专题42+与球相关的外接与内切问题玩转压轴题突破140分之高三数学选填题高端精品doc.docx
- 文档编号:27424292
- 上传时间:2023-06-30
- 格式:DOCX
- 页数:32
- 大小:520.43KB
专题42+与球相关的外接与内切问题玩转压轴题突破140分之高三数学选填题高端精品doc.docx
《专题42+与球相关的外接与内切问题玩转压轴题突破140分之高三数学选填题高端精品doc.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《专题42+与球相关的外接与内切问题玩转压轴题突破140分之高三数学选填题高端精品doc.docx(32页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
专题42+与球相关的外接与内切问题玩转压轴题突破140分之高三数学选填题高端精品doc
一.方法综述
如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上,那么称这个多面体是球的内接多面体,这个球称为多
面体的外接球.有关多面体外接球的问题,是立体几何的一个重点,也是高考考查的一个热点
.
考查学生的
空间想象能力以及化归能力
.研究多面体的外接球问题,既要运用多面体的知识,又要运用球的知识,解决
这类问题的关键是抓住内接的特点,即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.并且还要特别注意多面
体的有关几何元素与球的半径之间的关系,而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作
用。
当三棱锥有三条棱垂直或棱长相等时,可构造长方体或正方体。
与球的外切问题主要是指球外切多面体与旋转体,解答时首先要找准切点,通过作截面来解决
.如果外
切的是多面体,则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作
.当球与多面体的各个面相切时,注意球心
到各面的距离相等即球的半径,求球的半径时,可用球心与多面体的各顶点连接,球的半径为分成的小棱
锥的高,用体积来求球的半径。
二.解题策略
类型一
构造法(补形法)
【答案】9
【指点迷津】当一三棱锥的三侧棱两两垂直时,可将三棱锥补成一个长方体,将问题转化为长方体(正方体)来解。
长方体的外接球即为该三棱锥的外接球。
【例2】一个四面体的所有棱长都为2,四个顶点在同一球面上,则此球的表面积为()
【答案】A
【解析】
【指点迷津】当一四面体或三棱锥的棱长相等时,可以构造正方体,在正方体中构造三棱锥或四面体,利
用三棱锥或四面体与正方体的外接球相同来解即可。
【举一反三】
1、如图所示,设A,B,C,D为球O上四点,AB,AC,AD两两垂直,且AB=AC=3,若AD=R(R为球O的
半径),则球O的表面积为()
A.πB.2πC.4πD.8π
【答案】D
【解析】因为AB,AC,AD两两垂直,所以以AB,AC,AD为棱构建一个长方体,如图所示,则长方体的各
顶点均在球面上,
AB=AC=
3,所以AE=
2
2
R=
2,所以球
6,AD=R,DE=2R,则有R+6=(2R),解得
的表面积S=4πR2=8π.故选D。
2、如图所示,已知三棱锥
A-BCD的四个顶点
A,B,C,D都在球O的表面上,AC⊥平面BCD,BC⊥CD,且
=
3,
=2,
=
5,则球
O
的表面积为()
AC
BC
CD
A.12πB.7πC.9πD.8π
【答案】A
【解析】由
AC⊥平面
BCD,BC⊥CD知三棱锥
A-BCD可以补成以
AC,BC,CD为三条棱的长方体,设球
O的半
径为
R,则有(2R)
2222
=AC+BC+CD=3+4+5=12,所以
2S球=4πR=12π.故选
A。
3、在三棱锥
A-BCD中,AB=CD=6,AC=BD=AD=BC=5,则该三棱锥的外接球的表面积为
__________.
【答案】43π
【解析】依题意得,该三棱锥的三组对棱分别相等,因此可将该三棱锥补形成一个长方体,设该长方体的
a2+b2=62,
长、宽、高分别为
abc
,且其外接球的半径为
R
b2+c2=52,
得
a
bc
43
,即
(2R)
a
、、
,则
2+
2+2=
2
=2
c2+a2=52,
+b2+c2=43,易知R即为该三棱锥的外接球的半径,所以该三棱锥的外接球的表面积为
4πR2=43π.
类型二
正棱锥与球的外接
【例3】正四棱锥的顶点都在同一球面上,
若该棱锥的高为
4,底面边长为
2,则该球的表面积为
(
)
A.81
B.16C.9D.27
4
4
【答案】A.
【指点迷津】求正棱锥外接球的表面积或体积,应先求其半径,在棱锥的高上取一点作为外接球的球心,
构造直角三角形,利用勾股定理求半径。
【举一反三】
1、在三棱锥P-ABC中,PA=PB=PC=3,侧棱PA与底面ABC所成的角为60°,则该三棱锥外接球的体积为
()
B.
C.4
D.4
A.
3
3
【答案】D
2、球O的球面上有四点
S,A,B,C,其中O,A,B,C四点共面,△ABC是边长为
2的正三角形,平面SAB
⊥平面ABC,则棱锥S-ABC的体积的最大值为(
)
.
3
.
3
.2
3
.4
A
3
B
C
D
【答案】A
【解析】
(1)
由于平面
⊥平面
,所以点
S
在平面
上的射影
H
落在
AB
上,根据球的对称性可知,
SAB
ABC
ABC
当S在“最高点”,即
H为AB的中点时,SH最大,此时棱锥
S-ABC的体积最大.
2
2
3
2
3
因为△ABC是边长为
2的正三角形,所以球的半径
r=OC=3CH=3×2×2=3.
1
3
在Rt△SHO中,OH=OC=
,
2
3
所以SH=
2
3
2
3
2
-
=1,
3
3
1
3
2
3
故所求体积的最大值为
3×4×2×1=3.
3、把一个皮球放入如图
10所示的由
8根长均为
20cm的铁丝接成的四棱锥形骨架内,使皮球的表面与
8
根铁丝都有接触点,则皮球的半径为()
A.103cmB.10cmC.10
2cmD.
30cm
【答案】B
类型三直棱柱的外接球
【例4】直三棱柱ABCA1B1C1的各顶点都在同一球面上,若ABACAA12,BAC120,
则此球的表面积等于。
【答案】
【解析】在ABC中ABAC2,BAC120,可得BC23,由正弦定理,可得ABC外接圆半径
r=2,设此圆圆心为O,球心为O,在RTOBO中,易得球半径R5,故此球的表面积为4R220.
【指点迷津】直棱柱的外接球的球心在上、下底面的外接圆的圆心的连线上,确定球心,用球心、一底面
的外接圆的圆心,一顶点构成一个直角三角形,用勾股定理得关于外接球半径的关系式,可球的半径。
【举一反三】
1、已知直三棱柱ABC-A1B1C1的各顶点都在同一球面上,若AB=AC=AA1=2,∠BAC=90°,则该球的体积等
于________.
【答案】43π
【解析】设该球的球心为
O,△ABC所在圆面的圆心为
O,则OO⊥平面ABC且OO=1.在△ABC中,因为AB
1
1
1
1
1
2
2
=AC=2,∠BAC=90°,所以△
ABC外接圆的半径
r=2BC=2
AB+AC=
2,所以该球的半径
R=
2
2
2
2
4
3
r+O1O=
(2)+1=3,所以该球的体积V=3πR=4
3π.
2、已知三棱柱
ABC
A1B1C1的6
个顶点都在球O的球面上,若AB3,AC
4,ABAC,AA1
12,
则球O的半径为
(
)
A.317
B.210
C.13
D.310
2
2
【答案】C
【解析】由球心作面ABC的垂线,则垂足为BC中点M。
计算AM=5
,由垂径定理,OM=6,所以半径
2
R=
(5)2
62
13,选C.
2
2
3、正四棱柱ABCD
A1B1C1D1的各顶点都在半径为
R的球面上,则正四棱柱的侧面积有最
值,
为.
【答案】大
三.强化训练
1、矩形ABCD中,AB
4,BC
3,沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B
ACD,则四面体ABCD
的外接球的体积是
()
A.125
B.
125
C.
125
D.
125
12
9
6
3
【答案】
C
2、棱长为
1的正方体ABCD
A1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上,E,F分别是棱AA1,DD1的中
点,则直线
EF被球O截得的线段长为(
)
A.
2
B.
1
C.
2
1
.
2
2
D
2
【答案】
D
3、如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球
面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为
()
A.500
cm3
B.866
cm3
C.1372
cm3
D.2048
cm3
3
3
3
3
【答案】A
【解析】设正方体上底面所在平面截球得小圆M,则圆心M为正方体上底面正方形的中心.如图.
设球的半径为R,根据题意得球心到上底面的距离等于(R﹣2)cm,而圆M的半径为4,由球的截面圆性质,
得R2=(R﹣2)2+42,
解出R=5,所以根据球的体积公式,该球的体积V===.故选A.
4、如图是一个几何体的三视图,则这个几何体外接球的表面积为()
A.8πB.16πC.32πD.64π
【答案】C
【解析】该几何体为一个四棱锥,其外接球的球心为底面正方形的中心,所以半径为22,表面积为4π
×(22)2=32π.故选C。
5、已知四棱锥
S-ABCD的所有顶点在同一球面上,底面
ABCD是正方形且球心
O在此平面内,当四棱锥的
体积取得最大值时,其表面积等于
16+16
3,则球O的体积等于()
42π162π322π642π
A.
B.
C.
D.
3
3
3
3
【答案】D
6、将半径都为1的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里,这个正四面体的高的最小值为()
3
2
6
2
6
2
6
4
3
2
6
A.
3
B.2+
3
C.4+
3
D.
3
【答案】C
球的外切正四面体,这个小球球心与外切正四面体的中心重合,而正四面体的中心到顶点的距离是中心到地面距离的3倍。
7、在正三棱锥S
ABC中,M、N分别是棱SC、BC的中点,且AM
MN,若侧棱SA
23,则正三
棱锥SABC外接球的表面积是
。
【答案】36
8、【2017课标1,文16】已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,SC是球O的直径.若平面SCA⊥平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥S-ABC的体积为9,则球O的表面积为________.【答案】36
因为平面SAC平面SBC
所以OA平面SBC
设OAr
VASBC
1
SSBC
OA
1
1
2r
r
r
1r3
3
3
2
3
所以1
r3
9r
3,所以球的表面积为
4
r2
36
3
9、球O的球面上有四点
S,A,B,C,其中O,A,B,C四点共面,△ABC是边长为
2的正三角形,平面SAB
⊥平面ABC,则棱锥S-ABC的体积的最大值为(
)
3
A.3
B.3
C.23
D.4
【答案】A
10
、矩形ABCD中,AB
4,BC
3,沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角
BACD,则四面体
ABCD的外接球的体积是(
)
A.
125
B.
125
C.
125
D.
125
12
9
6
3
【答案】C
11、在半径为R的球内放入大小相等的4个小球,则小球的半径的最大值为()
【答案】r(62)R
12、如图K38-16所示,ABCD-A1B1C1D1是边长为1的正方体,S-ABCD是高为1的正四棱锥,若点S,A1,B1,
C1,D1在同一个球面上,则该球的表面积为()
图K38-16
9254981
A.16πB.16πC.16πD.16π
【答案】D
【解析】如图所示作辅助线,易知球心
O在SG上,设OG=x,则OB=SO=2-x,同时由正方体的性质知
1
1
1
B1G1=
2
2
2
2
-x)
2
2
+
2
2
7
,则在Rt△OB1G1中,由勾股定理得
OB1=G1B1+OG1,即(2
=x
2
,解得x=,所以球的
2
8
7
9
2
81
半径R=2-8=8,所以球的表面积
S=4πR=16π.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 专题 42 相关 外接 问题 压轴 突破 140 分之 数学 选填题 高端 精品 doc