高中数学两个向量的数量积题库.docx
- 文档编号:27362933
- 上传时间:2023-06-29
- 格式:DOCX
- 页数:19
- 大小:90.45KB
高中数学两个向量的数量积题库.docx
《高中数学两个向量的数量积题库.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高中数学两个向量的数量积题库.docx(19页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
高中数学两个向量的数量积题库
3.1.3 两个向量的数量积
学习目标
1.掌握空间向量夹角概念及表示方法.2.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算方法及运算规律.3.掌握两个向量的数量积的主要用途,能运用数量积求向量夹角和判断向量的共线与垂直.
知识点一 两个向量的夹角
1.定义:
已知两个非零向量a,b,在空间中任取一点O,作=a,=b,则∠AOB叫做向量a与b的夹角,记作〈a,b〉.
2.范围:
〈a,b〉∈[0,π].特别地:
当〈a,b〉=时,a⊥b.
知识点二 两个向量的数量积
1.定义:
已知两个非零向量a,b,则|a||b|cos〈a,b〉叫做a,b的数量积(或内积),记作a·b.
规定:
零向量与任何向量的数量积都是0.
2.数量积的运算律
数乘向量与向量数量积的结合律
(λa)·b=λ(a·b)
交换律
a·b=b·a
分配律
(a+b)·c=a·c+b·c
注意:
空间向量的数量积不满足结合律。
知识点三 两个向量的数量积的性质
两个向量数量积的性质
①若a,b是非零向量,则a⊥b⇔a·b=0
②若a与b同向,则a·b=|a|·|b|;若反向,则a·b=-|a|·|b|
特别地,a·a=|a|2或|a|=
③若θ为a,b的夹角,则cosθ=
④|a·b|≤|a|·|b|
1.向量与的夹角等于向量与的夹角.( × )
2.对于非零向量b,由a·b=b·c,可得a=c.( × )
3.对于向量a,b,c,有(a·b)·c=a·(b·c).( × )
4.若非零向量a,b为共线且同向的向量,则a·b=|a||b|.( √ )
5.对任意向量a,b,满足|a·b|≤|a||b|.( √ )
题型一 数量积的计算
例1 如图所示,在棱长为1的正四面体ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点,求:
(1)·;
(2)·;
(3)·;
(4)·.
考点 空间向量数量积的概念与性质
题点 用定义求数量积
解
(1)·=·
=||||·cos〈,〉
=cos60°=.
(2)·=·=||2=.
(3)·=·
=||·||cos〈,〉
=cos120°=-.
(4)·=·(-)
=·-·
=||||cos〈,〉-||||cos〈,〉
=cos60°-cos60°=0.
反思感悟
(1)已知a,b的模及a与b的夹角,直接代入数量积公式计算.
(2)如果要求的是关于a与b的多项式形式的数量积,可以先利用数量积的运算律将多项式展开,再利用a·a=|a|2及数量积公式进行计算.
跟踪训练1 已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=4,E为侧面AB1的中心,F为A1D1的中点.试计算:
(1)·;
(2)·;(3)·.
考点 空间向量数量积的概念与性质
题点 用定义求数量积
解 如图,设=a,=b,
=c,则|a|=|c|=2,|b|=4,
a·b=b·c=c·a=0.
(1)·
=b·=|b|2=42=16.
(2)·=·(a+c)=|c|2-|a|2
=22-22=0.
(3)·=·
=(-a+b+c)·=-|a|2+|b|2=2.
题型二 利用数量积证明垂直问题
例2 如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.
求证:
PA⊥BD.
考点 空间向量数量积的应用
题点 数量积的综合应用
证明 由底面ABCD为平行四边形,∠DAB=60°,AB=2AD,知DA⊥BD,则·=0.
由PD⊥底面ABCD,知PD⊥BD,则·=0.
又=+,
所以·=(+)·=·+·=0,即PA⊥BD.
反思感悟
(1)由数量积的性质a⊥b⇔a·b=0可知,要证两直线垂直,可构造与两直线分别平行的向量(a,b是非零向量),只要证明这两个向量的数量积为0即可.
(2)用向量法证明线面(面面)垂直,离不开线面(面面)垂直的判定定理,需将线面(面面)垂直转化为线线垂直,然后利用向量法证明线线垂直即可.
跟踪训练2 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为AC与BD的交点,G为CC1的中点,求证:
A1O⊥平面GBD.
考点 空间向量数量积的应用
题点 数量积的综合应用
证明 设=a,=b,=c,
则a·b=0,b·c=0,a·c=0,|a|=|b|=|c|.
∵=+=+(+)
=c+a+b,
=-=b-a,
=+=(+)+
=a+b-c,
∴·=·(b-a)
=c·b-c·a+a·b-a2+b2-b·a
=(b2-a2)
=(|b|2-|a|2)=0.
于是⊥,即A1O⊥BD.
同理可证⊥,即A1O⊥OG.
又∵OG∩BD=O,OG⊂平面GBD,BD⊂平面GBD,
∴A1O⊥平面GBD.
题型三 数量积求解空间角与距离
命题角度1 求解角度问题
例3 在空间四边形OABC中,连接AC,OB,OA=8,AB=6,AC=4,BC=5,∠OAC=45°,∠OAB=60°,求向量与所成角的余弦值.
考点 空间向量数量积的应用
题点 利用数量积求角
解 ∵=-,
∴·=·-·
=||||·cos〈,〉-||||·cos〈,〉
=8×4×cos135°-8×6×cos120°=24-16,
∴cos〈,〉=
==.
反思感悟 求两个空间向量a,b夹角的方法类同平面内两向量夹角的求法,利用公式cos〈a,b〉=,在具体的几何体中求两向量的夹角时,可把其中一个向量的起点平移至与另一个向量的起点重合,转化为求平面中的角度大小问题.
跟踪训练3 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求异面直线A1B与AC所成的角.
考点 空间向量数量积的应用
题点 利用数量积求角
解 不妨设正方体的棱长为1,
设=a,=b,=c,
则|a|=|b|=|c|=1,
a·b=b·c=c·a=0,
=a-c,=a+b.
∴·=(a-c)·(a+b)
=|a|2+a·b-a·c-b·c=1,
而||=||=,
∴cos〈,〉==,
∵〈,〉∈(0°,180°),
∴〈,〉=60°.
∴异面直线A1B与AC所成的角为60°.
命题角度2 求解距离或长度
例4 平行四边形ABCD中,AB=2AC=2且∠ACD=90°,将它沿对角线AC折起,使AB与CD成60°角,求B,D间的距离.
考点 空间向量数量积的应用
题点 利用数量积求线段长
解 由已知得AC⊥CD,AC⊥AB,折叠后AB与CD所成角为60°,于是,·=0,·=0,
且〈,〉=60°或120°.
||2=(++)2=2+2+2+2·+2·+2·=22+12+22+2×2×2cos〈,〉,故||2=13或5,
解得||=或,
即B,D间的距离为或.
反思感悟 利用向量的数量积求两点间的距离,可以转化为求向量的模的问题,其基本思路是先选择以两点为端点的向量,将此向量表示为几个已知向量的和的形式,求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模,利用公式|a|=求解即可.
跟踪训练4 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,AD=2,AA1=3,∠BAD=90°,∠BAA1=∠DAA1=60°,求AC1的长.
考点 空间向量数量积的应用
题点 利用数量积求线段长
解 因为=++,
所以=(++)2
=2+2++2(·+·+·).
因为∠BAD=90°,∠BAA1=∠DAA1=60°,
所以=1+4+9+2×(1×3×cos60°+2×3×cos60°)=23.
因为=||2,所以||2=23,
则||=,即AC1=.
利用数量积探究垂直问题
典例 如图所示,在矩形ABCD中,AB=1,BC=a,PA⊥平面ABCD(点P位于平面ABCD的上方),则边BC上是否存在点Q,使⊥?
考点 空间向量数量积的应用
题点 数量积的综合应用
解 假设存在点Q(点Q在边BC上),使⊥,
即PQ⊥QD.
连接AQ,因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥QD.
又=+,
所以·=·+·=0.
又·=0,所以·=0,所以⊥.
即点Q在以边AD为直径的圆上,圆的半径为.
又AB=1,
所以当=1,即a=2时,该圆与边BC相切,存在1个点Q满足题意;
当>1,即a>2时,该圆与边BC相交,存在2个点Q满足题意;
当<1,即a<2时,该圆与边BC相离,不存在点Q满足题意.
综上所述,当a≥2时,存在点Q,使⊥;
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 高中数学 两个 向量 数量 题库