等差数列高一数学教案模板.docx
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等差数列高一数学教案模板
等差数列_高一数学教案_模板
教学目标
1.理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式,并能运用通项公式解决简单的问题.
(1)了解公差的概念,明确一个数列是等差数列的限定条件,能根据定义判断一个数列是等差数列,了解等差中项的概念;
(2)正确认识使用等差数列的各种表示法,能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项;
(3)能通过通项公式与图像认识等差数列的性质,能用图像与通项公式的关系解决某些问题.
2.通过等差数列的图像的应用,进一步渗透数形结合思想、函数思想;通过等差数列通项公式的运用,渗透方程思想.
3.通过等差数列概念的归纳概括,培养学生的观察、分析资料的能力,积极思维,追求新知的创新意识;通过对等差数列的研究,使学生明确等差数列与一般数列的内在联系,从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点.
关于等差数列的教学建议
(1)知识结构
(2)重点、难点分析
①教学重点是等差数列的定义和对通项公式的认识与应用,等差数列是特殊的数列,定义恰恰是其特殊性、也是本质属性的准确反映和高度概括,准确把握定义是正确认识等差数列,解决相关问题的前提条件.通项公式是项与项数的函数关系,是研究一个数列的重要工具,等差数列的通项公式的结构与一次函数的解析式密切相关,通过函数图象研究数列性质成为可能.
②通过不完全归纳法得出等差数列的通项公式,所以是教学中的一个难点;另外,出现在一个等式中,运用方程的思想,已知三个量可以求出第四个量.由于一个公式中字母较多,学生应用时会有一定的困难,通项公式的灵活运用是教学的有一难点.
(3)教法建议
①本节内容分为两课时,一节为等差数列的定义与表示法,一节为等差数列通项公式的应用.
②等差数列定义的引出可先给出几组等差数列,让学生观察、比较,概括共同规律,再由学生尝试说出等差数列的定义,对程度差的学生可以提示定义的结构:
“……的数列叫做等差数列”,由学生把限定条件一一列举出来,为等比数列的定义作准备.如果学生给出的定义不准确,可让学生研究讨论,用符合学生的定义但不是等差数列的数列作为反例,再由学生修改其定义,逐步完善定义.
③等差数列的定义归纳出来后,由学生举一些等差数列的例子,以此让学生思考确定一个等差数列的条件.
④由学生根据一般数列的表示法尝试表示等差数列,前提条件是已知数列的首项与公差.明确指出其图像是一条直线上的一些点,根据图像观察项随项数的变化规律;再看通项公式,项可看作项数的一次型()函数,这与其图像的形状相对应.
⑤有穷等差数列的末项与通项是有区别的,数列的通项公式是数列第项与项数之间的函数关系式,有穷等差数列的项数未必是,即其末项未必是该数列的第项,在教学中一定要强调这一点.
⑥等差数列前项和的公式推导离不开等差数列的性质,所以在本节课应补充一些重要的性质;另外可让学生研究等差数列的子数列,有规律的子数列会引起学生的兴趣.
⑦等差数列是现实生活中广泛存在的数列的数学模型,如教材中的例题、习题等,还可让学生去搜集,然后彼此交流,提出相关问题,自己尝试解决,为学生提供相互学习的机会,创设相互研讨的课堂环境.
等差数列通项公式的教学设计示例
教学目标
1.通过教与学的互动,使学生加深对等差数列通项公式的认识,能参与编拟一些简单的问题,并解决这些问题;
2.利用通项公式求等差数列的项、项数、公差、首项,使学生进一步体会方程思想;
3.通过参与编题解题,激发学生学习的兴趣.
教学重点,难点
教学重点是通项公式的认识;教学难点是对公式的灵活运用.
教学用具
实物投影仪,多媒体软件,电脑.
教学方法
研探式.
教学过程
一.复习提问
前一节课我们学习了等差数列的概念、表示法,请同学们回忆等差数列的定义,其表示法都有哪些?
等差数列的概念是从相邻两项的关系加以定义的,这个关系用递推公式来表示比较简单,但我们要围绕通项公式作进一步的理解与应用.
二.主体设计
通项公式反映了项与项数之间的函数关系,当等差数列的首项与公差确定后,数列的每一项便确定了,可以求指定的项(即已知求).找学生试举一例如:
“已知等差数列中,首项,公差,求.”这是通项公式的简单应用,由学生解答后,要求每个学生出一些运用等差数列通项公式的题目,包括正用、反用与变用,简单、复杂,定量、定性的均可,教师巡视将好题搜集起来,分类投影在屏幕上.
1.方程思想的运用
(1)已知等差数列中,首项,公差,则-397是该数列的第______项.
(2)已知等差数列中,首项,则公差
(3)已知等差数列中,公差,则首项
这一类问题先由学生解决,之后教师点评,四个量,在一个等式中,运用方程的思想方法,已知其中三个量的值,可以求得第四个量.
2.基本量方法的使用
(1)已知等差数列中,,求的值.
(2)已知等差数列中,,求.
若学生的题目只有这两种类型,教师可以小结(最好请出题者、解题者概括):
因为已知条件可以化为关于和的二元方程组,所以这些等差数列是确定的,由和写出通项公式,便可归结为前一类问题.解决这类问题只需把两个条件(等式)化为关于和的二元方程组,以求得和,和称作基本量.
教师提出新的问题,已知等差数列的一个条件(等式),能否确定一个等差数列?
学生回答后,教师再启发,由这一个条件可得到关于和的二元方程,这是一个和的制约关系,从这个关系可以得到什么结论?
举例说明(例题可由学生或教师给出,视具体情况而定).
如:
已知等差数列中,…
由条件可得即,可知,这是比较显然的,与之相关的还能有什么结论?
若学生答不出可提示,一定得某一项的值么?
能否与两项有关?
多项有关?
由学生发现规律,完善问题
(3)已知等差数列中,求;;;;….
类似的还有
(4)已知等差数列中,求的值.
以上属于对数列的项进行定量的研究,有无定性的判断?
引出
3.研究等差数列的单调性
,考察随项数的变化规律.着重考虑的情况.此时是的一次函数,其单调性取决于的符号,由学生叙述结果.这个结果与考察相邻两项的差所得结果是一致的.
4.研究项的符号
这是为研究等差数列前项和的最值所做的准备工作.可配备的题目如
(1)已知数列的通项公式为,问数列从第几项开始小于0?
(2)等差数列从第________项起以后每项均为负数.
三.小结
1.用方程思想认识等差数列通项公式;
2.用函数思想解决等差数列问题.
四.板书设计
等差数列通项公式 1.方程思想的运用
2.基本量方法的使用
3.研究等差数列的单调性
4.研究项的符号
二倍角的正弦、余弦、正切(第一课时)
(一)教学具准备
投影仪或多媒体设备
(二)教学目标
1.掌握、、公式的推导,明确的取值范围.
2.运用二倍角公式求三角函数值.
(三)教学过程
1.设置情境
师:
我们已经学习了两角和与差的正弦、余弦、正切公式,请大家回忆一下这组公式的来龙去脉,并请一个同学把这六个公式写在黑板上,
生:
师:
很好,对于这些公式大家一方面要从公式的推导上去理解它,另一方面要从公式的结构特点上去记忆,还要注意公式的正用、逆用和变用.今天,我们继续学习二倍角的正弦、余弦和正切公式
2.探索研究
师:
请大家想一想,在公式、、中对、如何合理赋值,才能出现、、的表达式,并请同学把对应的等式写在黑板上.
生:
可在、、中,令,就能出现、、,对应表达式为:
即:
师:
很好,看来本节课的主要任务,已经被大家轻松完成了.对于公式,我们似乎要注意些什么?
大家想一想要关注什么?
生:
要使有意义及,有意义.
师:
有意义即,.
,即,也就是,可变为.
要使有意义,则须.
综合起来就是,且,.当时,虽然的值不存在,但的值是存在的,这时求的值可利用诱导公式,即.
师:
对于,还有没有其他的形式?
生:
有(板书)
∵ ∴或
∴
师:
(板书三个公式,并告诉学生公式记号分别为、、)对二倍角公式大家要注意以下问题.
(1)用和表示、,用表示,即用单角的三角函数表示复角的三角函数.
(2)有三种形式,是有条件的.
3.例题分析
【例1】已知,.求,,的值.
解:
因为,.所以
于是
说明:
本题也可按下列程序来做,请大家比较方法之优劣.
∵,
∴,且,
【例2】不查表求值:
(1);
(2);
(3); (4).
解:
(1)
(2)
(3)
(4)
说明:
逆用公式的先决条件是认识公式的本质,要善于把表象的东西拿开,正确捕捉公式原形以便合理运用公式.
【例3】求证:
引导学生观察式子两边的结构,提出证题的方向.
生:
左边都是单角的三角函数,右边是二倍角.又因左边比右边明显复杂得多,所以应由左边证向右边,注意把单角的三角函数变为二倍角.
师:
(板书)
证明:
左边
右边
所以原式成立
【例4】化简:
.
师:
这道题给我们的感觉是有些无从下手,很难看出有什么公式可以直接使用.两个角与似乎还有一线希望,但由于受函数名称限制难以发挥它的作用,大家都来想想看,有什么办法可以打破这一僵局(请同学们讨论)?
生:
在同角三角函数的化简中,如果一个式子有弦、有切,我们可以把切化成弦.
师:
好的,我们来尝试(板书)
解:
说明:
本题在尝试把正切化为弦(正、余弦)后果然获得成功,其实把正切化为弦就是一条重要思想,请同学们切记“遇切、割化弦”这一规律.另外本题的解答过程还反映了逆用和角公式的重要性.希望大家一并记下.
练习(投影)
(1)化简
(2)
(3)若,则
答案:
(1);
(2);(3)8
4.总结提炼
(1)在两角和的三角函数公式、、中,当时,就可以得到二倍角的三角函数公式、、,说明后者是前者的特例.
(2)、中角没有限制条件,而中,只有和时,才成立.
(3)二倍角公式不仅限于是的二倍形式,其他如是的2倍,是的二倍,是的二倍等等都是适用的,要熟悉这些多种形式的两个角的倍数关系,才能熟练地应用好二倍角公式,这是灵活运用公式的关键.
有三种形式,要依据条件,灵活选用公式.另外,逆用此公式时,更要注意结构形式.
(四)板书设计
二倍角公式
应注意几个问题:
例1
例2
例3
例4
演练反馈
总结提炼
对数的运算法则
教学目标
1.理解并掌握对数性质及运算法则,能初步运用对数的性质和运算法则解题.
2.通过法则的探究与推导,培养学生从特殊到一般的概括思想,渗透化归思想及逻辑思维能力.
3.通过法则探究,激发学生学习的积极性.培养大胆探索,实事求是的科学精神.
教学重点,难点
重点是对数的运算法则及推导和应用
难点是法则的探究与证明.
教学方法
引导发现法
教学用具
投影仪
教学过程
一. 引入新课
我们前面学习了对数的概念,那么什么叫对数呢?
通过下面的题目来回答这个问题.
如果看到这个式子会有何联想?
由学生回答
(1)
(2) (3) (4).
也就要求学生以后看到对数符号能联想四件事.从式子中,可以总结出从概念上讲,对数与指数就是一码事,从运算上讲它们互为逆运算的关系.既然是一种运算,自然就应有相应的运算法则,所以我们今天重点研究对数的运算法则.
二.对数的运算法则(板书)
对数与指数是互为逆运算的,自然应把握两者的关系及已知的指数运算法则来探求对数的运算法则,所以我们有必要先回顾一下指数的运算法则.
由学生回答后教师可用投影仪打出让学生看:
,,.
然后直接提出课题:
若是否成立?
由学生讨论并举出实例说明其不成立(如可以举而),教师在肯定结论的正确性的同时再提出
可提示学生利用刚才的反例,把5改写成应为,而32=2,还可以让学生再找几个例子,.之后让学生大胆说出发现有什么规律?
由学生回答应有成立.
现在它只是一个猜想,要保证其对任意都成立,需要给出相应的证明,怎么证呢?
你学过哪些与之相关的证明依据呢?
学生经过思考后找出可以利用对数概念,性质及与指数的关系,再找学生提出证明的基本思路,即对数问题先化成指数问题,再利用指数运算法则求解.找学生试说证明过程,教师可适当提示,然后板书.
证明:
设则,由指数运算法则
得
,
即. (板书)
法则出来以后,要求学生能从以下几方面去认识:
(1)公式成立的条件是什么?
(由学生指出.注意是每个真数都大于零,每个对数式都有意义为使用前提条件).
(2)能用文字语言叙述这条法则:
两个正数的积的对数等于这两个正数的对数的和.
(3)若真数是三个正数,结果会怎样?
很容易可得.
(条件同前)
(4)能否利用法则完成下面的运算:
例1:
计算
(1)
(2) (3)
由学生口答答案后,总结法则从左到右使用运算的级别降低了,从右到左运算是升级运算,要求运算从双向把握.然后提出新问题:
.
可由学生说出.得到大家认可后,再让学生完成证明.
证明:
设则,由指数运算法则得
.
教师在肯定其证明过程的同时,提出是否还有其它的证明方法?
能否用上刚才的结论?
有的学生可能会提出把看成再用法则,但无法解决计算问题,再引导学生如何回避的问题.经思考可以得到如下证法
.或证明如下
,再移项可得证.以上两种证明方法都体现了化归的思想,而且后面的证法中使用的拆分技巧“化减为加”也是会经常用到的.最后板书法则2,并让学生用文字语言叙述法则2.(两个正数的商的对数等于这两个正数的对数的差)
请学生完成下面的计算
(1)
(2).
计算后再提出刚才没有解决的问题即并将其一般化改为学生在说出结论的同时就可给出证明如下:
设则,.教师还可让学生思考是否还有其它证明方法,可在课下研究.
将三条法则写在一起,用投影仪打出,并与指数的法则进行对比.然后要求学生从以下几个方面认识法则
(1)了解法则的由来.(怎么证)
(2)掌握法则的内容.(用符号语言和文字语言叙述)
(3)法则使用的条件.(使每一个对数都有意义)
(4)法则的功能.(要求能正反使用)
三.巩固练习
例2.计算
(1)
(2) (3)
(4) (5) (6)
解答略
对学生的解答进行点评.
例3.已知,用的式子表示
(1)
(2) (3).
由学生上黑板写出求解过程.
四.小结
1.运算法则的内容
2.运算法则的推导与证明
3.运算法则的使用
五.作业略
六.板书设计
二.对数运算法则 例1 例3
1.内容
(1)
(2)
(3) 例2 小结
2.证明
3.对法则的认识
(1)条件
(2)功能
教学目标
1.理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式,并能运用公式解决简单的问题.
(1)正确理解等比数列的定义,了解公比的概念,明确一个数列是等比数列的限定条件,能根据定义判断一个数列是等比数列,了解等比中项的概念;
(2)正确认识使用等比数列的表示法,能灵活运用通项公式求等比数列的首项、公比、项数及指定的项;
(3)通过通项公式认识等比数列的性质,能解决某些实际问题.
2.通过对等比数列的研究,逐步培养学生观察、类比、归纳、猜想等思维品质.
3.通过对等比数列概念的归纳,进一步培养学生严密的思维习惯,以及实事求是的科学态度.
教学建议
教材分析
(1)知识结构
等比数列是另一个简单常见的数列,研究内容可与等差数列类比,首先归纳出等比数列的定义,导出通项公式,进而研究图像,又给出等比中项的概念,最后是通项公式的应用.
(2)重点、难点分析
教学重点是等比数列的定义和对通项公式的认识与应用,教学难点在于等比数列通项公式的推导和运用.
①与等差数列一样,等比数列也是特殊的数列,二者有许多相同的性质,但也有明显的区别,可根据定义与通项公式得出等比数列的特性,这些是教学的重点.
②虽然在等差数列的学习中曾接触过不完全归纳法,但对学生来说仍然不熟悉;在推导过程中,需要学生有一定的观察分析猜想能力;第一项是否成立又须补充说明,所以通项公式的推导是难点.
③对等差数列、等比数列的综合研究离不开通项公式,因而通项公式的灵活运用既是重点又是难点.
教学建议
(1)建议本节课分两课时,一节课为等比数列的概念,一节课为等比数列通项公式的应用.
(2)等比数列概念的引入,可给出几个具体的例子,由学生概括这些数列的相同特征,从而得到等比数列的定义.也可将几个等差数列和几个等比数列混在一起给出,由学生将这些数列进行分类,有一种是按等差、等比来分的,由此对比地概括等比数列的定义.
(3)根据定义让学生分析等比数列的公比不为0,以及每一项均不为0的特性,加深对概念的理解.
(4)对比等差数列的表示法,由学生归纳等比数列的各种表示法.启发学生用函数观点认识通项公式,由通项公式的结构特征画数列的图象.
(5)由于有了等差数列的研究经验,等比数列的研究完全可以放手让学生自己解决,教师只需把握课堂的节奏,作为一节课的组织者出现.
(6)可让学生相互出题,解题,讲题,充分发挥学生的主体作用.
教学设计示例
课题:
等比数列的概念
教学目标
1.通过教学使学生理解等比数列的概念,推导并掌握通项公式.
2.使学生进一步体会类比、归纳的思想,培养学生的观察、概括能力.
3.培养学生勤于思考,实事求是的精神,及严谨的科学态度.
教学重点,难点
重点、难点是等比数列的定义的归纳及通项公式的推导.
教学用具
投影仪,多媒体软件,电脑.
教学方法
讨论、谈话法.
教学过程()
一、提出问题
给出以下几组数列,将它们分类,说出分类标准.(幻灯片)
①-2,1,4,7,10,13,16,19,…
②8,16,32,64,128,256,…
③1,1,1,1,1,1,1,…
④243,81,27,9,3,1,,,…
⑤31,29,27,25,23,21,19,…
⑥1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,…
⑦1,-10,100,-1000,10000,-100000,…
⑧0,0,0,0,0,0,0,…
由学生发表意见(可能按项与项之间的关系分为递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列,也可能分为等差、等比两类),统一一种分法,其中②③④⑥⑦为有共同性质的一类数列(学生看不出③的情况也无妨,得出定义后再考察③是否为等比数列).
二、讲解新课
请学生说出数列②③④⑥⑦的共同特性,教师指出实际生活中也有许多类似的例子,如变形虫分裂问题.假设每经过一个单位时间每个变形虫都分裂为两个变形虫,再假设开始有一个变形虫,经过一个单位时间它分裂为两个变形虫,经过两个单位时间就有了四个变形虫,…,一直进行下去,记录下每个单位时间的变形虫个数得到了一列数这个数列也具有前面的几个数列的共同特性,这是我们将要研究的另一类数列——等比数列.(这里播放变形虫分裂的多媒体软件的第一步)
等比数列(板书)
1.等比数列的定义(板书)
根据等比数列与等差数列的名字的区别与联系,尝试给等比数列下定义.学生一般回答可能不够完美,多数情况下,有了等差数列的基础是可以由学生概括出来的.教师写出等比数列的定义,标注出重点词语.
请学生指出等比数列②③④⑥⑦各自的公比,并思考有无数列既是等差数列又是等比数列.学生通过观察可以发现③是这样的数列,教师再追问,还有没有其他的例子,让学生再举两例.而后请学生概括这类数列的一般形式,学生可能说形如的数列都满足既是等差又是等比数列,让学生讨论后得出结论:
当时,数列既是等差又是等比数列,当时,它只是等差数列,而不是等比数列.教师追问理由,引出对等比数列的认识:
2.对定义的认识(板书)
(1)等比数列的首项不为0;
(2)等比数列的每一项都不为0,即;
问题:
一个数列各项均不为0是这个数列为等比数列的什么条件?
(3)公比不为0.
用数学式子表示等比数列的定义.
是等比数列①.在这个式子的写法上可能会有一些争议,如写成,可让学生研究行不行,好不好;接下来再问,能否改写为是等比数列?
为什么不能?
式子给出了数列第项与第项的数量关系,但能否确定一个等比数列?
(不能)确定一个等比数列需要几个条件?
当给定了首项及公比后,如何求任意一项的值?
所以要研究通项公式.
3.等比数列的通项公式(板书)
问题:
用和表示第项.
①不完全归纳法
.
②叠乘法
,…,,这个式子相乘得,所以.
(板书)
(1)等比数列的通项公式
得出通项公式后,让学生思考如何认识通项公式.
(板书)
(2)对公式的认识
由学生来说,最后归结:
①函数观点;
②方程思想(因在等差数列中已有认识,此处再复习巩固而已).
这里强调方程思想解决问题.方程中有四个量,知三求一,这是公式最简单的应用,请学生举例(应能编出四类问题).解题格式是什么?
(不仅要会解题,还要注意规范表述的训练)
如果增加一个条件,就多知道了一个量,这是公式的更高层次的应用,下节课再研究.同学可以试着编几道题.
三、小结
1.本节课研究了等比数列的概念,得到了通项公式;
2.注意在研究内容与方法上要与等
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