3微分中值定理与导数的应用习题.docx
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3微分中值定理与导数的应用习题
第三章微分中值定理与导数的应用
1•函数y=x2-1在L1,1】上满足罗尔定理条件的匕=
2、若f(x)=x3在1,2】上满足拉格朗日中值定理,则在(1,2)内存在的匕=
3.f(x)=x2+x-1在区间L1,1】上满足拉格朗日中值定理的中值匕=
4•函数y=In(X+1诳区间0,1】上满足拉格朗日中值定理的匕=
5•验证罗尔定理对函数y=1nsinX在区间律—1上的正确性。
T6」
6.验证拉格朗日中值定理对函数y=4x'—5x2+x-2在区间0,1】上的正确性。
7.对函数f(x)=sinx及F(x)=x+cosx在区间〔0,—1上验证柯西中值定理的正确性。
L2」
&试证明对函数y=px2+qx+r应用拉格朗日中值定理时的求得的点总是位于区间的正中间。
9.
⑵当XA1时,ex;>e.X
证明下列不得等式:
⑴arctanx-arctany ⑶当a汕>«¥<"¥ 10.用洛必达法则求下列极限: X_x ⑵lime~e TsinX InR+丄]⑷li%__¥ —鈕1 arctan— x ⑸1xm1x 1 .1-x 1 ⑹lim(cotX-一)Tx (7)lim(cosX) ⑻jim^x"(Jx2+1-X) sinX—xcosx 2~; xsinx (11)lim(1 -x)tan便' (2丿 (12) tanx 11. 确定下列函数的单调区间。 ⑷y=1n(x+J1+x2 12. 求下列函数图形的拐点及凹凸区间: =(x+1y+ex ⑷y=In(x2+1) 13.禾U用函数的单调性证明下列不等式: ⑴当 1, x>0时,1+—x》u1+x 2 ⑵当 x>0时,1+xln(x+j1+x2)>J1+x2 ⑶当 兀13 0cx£—时,tanx〉x+-x 23 14.列表讨论下列函数的单调区间,凹性区间,极值点与拐点。 15.求a,b为何值时,点(1,3为曲线y=ax3+bx2的拐点? 16.求下列函数的极值: ⑴y=x-In(1+x) ⑷y=X+tanx 17.求下列函数的最大值,最小值。 =2x3-3x2,—1 42 =X-8x+2,-1 =x+-x,-5 使截面的周长最小。 20•—炮艇停泊在距海岸9公里处,派人送信给设在海岸线上距该艇W34公里的司令部, 若派人步行速率为5公里/小时,划船速率为4公里/小时,问他在何处上岸到达司令部的时间最短。 21.将长L为的铁丝分成两段,一段绕成一个圆形,另一段绕成一个正方形,要使两者面积之和最小,应如何分法。 22.用围墙围成面积为216平方米的一块矩形土地,并在长向正中用一堵墙将其隔成两块,问这块地的长和宽选取多大尺寸,才能使所用建材最省? 23.求抛物线y=x2-4x+3在其顶点处的曲率及曲率半径。 (B) 1.若函数f(X)在(a,b)内具有二阶导数,且f(Xi)=f(X2)=f(X3),其中 avxiCX2■ 在(xi,X3内至少有一点匚,使得f''(匚)=0 3. 1 x>0 ,在X=0处的连续性。 x<0 设f(x)g(x)在a,b】上连续,在(a,b)内可导,证明(a,b)在内有一点匚,使 确定函数的单调区间。 ⑶当 tanx2x2 2tanx1x1 11.利用函数的凹凸性,证明下列不等式: ⑴尹+yn )>〔MP〕(X〉0,y>0,X工y,n>1)I2丿' X,y ⑵e_^e_ 2 x4y >e^(xHy) X+y ⑶xlnX+ylnyA(x+yjn' 2(XA0,yaO,xHy) 1. 设f(X)<0,f(0)=0,证明对任何Xi>0,X2>0有 f(Xi+X2) 2. 设函数f(x)在x=0的某领域内具有一阶连续导数。 且f(0)H0,f'(0)H0,若 af(h)+bf(2h)-f(0在hT0时是比h高阶的无穷小,试确定a,b的值。 3. 证明: 当xaO时,(X2—1)nx>(x—1;2 4. 设f(X在0,1]上具有二阶导数,且满足条件If(Xha,|f''(X) 常数,c是(0,1内任意一点。 证明f'(cb兰2a I 5. 2 利用泰勒公式求极限X3+3x2-Vx4-2x3 6. 设f“(xo存在,证明lim心0竹心勺7)一2心01f“(xo) h—JO-2 h2 7.设函数f(x诳a,bI上连续,在(a,b)内可导,且f'(x)H0,试证存在匚n<^(a,b), &假设函数f(X)和g(x)在a,b]上存在二阶导数,并且 g(X)工0,f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0试证: ⑴在(a,b)内g(x)H0 ■''■ ⑵在(a,b)内至少存在一点匚,使竺-) g(匚)g(匚) 第三章微分中值定理和导数的应用 习题答案 (A) 1、0 2、 J 17 3、 0 4.1-1 V 3 ln2 10、1) 1 2) 2 3) COSa 4)1 1 1 5) 6) 0 7) 1 8)- e 2 9) 1 10) 1 11) 2 12)e 3 兀 1) 11、 在(二,-1],[3,母)内单调递增,在[-1,3]内单调递减。 在(0,2]内单调递减,在[2,+^)内单调递增。 在(=,0),(0,2],[1,址)内单调递减,在【2,1]内单调递增。 在严,r内单调递增。 52055 12、1)拐点(一,—),在(-^,—]内凸,在[―,*^)内凹。 32733 2 2)拐点(2,—),在(虫,2]内凸,在[2,亦)内凹。 e 3)没有拐点,处处是凹的。 4)拐点(—1,ln2),(1,1n2),在(虫,—1],[1,畑)内凸,在[—1,1]上是凹。 15、 16、k=±亚 8 17、 1) 极小值 y(0)=0, 3) 极大值 y(e)=ee 4)没有极值 18 1) 最大值 y(4)=80,最小值y(—1)=—5 2) 最大值 y(3)=11,最小值y (2)=-14 3) 最大值 3 y(-)=1.25,最小值y(-5)=-5+76 4 19、 ,侯^2底dh"1 2兀 40米 20、底宽. V4+兀 21、 X=3 22、一段为——作圆,一—作正方形 1+兀1+;! 23、 长为18米,宽为12米 25、K=2,P=0.5 2、 3、 4、 5、 6、 (B) 先分别在[X"X2],[X2,X3]上用罗尔定理有f'(匕1)=of(©2)=0, 数f(X)用罗尔定理,得证。 先用零点定理证明在[0,1]上存在正根,再用罗尔定理证明唯一性。 设函数F(X)- f(a)f(X) g(a)g(x) ,在[a,b]上拉格朗日中值定理。 由拉格朗日中值定理,原式二厚n»a=ka 即是要证明丄d=1,设F(x)=丄単,由已知易得F'(X)=0, 已知 f(0)=1,即可证明。 (1+x)x ,Mlny 续。 再在[匕1芒2]上对函 则F(X)=C,再用 1 -,•••(X)=f(0)=e2,二x=0处连 1_nx ,贝ylimlny=ln(a1a^-an),二原式=a1a<-an。 x_3pc 8、 1)定义域为[0,母),得驻点 Xj: =0,X2: =n,易讨论在[0,n]单调递增,在[n,*^)单 调递减。 2a 2)可用对数法求导,解得驻点x^-a,和不可导点x2=a,x^-,再分区间讨论。 3 2 2)y"=144x2lnx(x: >0),令y"=0得X1=0(舍去),X2=1,再分区间讨论, 10、1)令f(x)=sinx+tanx-2x, f(x)=cos+secX-2,f"(x)〉0,x亡(0,? ), /.f(x)单调递增,二f'(X)A「(0)=0,f(X)单调递增,即可得证。 x2 2)寫2>0,x>0两边取对数,改证: xln2>2lnx,令f(x)=xln2—2lnx,又 f(4)=0,禾U用单调性即可得证。 3)令f(X)=3^仝,禾U用单调性即可证明。 X 11、1)令f(t)=tu,t<^(0,邑)f"(t)>0,二凹。 即可证明 2)令f(t^et 3)令f(t)=tlnt(t>0) 12、可解得驻点为x^-,因此需讨论x=-与X=0两点,极大值e 1 f(0)=2,极小值f (一)e y_2X1 13、方程两边对X求导,得y=一匸.分成y=2x,y=—x两种情况代 2y-X2 入椭圆方程讨论,纵坐标最大点为(1,2),最小点为(-1,—2卜 14、令f(X)=X/X,(xa0),用增、减性讨论得V3是{跖斤}的最大项。 1证明: 不妨设0cX1 f(X1)-f(0)=Xif'(©)(0c©CX1) f(X1+X2)—f(X2)=X1f(匚2)(X2C匚2吒X1+X2) 丁匚1<匚2,又f(X)<0f(X>单减,故f(匚2)Vf(匚1) 丁Xia0,f(xi+X2)—f(X2)cf(xi)—f(0) 再由f(0)=0证毕。 2、解: 由题意iimaf(h)+bf(2hI(0L0ih 则limaf(h)+bf(2h)—f(09=(a+b—1)f(0)=0 即a+b=1又对⑴式用洛必塔法则 limaf'(h)+2bf'(2h)+2b)f'(0)=0 hT‘*人* 二a+2b=0则a=2,b=-1 x_1 3、证明: 令W(x)=lnx-,有 X+1 ®'(x)=! ——=X十1>0(当X>0) X(x+1yx(x+1y 所以W(X单增,又: W (1)=0 「•当Ocxcl时,,当1 于是当XA0时,(X2-1y(x)=(x2—1InX—(X—1Y>0,证毕 4、证明: 将f(X在X=C处展为一阶泰勒展式: f(X)=f(c)+f'(cIx—C)+fe【X-C) 2! f(0)=f(c)+f'(ci(0—c)+fn0~C' 2! ''”2f(J11-C)f (1)=f(c)+f(CH—c)+'小, 2! 两式相减得: f (1)—f(0)=f'(c)+l〔f"G2Il-cf—f"(qc2 •••f'(ci=f (1)—f(0)—- If'Gii—c)2—f''Gic2 f伯f(o吩fy 2 —c)+f a+a+-(1-打+C2Sa+b 22 5、解: 令xJ,则原式飞+心一心 二1-3 令g(t)=3/1+3t-红1-2t,g'(t)=(1+3t0+-(1-2tF 由泰勒公式g(t)=g(0)+g'(0)+o(t) 2h 6、证明: 左边=limf'(X0+h)-f'(X0-h)T 2h f(X0+h)—f(X0)+f(X0)—f(X0—h)=limhT ^Lmf'^+hlg'iimf'(X0)-f'(X0-h)[ 2[h-0hT 屮S+f'g丄f"(x0)证毕 7、证明: 设g(x)=eX,易知f(x)和g(x)在R,b】上满足柯西中值定理条件 又由拉格朗日中值定理,存在匚壬(a,b) 使f(b)_f(a)=f'Ge-a)3匚,n迂(a,b) 使山=丄"f卩)b-a 8、证明: ⑴用反证法,若存在点C巳a,b),使g(c)=0,则对g(x)在la,c]和k,b]上 分别用罗尔定理。 存在J亡(a,c廂匚2亡(c,bX使g(匚1)=g(匚2)=0,再对g(x)在此,匚2]上用罗尔定理,知耳匚3亡(匚1,匚2),使g''(匚3)=0。 与题设矛盾。 ⑵令护(X)=f(Xg'(X)_f'(Xg(x) 易知W(a)=W(b)=0,对W(X在a,b上用罗尔定理 即得fGb"G)—f"GgG)=0
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- 微分 中值 定理 导数 应用 习题