有关立体几何动态问题翻折问题.docx
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有关立体几何动态问题翻折问题
立体几何的动向问题之二
———翻折问题
立体几何动向问题的基本种类:
点动问题;线动问题;面动问题;体动问题;多动问题等
一、面动问题(翻折问题):
(一)学生用底稿纸演示翻折过程:
(二)翻折问题的一线五结论
一线:
垂直于折痕的线即
DFAE.
五结论:
1)折线同侧的几何量和地点关系保持不变;
折线双侧的几何量和地点关系发生改变;
2)DHF是二面角D-H-F的平面角;
3)D在底面上的投影必定射线DF上;
4)点D'的轨迹是以H为圆心,DH'为半径的圆;
5)面AD'E绕AE翻折形成两个同底的圆锥.
二、翻折问题题目体现:
(一)翻折过程中的范围与最值问题
1、(2016年联考试题)平面四边形ABCD中,AD=AB=2,CD=CB=5,且ADAB,
现将△ABD沿对角线BD翻折成A'BD,则在A'BD折起至转到平面BCD的过程中,
直线A'C与平面BCD所成最大角的正切值为_______.
D
A
D
A
C
E
B
C
B
解:
由题意知点A运动的轨迹是以E为圆心,EA为半径的圆,当点A
A
运动到与圆相切的时候所称的角最大,因此
3
tanA'CB。
3
EC
【设计企图】增强对一线、五结论的应用,要点对学生简单犯
的错误
1
2
进行剖析,找犯错误的原由。
2、2015年10月浙江省学业水平考试18).如图,在菱形ABCD中,∠BAD=60°,线段AD,
BD的中点分别为E,F。
现将△ABD沿对角线BD翻折,则异面直线BE与CF所成角的取
值范围是
A.(,)
63
B.(,]
62
C.(,]
32
D.(,2)
33
A
E
剖析:
这是一道特别经典的学考试题,此题的解法特别多,很好的考察
H
D
了空间立体几何线线角的求法。
方法一:
特别值法(可过F作FH平行BE,找两个极端情况)
F方法二:
定义法:
利用余弦定理:
C
cos
222
FHFCCH54
FHCCH
2FHFC43
2
,有
321
CH
44
B
11
cos,
CFH异面直线BE与CF所成角的取值范围是(,]
32
22
方法三:
向量基底法:
111
BEFC(BABD)FCBAFC(BFFA)FC
222
111
cosBE,FCcosFC,FA,
222
方法四:
建系:
3、(2015年浙江·理8)如图,已知ABC,D是AB的中点,沿直线CD将ACD折成
ACD,所成二面角ACDB的平面角为,则(B)
A.ADBB.ADBC.ACBD.ACB
方法一:
特别值
方法二:
定义法作出二面角,在进行比较。
方法三:
抓住问题的实质,借助圆锥利用几何解题。
4、(14年1月浙江省学业学考试题)如图在Rt△ABC中,AC=1,BC
=x,D是斜边AB的中点,将△BCD沿直线CD翻折,若在翻折过程
中存在某个地点,使得CB⊥AD,则x的取值范围是(A)
A.(0,3]B.
2
,2C.(3,23]D.(2,4]
2
方法一:
利用特别确立极端值
方法二:
在DAB中利用余弦定理转变为BDA的函数求解。
方法三:
取BC的中点E,连结EA,ED在DEA中利用两边之和大于第三边求解。
(二)翻折以后的求值问题
5、(2016届丽水一模13)已知正方形ABCD,E是边AB的中点,将△ADE沿DE折起
至ADE,如下图,若ACD为正三角形,则ED与平面ADC所成角的余弦值是
25
5
6、(2016届温州一模8)如图,在矩形ABCD中,
AB2,AD4,点E在线段AD上且AE3,现分别沿BE,CE将ABE,DCE翻折,
使得点D落在线段AE上,则此时二面角DECB的余弦值为(D)
A.
4
5
B.
5
6
C.
6
7
D.
7
8
AED
A
D
E
BC
C
B
三、课后练习
1、(2012年浙江10)已知矩形ABCD,AB=1,BC=2。
将ABD沿矩形的对角线BD所
在的直线进行翻折,在翻折过程中(B)
A.存在某个地点,使得直线AC与直线BD垂直.
B.存在某个地点,使得直线AB与直线CD垂直.
C.存在某个地点,使得直线AD与直线BC垂直.
D.对随意地点,三对直线“AC与BD”,“AB与CD”,“AD与BC”均不垂直
ADA'
D
BCB
C
2(2009年浙江17)如图,在长方形ABCD中,AB=2,BC=1,E为DC的中点,F为线段EC(端
点除外)上一动点,现将AFD沿AF折起,使平面ABD⊥平面ABC,在平面ABD内过点D作DK
⊥AB,K为垂足,设AK=t,则t的取值范围是__
1
(,1)_____.
2
3、(16年浙江六校联考)如图,在边长为2的正方形ABCD中,E为正方形边上的动点,
D
现将△ADE所在平面沿AE折起,使点D在平面ABC上的射
E
C
影H在直线AE上,当E从点D运动到C,再从C运动到B,
则点H所形成轨迹的长度为______.
AB4、(2010年浙江19改编)如图,在矩形ABCD中,点E,F分别在
2
线段AB,AD上,AEEBAFFD4.沿直线EF将AEF翻
3
折成A'EF,使平面A'EF平面BEF.点M,N分别在线段FD,BC
上,若沿直线MN将四边形MNCD向上翻折,使C与A'重合,则线
段FM的长为________
M
F
A
A'
E
N
B
DC
5、(16届金华十校一模17)如图,在矩形ABCD中,已知AB=2,AD=4,
点E、F分别在AD、BC上,且AE=1,BF=3,将四边形AEFB沿EF折起,使点B在平面
CDEF上的射影H在直线DE上.
(Ⅰ)求证:
CD⊥BE;
(Ⅱ)求线段BH的长度;
(Ⅲ)求直线AF与平面EFCD所成角的正弦值.
B
EA
AD
D
E
H
B
FC
FC
17.解:
(1)因为BH平面CDEF,∴BHCD,又因为CDDE,BHDEH,
∴CD平面DBE,∴CDBE.
法一:
(2)设BHh,EHk,过F作FG垂直ED于点G,因为线段BE,BF在
翻折过程中长度不变,依据勾股定理:
BE
2
2
FH
BH
2
2
BH
EH
2
2
FG
22
GH9
5
2
2
2
h
2
h
2
k
(2
k
2
)
,可解得
h
k
2
1
,
2
BFBH
∴线段BH的长度为2.
(2)延伸BA交EF于点M,因为AE:
BFMA:
MB1:
3,∴点A到平面EFCD的
距离为点B到平面EFCD距离的
1
3
,∴点A到平面EFCD的距离为
2
3
,而AF13,直
线AF与平面EFCD所成角的正弦值为
2
13
39
.
法二:
(2)如图,过点E作ER∥DC,过点E作ES平面EFCD,分别以ER、ED、
ES为x、y、z轴成立空间直角坐标系,设点B(0,y,z)(y0,z0),
因为F(2,2,0),BE5,BF3,
∴
4(
2
y
y
2
z
2
2)
5,
2
z
9
解得
y
z
1,
2,
于是B(0,1,2),因此线段BH的长度为2.
1212872
(3)进而FB(2,1,2),故)
EAFB(,,,FAFEEA(,,),
3333333
设平面EFCD的一个法向量为n(0,0,1),设直线AF与平面EFCD所成角的大小为,
sin
FA
FA
n
n
2
13
39
则.
立体几何的动向问题之三
———最值、范围问题
1、(2006年浙江·理14)正四周体ABCD的棱长为1,棱AB∥平
面α,则正四周体上的全部点在平面α内的射影组成的图形面积的
取值范围是.
2、(2008年浙江·理10)如图,AB是平面a的斜线段,A为斜足,
若点P在平面a内运动使得△ABP的面积为定值,则动点P的轨迹是
()
B
(A)圆(B)椭圆(C)一条直线(D)两条平行直线
A
P
3、(15届高考模拟卷·文)如图,已知球O是棱长为1的正方体
DC
ABCDABCD的内切球,则平面ACD1截球O的截面面积为
1111
AB
·
O4、(2014年金华高二十校联考·文10)圆柱的轴截面ABCD是边长为2的
C
D
正方形,M为正方形ABCD对角线的交点,动点P在圆柱下底面内(包含圆
周),若直线BM与直线MP所成角为45°,则点P形成的轨迹为()
AB
D
C
A.椭圆的一部分B.抛物线的一部分
MC.双曲线的一部分D.圆的一部分
5(2014·浙江卷理科17)某人在垂直于水平川面ABC的墙眼前的点A处进行射
击训练.已知点A到墙面的距离为AB,某目标点P沿墙面上的射线CM挪动,
这人为了正确对准目标点,需计算由点察看点的仰角θ的大小.若=PAPAB
A
P
B
15m,AC=25m,∠BCM=30°,则tanθ的最大值是________.(仰角θ为直线AP与平面
ABC所成角)
6(2015·浙江卷8)如图11-10,斜线段AB与平面α所成的角为60°,
B为斜足,平面α上的动点P知足∠PAB=30°,则点P的轨迹是()
A.直线B.抛物线C.椭圆D.双曲线的一支
式题
(1)如图,平面α的斜线AB交α于B点,且与α所成的角为θ,
平面α内有一动点C知足∠BAC=
π
,若动点C的轨迹为椭圆,则θ的
6
取值范围为________.
(2)在正四周体ABCD中,M是AB的中点,N是棱CD上的一个动点,若直线MN与BD
所成的角为α,则cosα的取值范围是________.
7、(2014年7月浙江学考第25题)在棱长为1的正方体
ABCD-ABCD中,E、F分别是棱
1111
AD、CD的中
1111
点,N为线段
BC的中点,若P、M分别为D1B、EF的动
1
点,则PM+PN的最小值为
8、(16届嘉兴一模·文15)边长为1的正方体
ABCDA1BCD将其对角线AC1与平面垂直,则正方体ABCDA1B1C1D1在平面
111
上的投影面积为.
9、(16届高考模拟卷·理)正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1,底面ABCD的对角线BD
在平面α内,则正方体在平面α内的投影组成的图形面积的取值范围
是.
10、(16届高考模拟卷·理)将一个棱长为a的正方体嵌入到四个半径
为1且两两相切的实心小球所形成的球间缝隙内,使得正方体可以随意自由地转动,则a
的最大值为()
A.
2
26
6
236232232
B.C.D.
633
2
3
11、(16届宁波一模·理14)在ABC中,BAC10,ACB30,将直线BC绕AC
旋转获得
BC,直线AC绕AB旋转获得AC1,则在全部旋转过程中,直线B1C与直线AC1
1
所成角的取值范围为____.
12、(16届金华十校一模·理14)在四周体ABCD中,已知AD⊥BC,AD=6,BC=2,且
ABAC
==2
BDCD
,则V
四周体ABCD的最大值为
A.6B.211C.215D.8
13、(15年上海高考题改编)在四周体ABCD中,已知ADBC,AD6,BC2,
AB,则VABCD
BDACCDt(t7,)四周体最大值的取值范围是
A.27,B.3,C.22,D.2,
【答案】B.
【分析】
试题剖析:
设ADC,设AB2,则由题意ADBD1,在空间图形中,设ABt,
在ACB中,
cosADB
2221212222
ADDBABtt
2ADDB2112
,
在空间图形中,过A作ANDC,过B作BMDC,垂足分别为N,M,
过N作NP//MB,连结AP,∴NPDC,
则ANP就是二面角ACDB的平面角,∴ANP,
在RtAND中,DNADcosADCcos,ANADsinADCsin,
同理,BMPNsin,DMcos,故BPMN2cos,
明显BP面ANP,故BPAP,
在RtABP中,
2222(2cos)224cos2
APABBPtt,
在ANP中,
coscosANP
222
ANNPAP
2ANNP
2222
sinsin(t4cos)
2sinsin
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