三角形全等教案.docx
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三角形全等教案
§11.1全等三角形
教学目标
1.知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素;
2.知道全等三角形的性质,能用符号正确地表示两个三角形全等;
3.能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边.
教学重点
全等三角形的性质.
教学难点
找全等三角形的对应边、对应角.
教学过程
Ⅰ.提出问题,创设情境
1.观察下列图案,指出这些图案中中形状与大小相同的图形
2.学生自己动手(同桌两名同学配合)
取一张纸,将自己事先准备好的三角板按在纸上,画下图形,照图形裁下来,纸样与三角板、完全一样.
3.获取概念
形状与大小都完全相同的两个图形就是.(要是把两个图形放在一起,能够完全重合,就可以说明这两个图形的形状、大小相同.)
即:
全等形的准确定义:
能够完全重合的两个图形叫做全等形.
推得出全等三角形的概念:
对应顶点:
、
对应角:
、
对应边:
。
“全等”符号:
读作“全等于”
Ⅱ.导入新课
将△ABC沿直线BC平移得△DEF;将△ABC沿BC翻折180°得到△DBC;将△ABC旋转180°得△AED.
议一议:
各图中的两个三角形全等吗?
不难得出:
≌△DEF,△ABC≌,△ABC≌.
(注意强调书写时对应顶点字母写在对应的位置上)
启示:
一个图形经过平移、翻折、旋转后,位置变化了,但、都没有改变,所以平移、翻折、旋转前后的图形 ,这也是我们通过运动的方法寻求全等的一种策略.
观察与思考:
寻找甲图中两三角形的对应元素,它们的对应边有什么关系?
对应角呢?
全等三角形的性质:
, 。
[例1]如图,△OCA≌△OBD,C和B,A和D是对应顶点,说出这两个三角形中相等的边和角.
[例2]如图,已知△ABE≌△ACD,∠ADE=∠AED,∠B=∠C,指出其他的对应边和对应角.
(1)全等三角形对应角所对的边是对应边;两个对应角所夹的边也是对应边.
(2)全等三角形对应边所对的角是对应角;两条对应边所夹的角是对应角.
[例3]已知如图△ABC≌△ADE,试找出对应边、对应角.
Ⅲ.课堂练习
(1)下面是两个全等的三角形,按下列图形的位置摆放,指出它们的对应顶点、对应边、对应角
(2)如图,
AB与AC,AD与AE是对应边,已知:
,求
的大小。
§11.2.1三角形全等的条件
(一)
教学目标
1.三角形全等的“边边边”的条件.
2.了解三角形的稳定性.
3.经历探索三角形全等条件的过程,体会利用操作、归纳获得数学结论的过程.
教学重点
三角形全等的条件.
教学难点
寻求三角形全等的条件.
教学过程
Ⅰ.创设情境,引入新课
已知△ABC≌△A′B′C′,找出其中相等的边与角.
图中相等的边是:
.相等的角是:
问题:
你能画一个三角形与它全等吗?
怎样画?
Ⅱ.导入新课
1.只给一个条件(一组对应边相等或一组对应角相等),画出的两个三角形一定全等吗?
2.给出两个条件画三角形时,有几种可能的情况,每种情况下作出的三角形一定全等吗?
分别按下列条件做一做.
①三角形一内角为30°,一条边为3cm.
②三角形两内角分别为30°和50°.
③三角形两条边分别为4cm、6cm.
学生分组讨论、探索、归纳,最后以组为单位出示结果作补充交流.结果展示:
1.只给定一条边时:
只给定一个角时:
2.给出的两个条件:
一边一内角、两内角、两边.
3.给出三个条件画三角形,你能说出有几种可能的情况吗?
归纳:
已知一个三角形的三条边长分别为6cm、8cm、10cm.你能画出这个三角形吗?
把你画的三角形剪下与同伴画的三角形进行比较,它们全等吗?
1.作图方法:
2.以小组为单位,把剪下的三角形重叠在一起,发现
3.要是任意画一个三角形ABC,根据前面作法,同样可以作出一个三角形A′B′C′,使AB=A′B′、AC=A′C′、BC=B′C′.将△A′B′C′剪下,发现两三角形重合.这反映了一个规律:
三边对应相等的两个三角形全等,简写为“边边边”或“SSS”.
判断两个三角形全等的推理过程,叫做证明三角形全等.所以“SSS”是证明三角形全等的一个依据.
[例题]如图,△ABC是一个钢架,AB=AC,AD是连结点A与BC中点D的支架.
求证:
△ABD≌△ACD.([分析]要证明全等,可以看这两个三角形的三条边是否对应相等.)
证明:
因为D是BC的中点
所以BD=DC
在△ABD和△ACD中
所以△ABD≌△ACD(SSS).
生活实践的有关知识:
用三根木条钉成三角形框架,它的大小和形状是固定不变的,而用四根木条钉成的框架,它的形状是可以改变的.三角形的这个性质叫做三角形的稳定性.所以日常生活中常利用三角形做支架.就是利用三角形的稳定性.例如屋顶的人字梁、大桥钢架、索道支架等.
Ⅲ.随堂练习
1.如图,已知AC=FE、BC=DE,点A、D、B、F在一条直线上,AD=FB.要用“边边边”证明△ABC≌△FDE,除了已知中的AC=FE,BC=DE以外,还应该有什么条件?
怎样才能得到这个条件?
3.如图四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC,你能把四边形ABCD分成两个相
互全等的三角形吗?
你有几种方法?
你能证明你的方法吗?
试一试.
Ⅳ.课时小结
本节课我们探索得到了三角形全等的条件,发现了证明三角形全等的一个规律SSS.并利用它可以证明简单的三角形全等问题.
Ⅵ.活动与探索
如图,一个六边形钢架ABCDEF由6条钢管连结而成,为使这一钢架稳固,
请你用三条钢管连接使它不能活动,你能找出几种方法?
§11.2.2三角形全等的条件
(二)
教学目标
1.三角形全等的“边角边”的条件.
2.经历探索三角形全等条件的过程,体会利用操作、归纳获得数学结论的过程.
3.掌握三角形全等的“SAS”条件,了解三角形的稳定性.
4.能运用“SAS”证明简单的三角形全等问题.
教学重点
三角形全等的条件.
教学难点
寻求三角形全等的条件.
教学过程
一、创设情境,复习提问
1.怎样的两个三角形是全等三角形?
2.全等三角形的性质?
3.三角形全等的判定Ⅰ的内容是什么?
二、导入新课
1.如图2,AC、BD相交于O,AO、BO、CO、DO的长度如图所标,△ABO和△CDO是否能完全重合呢?
猜想:
如果两个三角形有两边和它们的夹角对应相等,那么这两个三角形.
2.上述猜想是否正确呢?
不妨按上述条件画图并作如下的实验:
(1)读句画图:
①画∠DAE=45°,②在AD、AE上分别取B、C,使AB=3.1cm,AC=2.8cm.③连结BC,得△ABC.④按上述画法再画一个△A'B'C'.
(2)把△A'B'C'剪下来放到△ABC上,观察△A'B'C'与△ABC是否能够完全重合?
3.边角边公理.
(简称“边角边”或“SAS”)
三、例题与练习
1.填空:
(1)如图3,已知AD∥BC,AD=CB,要用边角边公理证明△ABC≌△CDA,需要三个条件,这三个条件中,已具有两个条件,一是AD=CB(已知),二是___________;还需要一个条件_____________(这个条件可以证得吗?
).
(2)如图4,已知AB=AC,AD=AE,∠1=∠2,要用边角边公理证明△ABD≌ACE,需要满足的三个条件中,已具有两个条件:
_________________________(这个条件可以证得吗?
).
2、例1已知:
AD∥BC,AD=CB(图3).求证:
△ADC≌△CBA.
问题:
如果把图3中的△ADC沿着CA方向平移到△ADF的位置(如图5),那么要证明△ADF≌△CEB,除了AD∥BC、AD=CB的条件外,还需要一个什么条件(AF=CE或AE=CF)?
怎样证明呢?
例2已知:
AB=AC、AD=AE、∠1=∠2(图4).求证:
△ABD≌△ACE.
练习:
1.已知:
如图,AB=AC,F、E分别是AB、AC的中点
求证:
△ABE≌△ACF.
2.已知:
点A、F、E、C在同一条直线上,AF=CE,BE∥DF,BE=DF.
求证:
△ABE≌△CDF.
3.已知:
如图AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE
求证:
△ABD≌△ACE
四、小结:
1.根据边角边公理判定两个三角形全等,要找出两边及夹角对应相等的三个条件.
2.找使结论成立所需条件,要充分利用已知条件(包括给出图形中的隐含条件,如公共边、公共角等),并要善于运用学过的定义、公理、定理.
三角形全等的条件(三)
教学目标
1.三角形全等的条件:
角边角、角角边.
2.三角形全等条件小结.
3.掌握三角形全等的“角边角”“角角边”条件.
4.能运用全等三角形的条件,解决简单的推理证明问题.
教学重点
已知两角一边的三角形全等探究.
教学难点
灵活运用三角形全等条件证明.
教学过程
Ⅰ.提出问题,创设情境
1.复习:
(1)三角形中已知三个元素,包括哪几种情况?
三个角、三个边、两边一角、两角一边.
(2)到目前为止,可以作为判别两三角形全等的方法有几种?
各是什么?
三种:
①定义;②SSS;③SAS.
2.在三角形中,已知三个元素的四种情况中,我们研究了三种,今天我们接着探究已知两角一边是否可以判断两三角形全等呢?
Ⅱ.导入新课
问题1:
三角形中已知两角一边有几种可能?
1.两角和它们的夹边.
2.两角和其中一角的对边.
问题2:
三角形的两个内角分别是60°和80°,它们的夹边为4cm,你能画一个三角形同时满足这些条件吗?
将你画的三角形剪下,与同伴比较,观察它们是不是全等,你能得出什么规律?
将所得三角形重叠在一起,发现完全重合,这说明这些三角形全等.
提炼规律:
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”).
问题3:
我们刚才做的三角形是一个特殊三角形,随意画一个三角形ABC,能不能作一个△A′B′C′,使∠A=∠A′、∠B=∠B′、AB=A′B′呢?
①先用量角器量出∠A与∠B的度数,再用直尺量出AB的边长.
②画线段A′B′,使A′B′=AB.
③分别以A′、B′为顶点,A′B′为一边作∠DA′B′、∠EB′A,使∠D′AB=∠CAB,∠EB′A′=∠CBA.
④射线A′D与B′E交于一点,记为C′
即可得到△A′B′C′.
将△A′B′C′与△ABC重叠,发现两三角形全等.
两角和它们的夹边对应相等的两三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”).
思考:
在一个三角形中两角确定,第三个角一定确定.我们是不是可以不作图,用“ASA”推出“两角和其中一角的对边对应相等的两三角形全等”呢?
探究问题4:
如图,在△ABC和△DEF中,∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF,△ABC与△DEF全等吗?
能利用角边角条件证明你的结论吗?
证明:
∵∠A+∠B+∠C=∠D+∠E+∠F=180°
∠A=∠D,∠B=∠E
∴∠A+∠B=∠D+∠E
∴∠C=∠F
在△ABC和△DEF中
∴△ABC≌△DEF(ASA).
两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”).
[例]如下图,D在AB上,E在AC上,AB=AC,∠B=∠C.
求证:
AD=AE.
[分析]AD和AE分别在△ADC和△AEB中,所以要证AD=AE,只需证明△ADC≌△AEB即可.
证明:
在△ADC和△AEB中
所以△ADC≌△AEB(ASA)
所以AD=AE.
Ⅲ.随堂练习
(二)补充练习
图中的两个三角形全等吗?
请说明理由.
答案:
图
(1)中由“ASA”可证得△ACD≌△ACB.图
(2)由“AAS”可证得△ACE≌△BDC.
Ⅳ.课时小结
至此,我们有五种判定三角形全等的方法:
1.全等三角形的定义
2.判定定理:
边边边(SSS)边角边(SAS)角边角(ASA)角角边(AAS)
推证两三角形全等时,要善于观察,寻求对应相等的条件,从而获得解题途径.
11.3角的平分线的性质
学习内容:
教材P19-20
学习目标:
1、通过探究理解角平分线的性质并会运用
2、掌握尺规作图作角平分线
学习重点:
角平分线的性质及尺规作图
学习难点:
角平分线的性质的灵活运用
学习方法:
探究、交流、练习
学习过程:
一、课前巩固
1、如图,AB=AD,BC=DC,求证AC是∠DAB的平分线
二、学习新知
(一)探究:
教材P19
(二)用尺规作一个角的平分线
1、已知:
∠AOB,
2、练习,画出下列角的平分线
求作:
∠AOB的平分线OC
(三)角平分线的性质
1、探究,教材P20
2、归纳,角平分线的性质是:
角平分线上的到角两边的相等。
3、用三角形全等证明性质,
4、证明几何命题的步骤:
教材P21
5、运用:
如图,△ABC的∠B的外角平分线BD与∠C的外角的平分组CE相交于P,求证点P到三边AB,BC,CA所在直线的距离相等。
三、总结
四、作业
1、作下列角的平分线
2、△ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,求证EB=FC
11.3角的平分线的性质(第二课时)
学习内容:
教材P21
学习目标:
1、进一步熟练角平分线的画法,证明几何命题的步骤
2、进一步理解角平分线的性质及运用
学习重点:
角平分线的性质及运用
学习难点:
角平分线的性质的灵活运用
学习方法:
探究、交流、练习
学习过程:
二、课前巩固
2、
画出三角形三个内角的平分线
你发现了什么特点吗?
2、如图,△ABC的角平分线BM,CN相交于点P,求证:
点P到三边AB,BC,CA的距离相等
三、
学习新知
(一)思考:
教材P21
1、求证:
到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
2、完成思考中的问题(完成于书上)
(二)应用
1、如图,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D,E,BE,CD相交于点O,OB=OC,求证∠1=∠2
三、总结
四、作业
1、如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上的一点,PD⊥OA交OA于D,PE⊥OB交OB于E,F是OC上的另一点,连接DF,EF,求证DF=EF
2、如图,△ABC中,AD是它的角平分线,P是AD上的一点,PE∥AB交BC于E,PF∥AC交BC于F,求证:
D到PE的距离与D到PF的距离相等
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