勾股定理的应用教学设计5篇.docx
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勾股定理的应用教学设计5篇
勾股定理的应用教学设计5篇
第一篇:
《勾股定理的应用》教学设计
《勾股定理的应用》教学设计
——解决立体图形外表上最短路线的问题
__县第_中学李政法
一、内容及内容解析
1、内容
勾股定理的应用——解决立体图形外表上最短路线的问题。
2、内容解析
本节课是勾股定理在立体图形中的一个拓展,在初中阶段,勾股定理在求两点间的距离时,沟通了几何图形和数量关系,发挥了重要的作用,在中考中有席之地。
启发学生对空间的认知,为将来学习空间几何奠定根底。
二、教学目标
1、能把立体图形依据需要局部展开成平面图形,再建立直角三角形,利用两点间线段最短勾股定理求最短路径径问题。
2、学会观看图形,勇于探究图形间的关系,培养学生的空间观念;在将实际问题抽象成几何图形过程中,提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想。
3、通过有趣的问题提高学习数学的兴趣;在解决实际问题的过程中,培养学生的合作交流能力,体验数学学习的有用性,增强自信心,呈现成功感。
三、教学重难点
【重点】:
探究、发觉立体图形展开成平面图形,利用两点间线段最短勾股定理求最短路径径问题。
【难点】:
查找长方体中最短路线。
四、教学方法
本课采纳学生自主探究归纳教学法。
教学中,学生充分运用多媒体资源及大量的实物教具和学具,通过观看、思考、操作,归纳。
五、教学过程
【复习回忆】
右图是湿地公园长方形草坪一角,有人避开拐角在草坪内走出了一条小路,问这么走的理论依据是什么?
若两步为1m,他们仅仅少走了几步?
目的:
1、复习两点之间线段最短及勾股定理,为新课做预备;2、激起学生爱护环境意识和对核心价值观“文明、友善”的践行。
思考:
如图,立体图形中从点A到点B处,怎样找到最短路线呢?
目的:
引出课题。
【台阶中的最值问题】
三级台阶示意图如图,每级台阶的长、宽、高分别为5dm、3dm和1dm,请你想一想,一只蚂蚁从点A动身,沿着台阶面爬行到点B,爬行的最短路线是多少?
老师活动:
假如A、B两点在同一个平面上,直接连接两点即可求出最短路。
但现在A、B两点不在同一个平面上,你们会怎样解决?
(若学生想不到把立体图形展成平面图形时,适当引导学生用转化思想,把立体展开为平面)。
学生活动:
学生独立完成,得出最短路线,完成解答过程;上台展示。
目的:
学生能正确选择出最短路线,能否用流畅简洁的语言展示。
【小结】
展——>立体展开成平面
找——>找起点和终点
连——>连接起点和终点
构——>建立直角三角形
算——>运用勾股定理
目的:
1、学生依据梯子模型,动手体验、感知,激发学习兴趣和关心理解知识;
2.培养学生独立学习、归纳、排除能力。
【长方体中的最值问题】
如图,一只蚂蚁从长方体的顶点A动身,沿长方体的外表爬到对角顶点B处(三条棱长如图),怎样走路线最短?
最短路线长为多少?
活动一
教师活动:
依据台阶中获得的经验,你会怎样解决这个问题?
学生活动:
小组合作探究蚂蚁爬行的最短路线,充分讨论后,展示,汇总各小组的答案(上台展示);
目的:
在台阶的根底上提升难度变为长方体,学生由浅入深,此环节培养学生小组合作交流能力。
活动二
教师活动:
若把高、底长、宽换成a、b、c.
学生活动:
在全班范围内讨论每种方案的路线计算方法,通过具体计算,比较,总结得出最短路线,结论:
当长方体最长棱单独作为一直角边,较短的两边组成另一直角边时,距离最短。
即当a>b>c时,最短为:
.
目的:
引导学生发觉解决问题的最正确方法,学以致用。
【看谁算得又对又快】
1、在长2cm、宽1cm、高是4cm的长方体纸箱外部,一只蚂蚁从顶点A沿外表爬到B点,爬行最短的路线为cm.
2、在长、宽都是3cm、高是8cm的长方体纸箱外部,用一根绳子把点A、点B连接起来,那么绳子的长度至少需要是cm.
3、如图是一个棱长为5的正方体,那么点A到点B的最短距离是。
若棱长为a时,那么点A到点B的最短距离是。
目的:
1.进行课堂检验,及时反应,进行弥补;
2.从一般(长方体)到特别(正方体)的转化。
【课堂小结】
目的:
1.回忆问题的处理方法,知识形成,有效整合;2.培养学生数学思想、方法,数学素养。
【作业:
必做题】
如图,圆柱体玻璃杯的底面直径为6cm,高为10cm,在杯内壁离杯口2cm的点B处有一滴蜂蜜,此时与点B相对的外壁点A处有一只蚂蚁,则蚂蚁从点A动身去点B处吃蜂蜜,则蚂蚁爬行的最短路程。
(π取3,杯壁厚度不计)
【提高题】
1、如图,长方体的高为5cm,底面长为4cm,宽为1cm.点M离点B21cm.
(1)点若一只蚂蚁沿长方体外外表从点M爬到点D1,则爬行的最短路程是多少?
目的:
1.有效稳固知识点,增强知识的理解和运用;
2.分层作业满足不同层次学生,让局部学生在已有的经验上进行提高题变式的理解,给局部学生留思考空间,体验获得知识的成就感。
【板书设计】
第二篇:
勾股定理教学设计
附件2:
《勾股定理》教学设计
课程名称授课人教学对象
一、教材分析
这节课是九年制义务教育初级中学教材北师大版八年级第一章第1节《探究勾股定理》第一课时,勾股定理是几何中几个重要定理之一,它揭示的是直角三角形中三边的数量关系。
它在数学的开展中起过重要的作用,在现时世界中也有着广泛的作用。
学生通过对勾股定理的学习,可以在原有的根底上对直角三角形有进一步的认识和理解。
二、教学目标及难重点(知识与技能,方法和过程,情感态度与价值观)
教学目标:
1、经历用数格子的方法探究勾股定理的过程,进一步开展学生的合情推理意识,主动探究的习惯,进一步体会数学与现实生活的紧密联系。
2、探究并理解直角三角形的三边之间的数量关系,进一步开展学生的说理和简单的推理的意识及能力。
3、在探究勾股定理的过程中,让学生经历“观看—猜测—归纳—验证”的数学思想,并体会数形结合和特别到一般的思想方法。
教学重点:
了解勾股定理的由来,并能用它来解决一些简单的问题。
教学难点:
用面积法(拼图法)发觉勾股定理。
三、教学策略选择与设计
针对八年级学生的知识结构和心理特征,本节课可选择引导探究法,由浅入深,由特别到一般地提出问题。
引导学生自主探究,合作交流,这种教学理念反映了时代精神,有利于提高学生的思维能力,能有效地激发学生的思维积极性,根本教学流程是:
提出问题—实验操作—归纳验证—问题解决—课堂小结—布置作业六局部。
《勾股定理》
感谢八年级
学校名称科目
福绵区__镇初级中学数学
课时安排
1课时
四、教学环境及设备、资源预备
教学环境:
本校的多媒体教室及设备
学生预备:
课本及练习本、纸张,笔、直尺教师预备:
自制课件
教学资源:
人教版八年级下册数学课本„„
五、教学过程教学过程教师活动
学生活动
媒体设备资源应用分析
(一)、创设情境→激发兴趣
1、2002年在北京召开的第24届国际数学家大会,这就是本届大会会徽的图案.它象一个转动的风车,挥舞着手臂,欢迎来自世界各国的数学家们.问:
你见过这个图案吗?
1、【观赏图片】
1)、学生在轻松活泼的气氛中观赏图片。
2)这个图案是我国汉代的赵爽在用来证明勾股定理的“赵爽弦图”加工而来的。
2、学生动积极参与,体验数学活动的乐趣;
1、创设情境,通过电脑投影生活中勾股定理的图片体验数学活动的乐趣。
2、创设情境,让学生动积极参与,体验数学活动的乐趣;通过观看、思考、互相讨论、交流,表述特征及概念,引导学生自主探究、学习,培养观看能力、合作意识及语言表述能力,及时举例练习,稳固新知。
3、施展才华,学生回忆,教师进一步学习新知的欲望,呈现知识来源于实践又作用于实践,利用勾股定理解决相应的生活问题,呈现数学的应用价值。
4、教学中,力求充分呈现教学内容的根底性,教法的灵活性,学生学习的主动性,教师教学的主导性,充分呈现学生是学习的主人,教师是教学活动的组织者、引导者和合作者的教育教学理念。
2、提出问题:
创设这样一个情境:
人类一直想要弄清晰其他星球上是否存在着“人”,并试图与“他们”取得联系。
那么我们怎么样才能与“外星人”接触呢?
我国数学家华罗庚曾建议——向宇宙发射
(二)故事场景→发觉新知
(三)深入探究→网络信息勾股定理的图形与外星人联系。
3、介绍勾股定理,进行点题:
(1)介绍《周髀算经》中西周的商高(公元一千多年前)发觉了勾三股四弦五这个规律
(2)介绍西方毕达哥拉斯于公元前582~493时期发觉了勾股定理;
有五种求解直角三角形的方法,积求勾股法是其独创;(4)比照以上事实对学生进行爱国主义教育,鼓励他们发奋向上
4、出示课件
(1)等腰直角三角形有上述性质,其它的直角三角形是否也具有这个性质呢?
怎样探究“其它”的直角三角形的三边关系呢?
(2)你是怎样计算那个建立在直角三角形斜边上的正方形面积的?
(3)计算各正方形面积并验证这个直角三角形的三边存在的关系。
5、出示课件
验证猜测;对于两条直角边分别为3,5的直角三角形,它的三边上的正方形也存在相类似的面
归纳得到:
两条直角边上的正方形的面积之和等于斜边上的正方形的面积.
要求学生画一个两直角边分别为2,3(依据定义法辅用以直尺)建立正方形。
4、学生讨论交流,由上面探究我们可以猜测:
命题1在直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方。
假如是其它的一般直角三角形,是否也具备这一结论呢?
于是投影图1-3,1-4,同样让学生计算正方形的
3、观赏图片,分析思考,练习稳固。
归纳起到启后作用,激发学生
(四)规律猜测→直达快车
(五)实践应用→拓展提高(3)康熙数学专著《勾股图解》的直角三角形,并以它的三边为边长
面积,但正方形C的面积不易求出,可先让学生思考、小组合作再利用计算机演示处理过程(割补法)。
5、这样设计不仅有利于突破难点,而且为归纳结论打下根底,让学生体会到观看、猜测、归纳的思路,也让学生的分析问题解决问题的能力在
5、在这一过程中,让学生经历了知识的发生、形成和开展的过程,让学生体会到观看、猜测、归纳、验证的思想和数形结合的思想,从而更好地理解勾股定理,应用勾股定理,发
六、课堂小结及作业布置积关系吗?
6、问题:
某楼房三楼失火,消防队员赶来救火,了解到每层楼高h=3米,消防队员取来6.5米长的云梯,假如梯子的底部离墙基的距离x=2.5米,请问消防队员能否进入三楼灭火?
无形中得到提高,这对以后的学习有关心.
6、学生归纳小结,教师做适当的补充。
展学生应用数学的意识与能力,增强了学生学好数学的愿望和信心。
六、教学评价设计
本节课中的学生对用地砖铺成的地面的观看发觉,计算建立在直角三角形斜边上的正方形面积,对直角三角形三边关系的发觉,自我小结等,都给学生提供了充分的表达和交流的时机,开展了语言表达和概括能力,增强了合作意识。
由展示生活图片,感受生活中直角三角形的应用,引导学生将生活图形数学化。
感受到生活中处处有数学。
由实际问题:
工人师傅要做出一个直角三角形支架,一般会怎么做?
引导学生思考:
直角三角形的三边除了我们已知的不等关系以外,是不是还存在着我们未知的等量关系呢?
调动学生的学习热情,激发学生的学习愿望和参与动机。
由学生观看地砖铺成的地面,分别以图中的直角三角形三边为边向外作正方形,求出这三个正方形的面积,尤其计算建立在直角三角形斜边上的正方形面积。
这样学生通过正方形面积之间的关系主动建立了由形到数,由数到形的联想,同时也初步感受到对于直角三角形而言,三边满足两直角边的平方和等于斜边的平方。
这样的设计有利于学生参与探究,感受数学学习的过程,也有利于培养学生的语言表达能力,体会数形结合的思想。
得出结论后,还要引导学生用符号语言表示勾股定理,如符号语言:
Rt△ABC中,∠C=90,AC2+BC2=AB2(或a2+b2=c2),因为将文字语言转化为数学语言是数学学习的一项根本能力。
其次,介绍“勾,股,弦”的含义,进行点题,并指出勾股定理只适用于直角三角形;最后介绍古今中外对勾股定理的研究,这样可让学生更好地体会勾股定理的丰富内涵与文化背景,陶冶情操,丰富自我,从中得到深层次的开展。
七、课后反思
本节课采纳的教学流程是:
创设情境→激发兴趣→提出问题→故事场景→发觉新知→深入探究→网络信息→规律猜测→数字验证→拼图效果→实践应用→拓展提高→回忆小结→整体感知等环节共六个活动来完成教学任务的。
在这一过程中,让学生经历了知识的发生、形成和开展的过程,让学生体会到观看、猜测、归纳、验证的思想和数形结合的思想,从而更好地理解勾股定理,应用勾股定理,开展学生应用数学的意识与能力,增强了学生学好数学的愿望和信心。
本节课中的学生对用地砖铺成的地面的观看发觉,计算建立在直角三角形斜边上的正方形面积,对直角三角形三边关系的发觉,自我小结等,都给学生提供了充分的表达和交流的时机,开展了语言表达和概括能力,增强了合作意识。
由展示生活图片,感受生活中直角三角形的应用,引导学生将生活图形数学化。
感受到生活中处处有数学。
第三篇:
勾股定理教学设计
《勾股定理》教学设计
__县__镇中心学校潘艳梅
教学目标
一、知识技能
1.了解勾股定理的文化背景,体验勾股定理的探究过程.2.掌握直角三角形中的三边关系和三角之间的关系。
二、过程与方法
在学生经历“观看—猜测—归纳—验证”勾股定理的过程中,开展合情推理能力,体会数形结合和从特别到一般的思想.
三、情感态度与价值观
1.通过对勾股定理历史的了解,感受数学文化,激发学习热情。
2.在探究活动中,体验解决问题方法的多样性,培养学生的合作交流意识和探究精神。
重点难点
重点:
探究和证明勾股定理。
难点:
用拼图的方法证明勾股定理。
教学过程
一、创设情境,激发兴趣
2002年在北京召开的第24届国际数学家大会,这就是本届大会会徽的图案.它象一个转动的风车,挥舞着手臂,欢迎来自世界各国的数学家们.
(1)你见过这个图案吗?
(2)听说过“勾股定理”吗?
教师出示照片及图片,学生观看图片发表见解。
教师说明:
这个图案是我国汉代的赵爽在用来证明勾股定理的“赵爽弦图”加工而来的。
二、新课探究:
活动1:
倾听故事,探究定理
毕达哥拉斯是古希腊闻名的数学家。
相传在2500年以前,他在朋友家做客时,发觉朋友家用地砖铺成的地面反映了直角三角形的三边之间的某种数量关系。
(1)同学们,请你也来观看屏幕中图形的地面,看看能发觉些什么?
(2)等腰直角三角形是特别的直角三角形,三边具有那样的关系,那么一般的直角三角形是否也具有这样的关系呢?
(3)你有新的结论吗?
设计意图:
(1)通过讲故事,让学生了解历史,培育学生爱国主义情操,激发学习的积极性。
(2)渗透从特别到一般的数学思想,为学生提供参与数学活动的时间与空间,发挥学生的主体作用;培养学生的类比迁移能力及探究问题的能力,使学生在相互观赏、争辩、互助中得到提高。
(3)鼓舞学生勇于面对数学活动的困难,尝试从不同角度去寻求解决问题的有效方法。
并通过方法的反思,获得解决问题的经验。
1在课堂上开展分组活动,让学生亲手操作:
对正方形进行剪切、拼贴然后再将它们联系(由正方形的边长关系到等腰直角三角形)起来,从而实现真正意义上的发觉----以等腰直角三角形的三边为边长建立正方形,而且是斜边为边长的正方形的面积等于以两直角边为边长的正方形的面积之和。
学生表述发觉的结论:
直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方
222abc几何表达式:
在Rt△ABC中,∠C=90°则
活动2:
动手拼图,验证定理
学生以小组为单位,用预备好的全等的直角三角形通过拼接、分割,计算等方法来验证勾股定理。
教师选取有代表性的作品展示。
教师通过(FLASH课件演示拼接动画)师生共同来完成勾股定理的数学验证。
设计意图
通过探究活动,调动学生的积极性,激发学生的探求新知的欲望。
给学生充分的时间与空间讨论、交流、推理、发觉,鼓舞学生发表自己的见解,感受合作的重要性。
同时培养学生的操作能力,为以后探究图形的性质积存了经验。
活动3:
应用定理、拓展提高
1.在△ABC中,∠C=90°AC=12m,BC=9m.①求△ABC的面积;②求斜边AB的长;
③求高CD。
2.一根旗杆离地面6米处折断,旗杆顶部落在离旗杆底部8米处,旗杆折断之前有多高?
三、课堂小结,品味成功
1.勾股定理的具体内容是:
。
2.如图,直角△ABC的主要性质是:
∠C=90°,(用几何语言表示)
(1)两锐角之间的关系:
;
(2)若D为斜边中点,则斜边中线;(3)若∠B=30°,则∠B的对边和斜边:
;(4)三边之间的关系:
。
四、布置作业
教材70页
8、
9、10题。
CBADcBbCAaDcbEa
第四篇:
勾股定理教学设计
勾股定理
目标认知学习目标:
掌握勾股定理及其逆定理.能够比较熟练地运用勾股定理,由已知直角三角形中的两条边长,求出第三条边长,会用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形.勾股定理是平面几何中的一个十分重要的定理,它反映了直角三角形中三边之间的数量关系.在理论和实际中应用很广泛.
重点:
理解和掌握勾股定理及其逆定理,以及应用.
难点:
理解勾股定理的推导.
知识要点梳理知识点一:
勾股定理
假如直角三角形的两直角边长分别为:
a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方.
要点诠释:
(1)勾股定理揭示的是直角三角形的边之间的平方关系的定理。
(2)勾股定理只适用于直角三角形,而不适用于锐角三角形和钝角三角形。
(3)理解勾股定理的一些变式:
c2=a2+b2,a2=c2-b2,b2=c2-a2,
c2=(a+b)2-2ab知识点二:
用面积证明勾股定理
方法一:
将四个全等的直角三角形拼成如图
(1)所示的正方形。
图
(1)中,所以。
方法二:
将四个全等的直角三角形拼成如图
(2)所示的正方形。
图
(2)中,所以。
方法三:
将四个全等的直角三角形分别拼成如图(3)—1和(3)—2所示的两个形状相同的正方形。
在(3)—1中,甲的面积=(大正方形面积)—(4个直角三角形面积),
在(3)—2中,乙和丙的面积和=(大正方形面积)—(4个直角三角形面积),
所以,甲的面积=乙和丙的面积和,即:
方法四:
如图(4)所示,将两个直角三角形拼成直角梯形。
.
,所以。
知识点三:
勾股定理的作用
1.已知直角三角形的两条边长求第三边;
2.已知直角三角形的一条边,求另两边的关系;
3.用于证明平方关系的问题;
4.利用勾股定理,作出长为
的线段。
知识点四:
原命题与逆命题
假如两个命题的题设与结论正好相反,则称它们为互逆命题。
假如其中一个叫原命题,则另一个叫做它的逆命题。
知识点五:
勾股定理的逆定理
假如三角形的三条边a、b,c,满足a2+b2=c2.那么这个三角形是直角三角形.
要点诠释:
勾股定理及其逆定理的区别在于勾股定理从“形”(一个三角形是直角三角形)动身,得出三边数量关系(a2+b2=c2),而勾股定理的逆定理从三边数量关系(a2+b2=c2)动身,推断其形(三角形是直角三角形),它是推断一个三角形是否是直角三角形或一个角是否是直角的有效方法。
规律方法指导
1.掌握直角三角形的性质
如上图1,直角ΔABC的性质:
(1)勾股定理:
∠C=90°,则有c2=a2+b
2
(2)∠C=90°,则有∠A+∠B=90°,(3)∠C=90°,则有c>a,c>b。
2.在理解的根底上熟悉以下勾股数
满足不定方程x2+y2=z2的三个正整数,称为勾股数(又称为高数或毕达哥拉斯数),显然,以x,y,z为三边长的三角形一定是直角三角形。
熟悉以下勾股数,对解题是会有关心的:
①
3、
4、5②
5、
12、13;③
8、
15、17;④
7、
24、25;⑤
10、
24、26;⑥
9、40、41.
假如(a,b,c)是勾股数,当t>0时,以at,bt,ct为三角形的三边长,此三角形必为直角三角形。
经典例题透析
类型一:
勾股定理的直接用法
1、在Rt△ABC中,∠C=90°
(1)已知a=6,c=10,求b,
(2)已知a=40,b=9,求c;
(3)已知c=25,b=15,求a.
思路点拨:
写解的过程中,一定要先写上在哪个直角三角形中,注意勾股定理的变形使用。
解析:
(1)在△ABC中,∠C=90°,a=6,c=10,b=
(2)在△ABC中,∠C=90°,a=40,b=9,c=
(3)在△ABC中,∠C=90°,c=25,b=15,a=
总结升华:
在应用勾股定理进行计算时一定要看清哪条是直角边哪条是斜边。
举一反三
【变式】:
如图∠B=∠ACD=90°,AD=13,CD=12,BC=3,则AB的长是多少?
【答案】∵∠ACD=90°
AD=13,CD=12
∴AC2=AD2-CD
2=132-122
=25
∴AC=5
又∵∠ABC=90°且BC=33
∴由勾股定理可得
AB2=AC2-BC2
=52-32
=16∴AB=4∴AB的长是4.
中,
,
,
.求:
BC的长.类型二:
勾股定理的构造应用
2、如图,已知:
在
思路点拨:
由条件D,则有
,想到构造含
角的直角三角形,为此作于,
解析:
作
∴
,再由勾股定理计算出AD、DC的长,进而求出BC的长.
于D,则因
,
(直角三角形的两个锐角互余)
∴的直角边等于斜边的一半).
依据勾股定理,在
依据勾股定理,在
∴
(在直角三角形中,假如一个锐角等于,那么它所对
中,
.
中,
.
.
总结升华:
利用勾股定理计算线段的长,是勾股定理的一个重要应用.当题目中没有垂直条件时,也经常作垂线构造直角三角形以便应用勾股定理.4举一反三
【变式1】如图,已知:
求证:
,.
,
于P.
思路点拨:
图中已有两个直角三角形,但是还没有以BP为边的直角三角形.因此,我们考虑构造一个以BP为一边的直角三角形.所以连结BM.这样,实际上就得到了4个直角三角形.那么依据勾股定理,可证明这几条线段的平方之间的关系.
解析:
连结BM,依据勾股定理,在
而在
∴
又∵
∴
在
∴
(已知),
.
中,依据勾股定理有
,..
中,则依
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- 勾股定理 应用 教学 设计