y
logax
x
1
图
1,0
a1
x
11,0
)
logax
0
0
y
象
x1
0a1
1x0,,yR
(2)当x=1时,y=0;
(3)当x>1时,y<0,
(3)当x>1时,y>0,
00
(4)在(0,+)上是增函数(4)在(0,+)上是减函数
三.常见函数的导数公式:
1.①C'
0;②(xn)'
nxn1
;③(sinx)'
cosx;④(cosx)'
sinx;
⑤(ax)'
axlna;⑥(ex
)'
ex
;⑦(logax)'
1
;⑧(lnx)'
1
。
xlna
x
2.导数的四则运算法则:
(u
v)
uv;(uv)
uv
uv;(u)
uvuv
;
v
v2
3.复合函数的导数:
yx
yu
ux;
2
四.三角函数相关的公式:
1.⑴角度制与弧度制的互化:
弧度180
,1
180
弧度,1弧度
(180)
5718'
⑵弧长公式:
l
R;扇形面积公式:
S
1
lR
1
R2。
2
2
2.三角函数定义:
角
终边上任一点(非原点)
P(x,y),设|OP|r
则:
sin
y
x
y
cos
r
tan
r
x
3.三角函数符号规律:
一全正,二正弦,三正切,四余弦;
(简记为“全stc
”)
4.诱导公式记忆规律:
“奇变偶不变,符号看象限”
5.⑴yAsin(x)对称轴:
令
⑵yAcos(x)对称轴:
令
x
k
2
,得x
;对称中心:
(k
0)(k
Z);
x
k
k
k
2,0)(k
Z);
,得
x
;对称中心:
(
⑶周期公式:
①函数yAsin(x)及yAcos(x
2
)的周期T
(A、ω、为常数,
且A≠0).②函数y
Atan
x
的周期T
(A、ω、为常数,且A≠0).
6.同角三角函数的基本关系:
sin2x
cos2x
1;sinx
tanx
cosx
7.三角函数的单调区间及对称性:
⑴y
sinx的单调递增区间为
2k
2k
k
Z,单调递减区间为
2
2
2k
3
k
Z,对称轴为x
k
(k
Z),对称中心为
k,0
(k
Z).
2k
2
2
2
⑵y
cosx的单调递增区间为
2k
2k
k
Z,
单调递减区间为
2k
2k
kZ,
对称轴为x
k(k
Z),对称中心为
k
0
(k
Z).
2
⑶y
tanx的单调递增区间为
k
k
2
k
Z,对称中心为
k
0
k
Z.
2
2
8.两角和与差的正弦、余弦、正切公式:
①sin(
)sincos
cos
sin;cos(
)
cos
cos
sinsin
;
tan(
tan
tan
.
)
tan
tan
1
②sin(
)sin(
)
sin2
sin2
;cos(
)cos(
)
cos2
sin2
.
③asin
bcos
=
a2
b2sin(
)(其中,辅助角
所在象限由点(a,b)所在的象限
b
).
决定,tan
a
9.二倍角公式:
①sin2
2sincos.(sin
cos
)2
1
2sin
cos
1
sin2
②cos2
cos2
sin2
2cos2
1
12sin2
(升幂公式).
cos2
1
cos2
sin2
1
cos2
(降幂公式).
2
2
10.正、余弦定理:
3
a
b
c
2R是ABC外接圆直径
⑴正弦定理:
sinB
2R(
)
sinA
sinC
注:
①a:
b:
c
sinA:
sinB:
sinC;②a
2RsinA,b
2RsinB,c
2RsinC;③
a
b
c
a
bc
。
sinAsinB
sinC
sinA
sinB
sinC
⑵余弦定理:
a2
b2
c2
2bccosA等三个;
cosA
b2
c2
a2
等三个。
2bc
11.几个公式:
⑴三角形面积公式:
①S
1aha
1bhb
1chc(ha、hb、hc分别表示a、b、c边上
2
2
2
的高);②S
1absinC
1bcsinA
1casinB.
2
2
2
五。
立体几何
1.表(侧)面积与体积公式:
⑴柱体:
①表面积:
S=S侧+2S底;②侧面积:
S侧=2
rh;③体积:
V=S底h
⑵锥体:
①表面积:
S=S侧+S底;②侧面积:
S侧=rl
;③体积:
V=1S底h:
3
⑶台体:
①表面积:
S=S侧+S上底
S下底;②侧面积:
'
)l;③体积:
V=
1
'
'
S侧=(rr
(S+
SS
S)h;
4R3.
3
⑷球体:
①表面积:
S=4R2;②体积:
V=
3
2.空间中平行的判定与性质:
1)、直线和平面平行:
⑴定义:
若直线与平面没有公共点,则直线与平面平行。
⑵判定定理:
若a
a
且a//
a,则a//
;若
//且a
则有a//。
⑶性质定理:
a//
.且a,
l则a//l.
2)、平面与平面平行的判定与性质:
⑴定义:
如果两个平面没有公共点则称两个平面平行。
⑵判定定理:
若a,b且a//,b//,则//
⑶性质定理:
若//,a,b,则有a//b.
3.空间中垂直的判定与性质:
1)、直线与平面垂直:
⑴定义:
设l为平面
内的任意一条直线,a
l,则a
。
⑵判定定理:
若
a
b
abP,且l
a,l
b,则l。
⑶性质定理:
若
l1
,l2
则l1//l2.
2)、平面与平面垂直:
⑴定义:
如果两个平面所成的二面角的平面角为900,则称这两个平面互相垂直。
⑵判定定理:
若l,l,则有。
4
⑶性质定理:
若
若
六.解析几何:
l,a且a
l,则l。
l则l
。
1.斜率公式:
k
y2
y1,其中P1(x1,y1)、P2(x2,y2).
x2
x1
直线的方向向量
v
a,b,则直线的斜率为k=b(a0).
a
2.直线方程的五种形式:
(1)
点斜式:
y
y1
k(xx1)(直线l过点P1(x1,y1),且斜率为k).
(2)
斜截式:
y
kx
b(b为直线l在y轴上的截距).
(3)两点式:
(4)截距式:
(5)一般式:
yy1
xx1(P(x,y)、P(x,y
)
y2
y1
x2
1
1
1
2
2
2
x1
x
y
1
(其中a、b分别为直线在
x轴、
a
b
Ax
By
C
0(其中A、B不同时为0).
x1x2,y1y2).
y轴上的截距,且a0,b0).
3.两条直线的位置关系:
(1)若l1:
y
k1xb1,l2:
yk2xb2,则:
①l1∥l2
k1k2,b1
b2;②l1l2
k1k2
1.
(2)若l1:
A1x
B1yC1
0,l2:
A2xB2yC2
0,则:
①l1//l2
A1B2A2B10且A1C2A2C1
0;②l1l2A1A2B1B20.
4.求解线性规划问题的步骤是:
(1)列约束条件;
(2)作可行域,写目标函数;(3)确定目标函数的最优解。
5.两个公式:
⑴点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离:
Ax0
By0
C;
d
A2
B2
⑵两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0的距离d
C1
C2
A2
B2
6.圆的方程:
⑴标准方程:
①(x
a)2
(y
b)2
r2
;②x2
y2
r2
。
⑵一般方程:
x2
y2
Dx
EyF
0
(D2
E2
4F
0)
注:
Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆
A=C≠0且B=0且D2+E2-4AF>0
x
rcos
⑶参数方程:
y
rsin
7.圆的方程的求法:
⑴待定系数法;⑵几何法。
8.点、直线与圆的位置关系:
(主要掌握几何法)
⑴点与圆的位置关系:
(d表示点到圆心的距离)
①dR点在圆上;②dR点在圆内;③dR点在圆外。
⑵直线与圆的位置关系:
(d表示圆心到直线的距离)
①dR相切;②dR相交;③dR相离。
5
⑶圆与圆的位置关系:
(d表示圆心距,R,r表示两圆半径,且Rr)
①dRr
④dRr
相离;②dRr外切;③RrdRr相交;内切;⑤0dRr内含。
9.直线与圆相交所得弦长|AB|2r2
d2
10.椭圆、双曲线、抛物线
定义
图形
标准方
方程
参数方
程程
范围
中心
顶点
对称轴
焦点
焦距
离心率
准线
渐近线
焦半径
通径
焦参数
椭圆
双曲线
1.到两定点F1,F2的距离之
1.到两定点F1,F2的距离之
和为定值2a(2a>|F1F2|)的点
差的绝对值为定值
的轨迹
2a(0<2a<|F1F2|)的点的轨迹
2.与定点和直线的距离之
2.与定点和直线的距离之
比为定值e的点的轨迹.
比为定值e的点的轨迹.
(0(e>1)
x
2
y
2
x
2
y2
1(a>0,b>0)
a
b
1(ab>0)
a
b2
2
2
2
x
acos
x
asec
y
bsin
y
btan
(参数为离心角)
(参数为离心角)
─axa,─byb
|x|a,y
R
原点O(0,0)
原点O(0,0)
(a,0),
(─a,0),(0,b),
(a,0),(─a,0)
(0,
─b)
x轴,y轴;
x轴,y轴;
长轴长2a,短轴长2b
实轴长2a,虚轴长2b.
F1(c,0),F2(─c,0)
F1(c,0),F2(─c,0)
2c(c=
a2
b2
)
2c(c=a2
b2
)
c
(0
e
1)
e
c
1)
e
(e
a
a
x=
a2
a2
c
x=
c
b
x
y=±
a
r
a
ex
r
(ex
a)
2b2
2b2
a
a
a2
a2
c
c
抛物线
与定点和直线的距离相等的点的轨迹.
y2=2px
x2pt2(t为参数)
y2pt
x0
(0,0)
x轴
F(p,0)
2
e=1
p
x
2
p
rx
2
2p
P
6
七.等差、等比数列:
等差数列
等比数列
定义
{an
}为A
P
an1
and(常数)
an1
{
an
}为
GP
(常数)
an
q
通