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第一节直线的参数方程
1.知识点;
7T
1、经过点M0(x0,y0),倾斜和为a(6Z^—)的直线/的普通方程是y-yG=tana(x-x0)
M()M=(兀,刃一(兀0,儿)=(兀一兀0*-儿)
设£是直线/的单位方向向量(单位长度与坐标轴的单位长度相同),则幺(cosa,sina),(ag[0,tt))
因为e,所以存在实数twR,使M()M=te,即
(x-x0,y-yQ)=/(cosa,sina)
于是x-xG=tcosa,y-儿二fsina,即x=x0+rcosa,y=儿+fsina
因此,经过点M()(x(),)b),倾斜角为Q的直线/的参数方程为
fx=xn+cosa
\0(r为参数)
[y=y()+fsina
2、因为£=(cosa,sincO,・・・k|=l,由M{}M=te,得到M{)M=\t\f因此,直线上的动
fx=xn+zcosa
点M到定点M()的距离,等于彳0(r为参数)中参数r的绝对值。
[y=yQ+tsma
3、当0vav龙时,sina>0,所以,总线/的单位方向向量纟的方向总是向上。
此吋,
若r>0,则厉而的方向向上;若r<0,则肪而的方向向下;若/=(),则点M与
点合。
4、直线的一般参数方程转化为标准的参数方程
[x=xn+at
已知直线的参数方程为彳°a为参数),由氏线的参数方程的标准形式\y=y^bt
x=cosa
(/为参数)可知,参数f的系数分别是其倾斜角的余弦值和正弦值,二者y=yQ+tsina
的平方和为1,故可将原式转化为《
y=>o+
再令cosa-/
sina
,由直线倾斜角的范围让。
在[0,龙)范围内取值,
并且把J/+b2(看成标准方程中的参数厂,即得标准形式的参数方程式为
x=xn+^cosa
\0(厂为参数)
[y=y()+广sina
5、直线参数方程的应川
x=xn+fcosa
设过点几(勺,儿),倾斜角为Q的肓线/的参数方程是彳°.(/为参数)
y=y()+tsina
若片,鬥是/上的两点,它们所对应的参数分别为rpr2,则
(1)P},P2两点的坐标分别是(x0+txcosa.yQ+tAsina),(x0+12cosa.yQ+12sina)
⑵I啊
+(2
2
pp,=t
(3)线段用鬥的中点P所对应的参数为/,贝霁=上4,中点P到定点£)的距离2
(4)若儿为线段£鬥的中点,则片+4=0
(5)曲线上有两点A,B关于直线y二也+b对称,可设AB中点为M°(a,M+b),则直线AB的参数方程为\x=a^~tcosa,其中聖匕二一丄,再利用4+匚=0解之。
y=ka^b+tsinacosak
二、例题
例1、直线\x=~2~^\t为参数)上与点p(—2,3)距离等于血的点的坐标是
[y=3+V2r
逅
解:
根据距离公式可得如山=近,解得t=±—f代入可得(-3,4)或(一1,2)例2、直线/过点M°(l,5),倾斜角为壬,且与直线x-y-2^=0交于M,则\MMq\的
长为-
兀=1+—
解:
直线/的方程为《
代入兀_),_2尽0,解得MM()=/=10+6命
y=5+—t
i2
例3.己知直线/的斜率k=-\,经过点M°(2,—l),点M在直线上,以的数量/为
参数,则点线/的参数方程为
解:
由参数f的几何意义可知,肓线的参数方程可以写成标准形式
x=cos0
°.°(r为参
y=y()+/sin&
数)其中&为直线的倾斜角。
因为直线的斜率为-1,所以直线的倾斜角心35。
,所以cos—亍sin&p
所以直线/的参数方程为〈
“2-呂
彳厂a为参数)
IV2
V=-ld1
2
例4、设曲线C的参数方程为
x=2+3cos"(&为参数),直线/的方程为x_3y+2=0,y=-l+3sin&
则曲线c到直线/的距离为玄@的点的个数为()
10
A、1B、2C、3D、4
解:
由曲线C的参数方程得对应的圆的圆心坐标为C(2,-l),半径厂=3,那么C到肓线
f+2"的距皿号磊,那么画与曲线C和交,结合图像
可知c上釦距离为的点有2个。
例5、设极点与原点重合,极轴与x轴正半轴重合。
已知Illi线G的极坐标方程是
Rpsin(f—&)=¥伙工0),曲线C?
的参数方程为《
x=2+2cosa
“2si吟胖为参数〉’则两曲
线公共点的个数为
解:
将两曲线方程化为直角坐标方程,得Cl:
kx-ky-l=0,—y—2=0,两直线平
行或重合,所以公共点的个数为0或无数。
填:
0或无数
[\=-l+2cos&
例6、已知总线/:
3兀+4y-12=0与圆C#(&为参数),试判断它们的公
[y=2+2sin&
共点的个数
解:
圆的方程可化为(兀+1)2+()‘,一2)2=4,其圆心为C(—l,2),半径为2,圆心到直线的
距离为〃」-3:
2><4_12|=?
<2,所以总线和圆相交,交点个数为2.
a/32+425
例7、设直线厶过点A(2,-4),倾斜角为芋
6
(1)求厶的参数方程;⑵设直线厶:
兀一丁+1=0,厶与厶的交点为"求|仙|
(2)点B在厶上,只耍求出B点对应的参数f,则|/|就是点B到点4的距离,把厶的参数
方程代入匚中,得
(2-—r)-(-4+-r)+l=0,所以逅也心7,即『=』一二7(能一1),f为正值,222V3+1
根据参数的儿何意义,知AB=7(73-1)
x=1+2/x=3cos0
例8、直线\_2+t(f为参数)与圆仃_3抽0(〃为参数)交于儿B两点,求网|的
长
解:
若求|AB|的长度,显然要根据肓线的参数方程的参数的几何意义,把圆的方程由参数
、.x=3cos&、°°
方程化为普通方程。
由圆的参数方程y®护圆的普通方程加FI
所以将直线方程JX=t+2r代入圆的方程,得(1+2()2+(2+/)2=9b=2+r
24
即5r+8r-4=0,所以由人+右=一一,V2=一一
例9、已知点p(x,y)是圆x2+(y-l)2=l上任意一点,欲使不等式x+y+cXO恒成立,
求c的取值范围
则有兀+y二1+sin&+cos&二1+V2sin(&+f)
立,即c>-l+V2
例10、在圆/+),_4兀_2歹一20=0上求两点A,B,使它们到直线4兀+3y+19=0的距离分别最短和最长。
x=2+5cos&.
y=l+5sin&
解:
将圆的方程化为参数方程彳.(&为参数),则闘上点P的坐标为
(2+5cos&」+5sin0),它到所给肓线的距离为
其中cos°二一,sin°=—o故当
cos(0-&)=1,即(p-6时,d最长,这时,点A的坐标为(6,4);当cos(0-&)=一1,即&=(p-7i时,d最短,这时,点B的坐标为(一2,-2)
例11、已知宜线/:
x-y+l=0与抛物线y=x2交于A,B两点,求线段AB的长和点
M(-1,2)到A,B两点的距离之积
3兀
解:
因为直线/过定MM,几/的倾斜角为一,所以它们的参数方程是
由参数的儿何意义得|如?
|=^-^1=710,|MA|-|MB|=也|=2
22
例12、经过点M(2,l)作宜线/,交椭圆—+^-=1于A,B两点。
如果点M恰好为线段164
AB的中点,求直线/的方程
fx=2+rcos^z
解:
设过点M(2,1)的直线/的参数方程为\.(f为参数)
[y=l+tsma
代入椭圆方程,整理得
(3sin2a+\)t2+4(cos6/+2sina)t-8=0
由门[勺几何意义知\MA\=\t]f\MB\=\t2\f因为点M在椭圆内,这个方程必有两个实根,所以(C°SQfmQf),因为点M为线段AB的中点,所以=0
1-3sii?
a+l2
即cosa+2sina=0,于是直线的斜率为k=tana=--f因此,直线/的方程是
2
),—1=_丄(兀—2),即x+2y_4=0
2
三、练习题
[x=2cos&
1、直线3x-4y-9=0与圆彳(&为参数)的位置关系是()
[y=2sin&
A、相切B、相离C、宜线过圆心D、相交但宜线不过圆心
解:
因为d=12z2z3=-<2=r,所以直线与鬪相交,选D@+425
JT
2、经过点M(1,5)R倾斜角为一的直线,以定点M到动点P的位移(为参数的参数方程是3
()
解:
根据直线参数方程的定义,易得
t兀
x=1+rcos—
u•兀
y=5+/-sin—・3
x=l+-z
2r选D尸5+也
「2
3、参数方程v*'+/(『为参数)所表示的llll线是()丁=一2
A、一条射线B、两条射线C、一条直线D、两条直线
解:
因为x=/+-g(-oo,-2]U[2,+oo),即x<-2^x>2,故是两条射线。
BI
[x=cos&
4、曲线彳.八(&为参数)上的点到两坐标轴的距离之和的最人值是()
A、
B、
V2
T
C、1D、迈
Iy=sin0
解:
由题意得d=|cose\4-|sin0\,T面只解0,-的情况,其他情况类似,当0,-
时,d=cos0+sin&=>/^sin(&+£),故距离的最人值是血,选D
4
[x=2+2cos&
5、曲线方程彳门(0为参数)上的点与定点A(-t-l)距离的最小值是
[y=2sin0
解:
最小距离d二^[2-(-1)]2+12-2=710-2
6、对任意实数I若直线y=kx+b与圆JX=^+2COS^(0<^<2^)恒有公共点,则方
y=l+2sin&
的収值范围是
解:
由题意得点(0,b)恒在圆内,由y=l+2sin%[—1,3],则fee[-1,3]
7、设直线/经过点M°(l,5)、倾斜角为兰
(1)求直线/的参数方程;
(2)求直线/和直线x-y-2y[3=0的交点到点的距离;
(3)求直线/和圆F+),2=]§的两个交点到点M.的距离的和与积
*
I1
X=1+—/
2
解:
(1)直线/的参数方程为彳厂(f为参数)
cV3
y=5+——t
V2
(2)将直线/的参数方程中的兀y代入x-y-2y/3=0f得心-(10+6命),所以,直线
I和直线兀一y—2內=0的交点到点M。
的距离为|/|=10+673
(3)将直线/的参数方程中的兀y代入x2+y2=16,得八+(1+5巧)f+10=0
设该方程的两根为tvt2,则^+^=-(1+573),^2=10,町知人』2均为负值,所以
人|+|口=一4+『2)=1+5的,所以两个交点到点Mo的距离的和为1+5的,积为10.
4.
8、已知经过点P(2,0),斜率为一的肓线和抛物线r=2%相交于A,B两点,设线段AB的中点M,求点M的坐标。
34
解:
设过点P(2,0)的总线AB的倾斜角为a,由已知可得cosa二一,sino=—
所以,直线的参数方程为
C3
x=2+—f
<5(『为参数)代入y2=2x,整理得8/2—15—50=0
4
y=-t中点M的相应参数是心中嗨,所•以点M的坐标为(特扌)
9、经过点M(2,l)作直线交双Illi线x2-/=1于A,B两点,如果点M对线段AB的中点,求直线AB的方程。
a为参数)代入双曲线方程,
整理得
解:
设过点M(2,l)的直线AB的参数方程为
4cos”一2sina
2・9
cosp-sirra
(cos2-sin2a)r+2(2cos-sin6^)r+2=0,设人心为上述方程的两个根,则
因为点M为线段AB的中点,由f的儿何意义知人+『2=0所以4cosa—2sina=0,于是得到k=tana=2,因此,所求总线的方程为
y—1=2(兀一2),即2x-y-3=0
10、经过抛物线)/=2px(p>0)外一点?
1(-2,-4)且倾斜角为45°的直线/与抛物线分别交于M],%,如果\AM^\M}M2\]AM2\成等比数列,求p的值。
x^-2+—t
解:
直线/的参数方程为]7(/为参数),代入y2=2px(p>0),得到
V2"
y=一41
[2
r-2^2(44-p)t+8(4+/"=0,
由根与系数的关系,得到心+5=2©(4+p),“2=8(4+〃)
因为=\AM^\AM2\f所以匕一。
)?
二Idhl二也,即(人+/2)"=5亿所以〔2履4+p)]2二5x8(4+”),即4+p=5.・.p=l
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