精选浙江专用版高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I24二次函数与幂函数教师用书.docx
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精选浙江专用版高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I24二次函数与幂函数教师用书
(浙江专用)2018版高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I2.4二次函数与幂函数教师用书
1.二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
①一般式:
f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
②顶点式:
f(x)=a(x-m)2+n(a≠0).
③零点式:
f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).
(2)二次函数的图象和性质
解析式
f(x)=ax2+bx+c(a>0)
f(x)=ax2+bx+c(a<0)
图象
定义域
(-∞,+∞)
(-∞,+∞)
值域
单调性
在x∈上单调递减;
在x∈上单调递增
在x∈上单调递增
在x∈上单调递减;
对称性
函数的图象关于x=-对称
2.幂函数
(1)定义:
一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.
(2)幂函数的图象比较
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0,+∞)上都有定义;
②幂函数的图象过定点(1,1);
③当α>0时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+∞)上单调递增;
④当α<0时,幂函数的图象都过点(1,1),且在(0,+∞)上单调递减.
【知识拓展】
1.若f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则当时恒有f(x)>0,当时,恒有f(x)<0.
2.幂函数的图象和性质
(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内,一定不会出现在第四象限,至于是否出现在第二、三象限内,要看函数的奇偶性.
(2)幂函数的图象过定点(1,1),如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)二次函数y=ax2+bx+c,x∈[a,b]的最值一定是.( × )
(2)二次函数y=ax2+bx+c,x∈R不可能是偶函数.( × )
(3)在y=ax2+bx+c(a≠0)中,a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小.( √ )
(4)函数y=2x
是幂函数.( × )
(5)如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.( √ )
(6)当n<0时,幂函数y=xn是定义域上的减函数.( × )
1.(教材改编)已知函数f(x)=x2+4ax在区间(-∞,6)内单调递减,则a的取值范围是( )
A.a≥3B.a≤3
C.a<-3D.a≤-3
答案 D
解析 函数f(x)=x2+4ax的图象是开口向上的抛物线,其对称轴是x=-2a,由函数在区间(-∞,6)内单调递减可知,区间(-∞,6)应在直线x=-2a的左侧,
∴-2a≥6,解得a≤-3,故选D.
2.幂函数y=f(x)的图象过点(4,2),则幂函数y=f(x)的图象是( )
答案 C
解析 设f(x)=xα,则4α=2,∴α=,
∴f(x)=x
,对照各选项中的图象可知C正确.
3.已知函数y=x2-2x+3在闭区间[0,m]上有最大值3,最小值2,则m的取值范围为________.
答案 [1,2]
解析 如图,由图象可知m的取值范围是[1,2].
4.(教材改编)已知幂函数y=f(x)的图象过点,则此函数的解析式为________;在区间________上单调递减.
答案
(0,+∞)
解析 设f(x)=xa,则2a=,
∴a=-,即幂函数的解析式为y=
,单调减区间为(0,+∞).
题型一 求二次函数的解析式
例1
(1)(2016·太原模拟)已知二次函数f(x)与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(-2,0)且有最小值-1,则f(x)=________.
答案 x2+2x
解析 设函数的解析式为f(x)=ax(x+2),
所以f(x)=ax2+2ax,由=-1,
得a=1,所以f(x)=x2+2x.
(2)已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3),它在x轴上截得的线段长为2,并且对任意x∈R,都有f(2-x)=f(2+x),求f(x)的解析式.
解 ∵f(2+x)=f(2-x)对任意x∈R恒成立,
∴f(x)的对称轴为x=2.
又∵f(x)的图象被x轴截得的线段长为2.
∴f(x)=0的两根为1和3.
设f(x)的解析式为f(x)=a(x-1)(x-3)(a≠0),
又f(x)的图象过点(4,3),
∴3a=3,a=1,
∴所求f(x)的解析式为f(x)=(x-1)(x-3),
即f(x)=x2-4x+3.
思维升华 求二次函数解析式的方法
(1)已知二次函数f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R),x∈R,若函数f(x)的最小值为f(-1)=0,则f(x)=________.
(2)若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(常数a,b∈R)是偶函数,且它的值域为(-∞,4],则该函数的解析式f(x)=________.
答案
(1)x2+2x+1
(2)-2x2+4
解析
(1)设函数f(x)的解析式为f(x)=a(x+1)2=ax2+2ax+a,
由已知f(x)=ax2+bx+1,∴a=1,
故f(x)=x2+2x+1.
(2)由f(x)是偶函数知f(x)图象关于y轴对称,
∴-a=-(-),即b=-2,∴f(x)=-2x2+2a2,
又f(x)的值域为(-∞,4],
∴2a2=4,故f(x)=-2x2+4.
题型二 二次函数的图象和性质
命题点1 二次函数的单调性
例2 函数f(x)=ax2+(a-3)x+1在区间[-1,+∞)上是递减的,则实数a的取值范围是( )
A.[-3,0)B.(-∞,-3]
C.[-2,0]D.[-3,0]
答案 D
解析 当a=0时,f(x)=-3x+1在[-1,+∞)上递减,满足条件.
当a≠0时,f(x)的对称轴为x=,
由f(x)在[-1,+∞)上递减知
解得-3≤a<0.综上,a的取值范围为[-3,0].
引申探究
若函数f(x)=ax2+(a-3)x+1的单调减区间是[-1,+∞),则a=________.
答案 -3
解析 由题意知a<0,
又=-1,∴a=-3.
命题点2 二次函数的最值
例3 (2016·嘉兴教学测试)已知m∈R,函数f(x)=-x2+(3-2m)x+2+m.
(1)若0 (2)对任意的m∈(0,1],若f(x)在[0,m]上的最大值为h(m),求h(m)的最大值. 解 (1)∵对称轴为x=≥1, ∴g(m)=max{|f(-1)|,|f (1)|}=max{|3m-2|,|4-m|} =max{2-3m,4-m}. 又∵(4-m)-(2-3m)=2+2m>0,∴g(m)=4-m. (2)函数的对称轴为x=,且函数开口向下. ①≤0,即m≥(舍去); ②0< ③≥m,即0 ∴h(m)= ∴当m=时,f(m)取得最大值. 命题点3 二次函数中的恒成立问题 例4 (1)已知函数f(x)=x2-x+1,在区间[-1,1]上不等式f(x)>2x+m恒成立,则实数m的取值范围是________________. (2)已知a是实数,函数f(x)=2ax2+2x-3在x∈[-1,1]上恒小于零,则实数a的取值范围为________. 答案 (1)(-∞,-1) (2) 解析 (1)f(x)>2x+m等价于x2-x+1>2x+m,即x2-3x+1-m>0, 令g(x)=x2-3x+1-m, 要使g(x)=x2-3x+1-m>0在[-1,1]上恒成立, 只需使函数g(x)=x2-3x+1-m在[-1,1]上的最小值大于0即可. ∵g(x)=x2-3x+1-m在[-1,1]上单调递减, ∴g(x)min=g (1)=-m-1. 由-m-1>0,得m<-1. 因此满足条件的实数m的取值范围是(-∞,-1). (2)2ax2+2x-3<0在[-1,1]上恒成立. 当x=0时,-3<0,成立; 当x≠0时,a<2-,因为∈(-∞,-1]∪[1,+∞),当x=1时,右边取最小值,所以a<. 综上,实数a的取值范围是. 思维升华 (1)二次函数最值问题的解法: 抓住“三点一轴”数形结合,三点是指区间两个端点和中点,一轴指的是对称轴,结合配方法,根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成. (2)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键 ①一般有两个解题思路: 一是分离参数;二是不分离参数. ②两种思路都是将问题归结为求函数的最值,至于用哪种方法,关键是看参数是否已分离.这两个思路的依据是: a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max,a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min. (1)设函数f(x)=ax2-2x+2,对于满足1 答案 解析 由题意得a>-对1 又-=-22+,<<1, ∴max=,∴a>. (2)已知函数f(x)=x2-2x,若x∈[-2,a],求f(x)的最小值. 解 ∵函数f(x)=x2-2x=(x-1)2-1, ∴对称轴为直线x=1, ∵x=1不一定在区间[-2,a]内,∴应进行讨论,当-21时,函数在[-2,1]上单调递减,在[1,a]上单调递增, 则当x=1时,f(x)取得最小值,即f(x)min=-1. 综上,当-2 当a>1时,f(x)min=-1. 题型三 幂函数的图象和性质 例5 (1)(2017·丽水诊断测试)已知幂函数f(x)=k·xα的图象过点,则k+α等于( ) A.B.1C.D.2 (2)若(2m+1) >(m2+m-1) ,则实数m的取值范围是( ) A.B. C.(-1,2)D. 答案 (1)C (2)D 解析 (1)由幂函数的定义知k=1.又f=, 所以α=,解得α=,从而k+α=. (2)因为函数y=x 的定义域为[0,+∞), 且在定义域内为增函数, 所以不等式等价于 解2m+1≥0,得m≥-; 解m2+m-1≥0,得m≤或m≥; 解2m+1>m2+m-1,得-1 综上所述,m的取值范围是≤m<2. 思维升华 (1)幂函数的形式是y=xα(α∈R),其中只有一个参数α,因此只需一个条件即可确定其解析式. (2)在区间(0,1)上,幂函数中指数越大,函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”),在区间(1,+∞)上,幂函数中指数越大,函数图象越远离x轴. (2016·绍兴模拟)幂函数的图象经过点(4,2),若0 A.f(a) B.f() C.f(a) D.f() 答案 C 解析 设幂函数为f(x)=xα,将(4,2)代入得α=, 所以f(x)= ,该函数在(0,+∞)上为增函数, 又0>1, 即a 所以f(a) 3.分类讨论思想在二次函数最值中的应用 典例 (14分)已知函数f(x)=ax2+2ax+1在区间[-1,2]上有最大值4,求实数a的值. 思想方法指导 已知函数f(x)的最值,而f(x)图象的对称轴确定,要讨论a的符号. 规范解答 解 f(x)=a(x+1)2+1-a.[1分] (1)当a=0时,函数f(x)在区间[-1,2]上的值为常数1,不符合题意,舍去;[5分] (2)当a>0时,函数f(x)在区间[-1,2]上是增函数,最大值为f (2)=8a+1=4,解得a=; [9分] (3)当a<0时,函数f(x)在区间[-1,2]上是减函数,最大值为f(-1)=1-a=4,解得a=-3. [13分] 综上可知,a的值为或-3.[14分] 1.函数f(x)=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是( ) A.m=-2B.m=2 C.m=-1D.m=1 答案 A 解析 已知函数f(x)=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称,则m=-2;反之也成立. 所以函数f(x)=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是m=-2. 2.幂函数y= (m∈Z)的图象如图所示,则m的值为( ) A.0B.1C.2D.3 答案 C 解析 ∵y= (m∈Z)的图象与坐标轴没有交点, ∴m2-4m<0,即0 又∵函数的图象关于y轴对称且m∈Z, ∴m2-4m为偶数,因此m=2. 3.已知二次函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x),且f(x)在[0,2]上是增函数,若f(a)≥f(0),则实数a的取值范围是( ) A.[0,+∞)B.(-∞,0] C.[0,4]D.(-∞,0]∪[4,+∞) 答案 C 解析 由题意可知函数f(x)的图象开口向下,对称轴为x=2(如图), 若f(a)≥f(0),从图象观察可知0≤a≤4. 4.若函数y=x2-3x-4的定义域为[0,m],值域为[-,-4],则m的取值范围是( ) A.[0,4]B.[,4] C.[,+∞)D.[,3] 答案 D 解析 二次函数图象的对称轴为x= 且f()=-,f(3)=f(0)=-4, 由图得m∈[,3]. 5.若函数f(x)=x2-ax-a在区间[0,2]上的最大值为1,则实数a等于( ) A.-1B.1 C.2D.-2 答案 B 解析 ∵函数f(x)=x2-ax-a的图象为开口向上的抛物线, ∴函数的最大值在区间的端点处取得, ∵f(0)=-a,f (2)=4-3a, ∴或解得a=1. 6.已知二次函数f(x)=2ax2-ax+1(a<0),若x1 A.f(x1)=f(x2) B.f(x1)>f(x2) C.f(x1) D.与a值有关 答案 C 解析 该二次函数图象的开口向下,对称轴为直线x=,又依题意,得x1<0,x2>0,又x1+x2=0, 则-x1>x2-,故f(x1) 7.(2016·嘉兴教学测试一)若函数f(x)是幂函数,则f (1)=________,若满足f(4)=8f (2),则f()=________. 答案 1 解析 设f(x)=xα,则f (1)=1, 由f(4)=8f (2),得4α=8×2α,∴α=3, ∴f(x)=x3,f()=. 8.当0 答案 h(x)>g(x)>f(x) 解析 如图所示为函数f(x),g(x),h(x)在(0,1)上的图象,由此可知,h(x)>g(x)>f(x). 9.当x∈(1,2)时,不等式x2+mx+4<0恒成立,则m的取值范围是________. 答案 (-∞,-5] 解析 方法一 ∵不等式x2+mx+4<0对x∈(1,2)恒成立, ∴mx<-x2-4对x∈(1,2)恒成立, 即m<-(x+)对x∈(1,2)恒成立, 令y=x+,则函数y=x+在x∈(1,2)上是减函数. ∴4 方法二 设f(x)=x2+mx+4,当x∈(1,2)时, f(x)<0恒成立⇔⇒⇒m≤-5. *10.若函数f(x)=x2-a|x-1|在[0,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是________. 答案 [0,2] 解析 f(x)= x∈[1,+∞)时,f(x)=x2-ax+a=(x-)2+a-, x∈(-∞,1)时,f(x)=x2+ax-a=(x+)2-a-. ①当>1,即a>2时,f(x)在(1,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增,不合题意; ②当0≤≤1,即0≤a≤2时,符合题意; ③当<0,即a<0时,不符合题意. 综上,a的取值范围是[0,2]. 11.已知函数f(x)=x2+2ax+2,x∈[-5,5]. (1)当a=-1时,求函数f(x)的最大值和最小值; (2)求实数a的取值范围,使y=f(x)在区间[-5,5]上是单调函数. 解 (1)当a=-1时,f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,x∈[-5,5]. ∵f(x)的对称轴为x=1, ∴当x=1时,f(x)取最小值1; 当x=-5时,f(x)取最大值37. (2)f(x)=x2+2ax+2=(x+a)2+2-a2的对称轴为x=-a, ∵f(x)在[-5,5]上是单调函数, ∴-a≥5或-a≤-5,即a≥5或a≤-5. 故实数a的取值范围为(-∞,-5]∪[5,+∞). 12.已知幂函数f(x)= (m∈N*). (1)试确定该函数的定义域,并指明该函数在其定义域上的单调性; (2)若函数f(x)的图象经过点(2,),试确定m的值,并求满足条件f(2-a)>f(a-1)的实数a的取值范围. 解 (1)因为m2+m=m(m+1)(m∈N*), 而m与m+1中必有一个为偶数,所以m2+m为偶数, 所以函数f(x)= (m∈N*)的定义域为[0,+∞),并且该函数在[0,+∞)上为增函数. (2)因为函数f(x)的图象经过点(2,), 所以=2(m2+m)-1 ,即 = , 所以m2+m=2,解得m=1或m=-2. 又因为m∈N*,所以m=1,f(x)= , 又因为f(2-a)>f(a-1), 所以解得1≤a<, 故函数f(x)的图象经过点(2,)时,m=1. 满足条件f(2-a)>f(a-1)的实数a的取值范围为[1,). 13.(2016·余姚中学期中)设函数f(x)=x2+px+q(p,q∈R). (1)若p=2,当x∈[-4,-2]时,f(x)≥0恒成立,求q的取值范围; (2)若不等式|f(x)|>2在区间[1,5]上无解,试求所有的实数对(p,q). 解 (1)当p=2时,f(x)=x2+2x+q≥0恒成立, 只需f(x)min≥0. 易知f(x)=x2+2x+q在x∈[-4,-2]上单调递减, 所以f(x)min=f(-2)=q≥0. 即q的取值范围为[0,+∞). (2)要使|f(x)|>2在区间[1,5]上无解, 必须满足 所以 所以-3≤p+q≤1,即-1≤-p-q≤3, 又-27≤5p+q≤-23, 两式相加可以得到-7≤p≤-5. 因为f(x)的对称轴为x=-, 所以-∈,则f(x)的对称轴在区间[1,5]内,要使|f(x)|>2在区间[1,5]上无解, 还要满足f≥-2,即≥-2, 可以得到q≥-2. 解不等式组 可得p=-6,代入不等式组,得q=7. 所以满足题意的实数对(p,q)只有一对(-6,7).
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