶数2n,则中间一项的二项式系数最大,即T2nTn1,22n1n1也就是第n1项。
的展开式中,只有第5项的二项式最大,则展开式中的常数项
是多少?
解:
只有第5项的二项式最大,则n15,即n8,所以展开式中常数项为第2
七项等于C86
(1)27
2
练:
写出在(ab)7的展开式中,系数最大的项?
系数最小的项?
解:
因为二项式的幂指数7是奇数,所以中间两项(第4,5项)的二项式系数相等,
且同时取得最大值,从而有T4C73a4b3的系数最小,T5C74a3b4系数最大。
练:
若展开式前三项的二项式系数和等于79,求(12x)n的展开式中系数最大
2的项?
解:
由Cn0C1nCn279,解出n12,假设Tr1项最大,(212x)12(21)12(14x)12
1
1210101010
C124x16896x
r10,展开式中系数最大的项为T11,有T11
(2)练:
在(12x)10的展开式中系数最大的项是多少?
解:
假设Tr1项最大,Tr1C1r02rxr
解得2(11r)r,化简得到
r12(10r)
r7,展开式中系数最大的项为
Ar1ArC1r02rC1r012r1
Ar1Ar2C1r02rC1r012r16.3k7.3,又0r10,T8C102x15360x.
题型七:
含有三项变两项;
例:
求当(x23x2)5的展开式中x的一次项的系数?
解法①:
(x23x2)5[(x22)3x]5,Tr1C5r(x22)5r(3x)r,当且仅当r1
时,Tr1的展开式中才有x的一次项,此时Tr1T2C51(x22)43x,
所以x得一次项为C51C44243x
它的系数为C51C44243240。
解法②:
(x23x2)5(x1)5(x2)5(C50x5C51x4C55)(C50x5C51x42C5525)
故展开式中含x的项为C54xC5525C54x24240x,故展开式中x的系数为240.
T31
(1)3C6320.
题型八:
两个二项式相乘;
例:
求(12x)3(1x)4展开式中x2的系数.
解:
(12x)3的展开式的通项是C3m(2x)mC3m2mxm,
(1x)4的展开式的通项是C4n(x)nC4n1nxn,其中m0,1,2,3,n0,1,2,3,4,
令mn2,则m0且n2,m1且n1,m2且n0,因此(12x)3(1x)4
的展开式中x2的系数等于C3020C42
(1)2C3121C41
(1)1C3222C40
(1)06
练:
求(13x)6(141)10展开式中的常数项.
4x
mn4m3n
解:
(13x)6(141)10展开式的通项为C6mx3C1n0x4C6mC1n0x12
其中m0,1,2,,6,n0,1,2,,10,当且仅当4m3n,即m0,或m3,或m6,
n0,n4,n8,
时得展开式中的常数项为C60C100C63C140C66C1804246.
练:
1
已知(1xx2)(x13)n的展开式中没有常数项,nN*且2n8,则n.
x3
解:
(x13)n展开式的通项为Crnxnrx3rCrnxn4r,通项分别与前面的三项相乘可得x3
n4r且n4r1且n4r2,即n4,8且n3,7且n2,6,n5.
题型九:
奇数项的系数和与偶数项的系数和;
例:
在(x2)2006的二项展开式中,含x的奇次幂的项之和为S,当x2时,S
解:
设(x2)2006=a0a1x1a2x2a3x3a2006x2006①
20061232006
(x2)=a0a1xa2xa3xa2006x②
①②得2(a1xa3x3a5x5a2005x2005)(x2)2006(x2)2006
(x2)2006展开式的奇次幂项之和为S(x)12[(x2)2006(x2)2006]
32006
当x2时,S
(2)1[(22)2006(22)2006]2223008
22题型十:
赋值法;
例:
设二项式(33x1)n的展开式的各项系数的和为p,所有二项式系数的和为x
s,若
ps272,则n等于多少?
解:
若(33x1)na0a1xa2x2anxn,有Pa0a1an,
x
2n16或2n17(舍去),n4.
解:
令x1,则3x1的展开式中各项系数之和为2n64,所以n6,
则展开式的常数项为C63(3x)3
(1)3540.
6x
练:
的值为
若(12x)2009a0a1x1a2x2a3x3a2009x2009(xR),则a21a222a222000099
解:
令x12,可得a0a212a222a220000990,a212a22a222000099a0
在令x0可得a01,因而a212a22a2220000991.
练:
若(x2)5a5x5a4x4a3x3a2x2a1x1a0,则a1a2a3a4a5
解:
令x0得a032,令x1得a0a1a2a3a4a51,
a1a2a3a4a531.
题型十一:
整除性;例:
证明:
32n28n9(nN*)能被64整除证:
32n28n99n18n9(81)n18n9
8n9
Cn018n1Cn118nCnn1182Cnn181Cnn11
Cn018n1Cn118nCnn11828(n1)18n9
Cn018n1C1n18nCnn1182
由于各项均能被64整除32n28n9(nN*)能被64整除
1、(x-1)11展开式中x的偶次项系数之和是
1、设f(x)=(x-1)11,偶次项系数之和是f
(1)f
(1)
(2)11/21024
2
2、C0n3C1n32C2n3nCnn2、
2、4n
3、(351)20的展开式中的有理项是展开式的第项
5
3、3,9,15,21
4、(2x-1)5展开式中各项系数绝对值之和是
4、(2x-1)5展开式中各项系数系数绝对值之和实为(2x+1)5展开式系数之和,故令x=1,则所求和为35
5、求(1+x+x2)(1-x)10展开式中x4的系数
5、(1xx2)(1x)10(1x3)(1x)9,要得到含x4的项,必须第一个因式中的1与(1-x)9展开式中的项C49(x)4作积,第一个因式中的-x3与(1-x)9展开式中的项C19(x)作积,故x4的系数是C19C94135
6、求(1+x)+(1+x)+⋯+(1+x)展开式中x的系数x3实为这分子中的x4,则所求系数为C171
7、若f(x)(1x)m(1x)n(mnN)展开式中,x的系数为21,问m、n为何值时,x2的系数最小?
7、由条件得m+n=21,x2的项为C2mx2Cn2x2,则C2mC2n(n21)2399.因n∈N,故当n=10或11时上式有最小值,也就是m=11和n=10,或m=10和n=11时,x的系数最小
8、自然数n为偶数时,求证:
12C1nC2n2Cn3Cn42Cnn1Cnn32n1
8、原式=(C0nC1nC2nCnn1Cnn)(C1nCn3C5nCnn1)2n2n13.2n1
9、求8011被9除的余数
9、8011(811)11C1018111C1118110C111081181k1(kZ),
∵k∈Z,∴9k-1∈Z,∴8111被9除余8
10、在(x2+3x+2)5的展开式中,求x的系数
2555
10、(x23x2)5(x1)5(x2)5
在(x+1)5展开式中,常数项为1,含x的项为C155x,在(2+x)5展开式中,常数项为25=32,含x的项为C1524x80x
∴展开式中含x的项为1(80x)5x(32)240x,此展开式中x的系数为240
11、求(2x+1)12展开式中系数最大的项
11、设Tr+1的系数最大,则Tr+1的系数不小于Tr与Tr+2的系数,即有
11
3r4,r433
∴展开式中系数最大项为第5项,T5=16C142x47920x4
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- 二次 定理 典型 例题