数学人教A必修332 第2课时 应用案 巩固提升.docx
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数学人教A必修332第2课时应用案巩固提升
[A 基础达标]
1.某公司招收男职员x名,女职员y名,x和y需满足约束条件则z=10x+10y的最大值是( )
A.80 B.85
C.90D.95
解析:
选C.该不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影中的整点部分.
由于x,y∈N*,计算区域内与最近的点为(5,4),故当x=5,y=4时,z取得最大值为90.
2.某人上午7:
00乘汽车以v1千米/时(30≤v1≤100)匀速从A地出发到距离300km的B地,在B地不停留,然后骑摩托车以v2千米/时(4≤v2≤20)匀速从B地出发到距离50km的C地,计划在当天16:
00至21:
00到达C地,设乘汽车、骑摩托车行驶的时间分别是x,y小时,则在xOy坐标系中,满足上述条件的x,y的范围阴影部分如图表示正确的是( )
解析:
选B.由题可得,v1=,v2=.
所以即
作图可知选项B正确.
3.车间有男工25人,女工20人,要组织甲、乙两种工作小组,甲组要求有5名男工,3名女工,乙组要求有4名男工,5名女工,并且要求甲种组数不少于乙种组数,乙种组数不少于1组,则要使组成的组数最多,甲、乙各能组成的组数为( )
A.甲4组、乙2组
B.甲2组、乙4组
C.甲、乙各3组
D.甲3组、乙2组
解析:
选D.设甲种x组,乙种y组.
则
总的组数z=x+y,作出该不等式组表示的平面区域如图中阴影中整点部分,寻找整点分析,x=3,y=2时,为最优解.
4.某旅行社租用A,B两种型号的客车安排900名客人旅行,A,B两种车辆的载客量分别为36人和60人,租金分别为1600元/辆和2400元/辆,旅行社要求租车总数不超过21辆,且B型车不多于A型车7辆,则租金最少为( )
A.31200元B.36000元
C.36800元D.38400元
解析:
选C.设租用A型车x辆,B型车y辆,目标函数为z=1600x+2400y,则约束条件为
作出可行域,如图中阴影部分所示,可知目标函数过点(5,12)时,有最小值zmin=36800(元).
5.配制A,B两种药剂都需要甲、乙两种原料,用料要求如下表所示(单位:
千克):
原料
药剂
甲
乙
A
2
5
B
5
4
药剂A,B至少各配一剂,且药剂A,B每剂售价分别为100元、200元.现有原料甲20kg,原料乙25kg,那么可以获得的最大销售额为( )
A.600元B.700元
C.800元D.900元
解析:
选C.设可配药剂A,B分别为x剂、y剂,获得的销售额为z元,有z=100x+200y,两直线2x+5y=20与5x+4y=25的交点为(,),取该点附近的整点(2,2),(2,3),(3,2),代入检验可知当直线过点(2,3)时,z取得最大值,为800.
6.铁矿石A和B的含铁率为a,冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表:
a
b(万吨)
c(百万元)
A
50%
1
3
B
70%
0.5
6
某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁,若要求CO2的排放量不超过2(万吨),则购买铁矿石的最少费用为________百万元.
解析:
设购买铁矿石A、B分别为x、y万吨,购买铁矿石的费用为z(百万元),
则
目标函数z=3x+6y,
由
得记P(1,2),
画出可行域,如图所示.当目标函数z=3x+6y过点P(1,2)时,z取到最小值,且最小值为zmin=3×1+6×2=15.
答案:
15
7.每千克甲、乙、丙三种食物中的维生素A、维生素D的含量及成本如下表:
甲
乙
丙
维生素A(单位/千克)
0.06
0.07
0.04
维生素D(单位/千克)
0.08
0.04
0.05
成本(元/千克)
11
9
4
某食物营养研究所想把甲、乙、丙三种食物配成10千克的混合食物,并使混合食物中至少含有0.56千克维生素A和0.63千克维生素D,则成本最低为________元.
解析:
设配成10千克的混合食物分别用甲、乙、丙三种食物x千克、y千克、z千克,混合食物的成本为p元,则z=10-x-y,p=11x+9y+4z=11x+9y+4×(10-x-y)=7x+5y+40,
由题意可得
即该二元一次不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,则由图可知,当直线p=7x+5y+40经过点A时,它在y轴上的截距最小,即p最小,解方程组得故点A的坐标为(5,2),
所以pmin=7×5+5×2+40=85.
答案:
85
8.小明准备用积攒的300元零用钱买一些科普书和文具,作为礼品送给山区的学生.已知科普书每本6元,文具每套10元,并且买的文具的数量不少于科普书的数量.那么最多可以买的科普书与文具的总数是________.
解析:
设小明买科普书x本,文具y套,总数为z=x+y.
由题意可得约束条件为
作出可行域如图中阴影部分整点所示,将z=x+y化为y=-x+z,作出直线y=-x并平移,使之经过可行域,易知经过点A时,纵截距最大,但因x,y均属于正整数,故取得最大值时的最优解应为(18,19),此时z最大为37.
答案:
37
9.A,B两仓库各有麻袋50万个、30万个,现需调运到甲地40万个,乙地20万个,已知从A仓库调运到甲、乙两地的运费分别为120元/万个,180元/万个,从B仓库调运到甲、乙两地的运费分别为100元/万个,150元/万个,怎样安排调运,能使总运费最少?
最少总运费为多少?
解:
设从A仓库调运x万个到甲地,y万个到乙地,则从B仓库调40-x万个到甲地,20-y万个到乙地,总运费记为z元,则有
z=120x+180y+100(40-x)+150(20-y),
即z=20x+30y+7000,作出可行域及直线l0:
20x+30y=0,经平移知直线经过可行域上点M(30,0)时与原点距离最小,即x=30,y=0时,z有最小值,zmin=20×30+30×0+7000=7600(元),即从A仓库调运30万个到甲地,从B仓库调运10万个到甲地,20万个到乙地总运费最小,其最小值为7600元.
10.某赛事组委会要为获奖者定做某工艺品作为奖品,其中一等奖奖品3件,二等奖奖品6件,制作一等奖和二等奖奖品所用原料完全相同,但工艺不同,故价格有所差异.现有甲、乙两家工厂可以制作奖品(一等奖、二等奖奖品均符合要求),甲厂收费便宜,但原料有限,最多只能制作4件奖品,乙厂原料充足,但收费较贵,其具体收费情况如表:
奖品
收费(元/件)
工厂
一等奖奖品
二等奖奖品
甲
500
400
乙
800
600
求组委会定做该工艺品至少需要花费多少元钱.
解:
设甲工厂制作一等奖奖品x件,
二等奖奖品y件,总费用为z元,那么:
目标函数为z=500x+400y+800(3-x)+600(6-y)=-300x-200y+6000.
作出可行域如图中阴影部分的整点所示,
联立方程组解得
即B(3,1).
所以zmin=-300×3-200×1+6000=4900.
即组委会定做该工艺品至少需要花费4900元钱.
[B 能力提升]
11.某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过50亩,投入资金不超过54万元,假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表所示.
年产量/亩
年种植成本/亩
每吨售价
黄瓜
4吨
1.2万元
0.55万元
韭菜
6吨
0.9万元
0.3万元
为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入-总种植成本)最大,那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位:
亩)分别为( )
A.50,0B.30,20
C.20,30D.0,50
解析:
选B.设黄瓜的种植面积为x亩,韭菜的种植面积为y亩,则由题意知其满足的条件为化简得目标函数z=0.55×4x+0.3×6y-1.2x-0.9y
=x+0.9y.
由图可知当直线经过点B时,目标函数z=x+0.9y取得最大值.
由解得
故B(30,20).
12.某运输公司接受了向地震灾区每天至少运送180吨支援物资的任务,该公司有8辆载重为6吨的A型卡车和4辆载重为10吨的B型卡车,有10名驾驶员,每辆卡车每天往返的次数为A型卡车4次,B型卡车3次,每辆卡车每天往返的成本费用为A型卡车为320元,B型卡车为504元.每天调配A型卡车________辆,B型卡车________辆,可使公司所花的成本费用最低.
解析:
设每天调出A型卡车x辆,B型卡车y辆,公司所花的成本为z元,
依题意有
目标函数z=320x+504y(其中x,y∈N).
作出上述不等式组所确定的平面区域如图所示阴影中的整点部分,即可行域.
由图易知,直线z=320x+504y在可行域内经过的整数点中,点(8,0)使z=320x+504y取得最小值,
zmin=320×8+504×0=2560(元).
答案:
8 0
13.某车间小组共12人,需配给两种型号的机器,一台A型机器需要2人操作,每天耗电30千瓦时,能生产出价值4万元的产品;一台B型机器需要3人操作,每天耗电20千瓦时,能生产出价值3万元的产品.现每天供应车间的电量不多于130千瓦时,问:
该车间小组应如何配置两种型号的机器,才能使每天的产值最大?
最大值是多少?
解:
设需分配给车间小组A型,B型两种机器分别为x台,y台,每天产值为z万元,则z=4x+3y,
即
作出可行域如图阴影部分所示:
由得A(3,2),
所以zmax=4×3+3×2=18.
因此,当配给车间小组A型机器3台,B型机器2台时,每天能得到最大产值18万元.
14.(选做题)某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个,生产一个卫兵需5分钟,生产一个骑兵需7分钟,生产一个伞兵需4分钟,已知总生产时间不超过10小时.若生产一个卫兵可获利润5元,生产一个骑兵可获利润6元,生产一个伞兵可获利润3元.
(1)试用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润w(元);
(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大?
最大利润是多少?
解:
(1)依题意知每天生产的伞兵个数为100-x-y,
所以w=5x+6y+3(100-x-y)=2x+3y+300.
(2)约束条件为
整理得
目标函数为w=2x+3y+300.
作出可行域如图所示,
当目标函数线经过点A时,w有最大值.
由得
即最优解为A(50,50),所以wmax=550.
所以每天生产卫兵50个,骑兵50个,伞兵0个时利润最大,最大利润为550元.
不等式的性质、一元二次不等式及简单的
线性规划问题(强化练)
一、选择题
1.函数y=的定义域为( )
A.[-7,1] B.(-7,1)
C.(-∞,-7]∪[1,+∞)D.(-∞,-7)∪(1,+∞)
解析:
选B.由7-6x-x2>0,得x2+6x-7<0,即(x+7)(x-1)<0,所以-7 2.下列各点中,与点(1,2)位于直线x+y-1=0的同一侧的是( ) A.(0,0)B.(-1,3) C.(-1,1)D.(2,-3) 解析: 选B.因为1+2-1>0,所以所选的点需满足x+y-1>0,只有B项符合,故选B. 3.若不等式ax2+5x-2>0的解集是,则a的值为( ) A.- B.2 C.-2 D. 解析: 选C.由题意知a<0,且得a=-2. 4.如图阴影部分用二元一次不等式组表示为( ) A.B. C.D. 解析: 选B.由题图易知平面区域在直线2x-y=0的右下方,在直线x+y=3的左下方,在直线y=1的上方,故选B. 5.若a<0,则关于x的不等式a(x+1)(x+)<0的解集为( ) A. B. C.∪(-1,+∞) D.(-∞,-1)∪ 解析: 选D.因为a<0,所以原不等式等价于(x+1)·>0,方程(x+1)=0的两根为-1,-,显然->0>-1,所以原不等式的解集为(-∞,-1)∪. 6.有以下结论: ①a>b⇒ac2>bc2;②a>b⇒<;③a>b>0,c>d>0⇒>;④a>b>1,c<0⇒ac A.1B.2 C.3D.4 解析: 选B.当c=0时,①错误.当a>0>b时,②错误.根据不等式的性质知③正确.根据幂函数的单调性可知④正确.故正确结论的个数为2.故选B. 7.在平面直角坐标系内,不等式组表示的平面区域的面积为( ) A.B. C.D.4 解析: 选B.不等式组围成的平面区域为一个三角形区域(如图中阴影部分所示),解相应的方程组,求得A(2,3),B,C(0,-1),直线y=x+1与y轴的交点为(0,1),于是△ABC的面积S=×2×2+×2×=2+=,故选B. 8.若1<α<3,-4<β<2,则α-|β|的取值范围是( ) A.(-3,0)B.(-3,3) C.(0,3)D.(-3,5) 解析: 选B.因为-4<β<2,所以-4<-|β|≤0,-3<α-|β|<3.故选B. 9.点P(2,t)在不等式组表示的平面区域内,则点P到直线3x+4y+10=0的距离的最大值为( ) A.2B.4 C.6D.8 解析: 选B.画出不等式组表示的平面区域(如图中阴影部分所示),结合图形可知,当点P位于点A处时,点P到直线3x+4y+10=0的距离最大.由得点A的坐标为(2,1),故所求的距离的最大值为=4.故选B. 10.已知a>0,x,y满足约束条件若z=2x+y的最小值为1,则a=( ) A.B. C.1D.2 解析: 选B.因为直线y=a(x-3)过定点(3,0),作出不等式组表示的平面区域,即可行域(如图阴影部分所示). 解方程组得 即B(1,-2a), 由目标函数z=2x+y,得y=-2x+z, 作出直线y=-2x,可知直线平移经过点B时,z取得最小值,zmin=2×1-2a, 即2×1-2a=1,解得a=,故选B. 二、填空题 11.已知|a|<1,则与1-a的大小关系为________. 解析: 由|a|<1,得-10, 1-a>0.即=,因为0<1-a2≤1, 所以≥1,所以≥1-a. 答案: ≥1-a 12.平面直角坐标系中,不等式组表示的平面区域的形状是________. 解析: 画出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示,由图易知平面区域为等腰直角三角形. 答案: 等腰直角三角形 13.在R上定义运算⊗: x⊗y=x(1-y).若不等式(x-a)⊗(x+a)<1对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围是____________. 解析: (x-a)⊗(x+a)<1转化为(x-a)(1-x-a)<1, 所以x2-x+(1-a2+a)>0恒成立, 所以Δ=1-4(1-a2+a)<0,
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