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高中数学微课题研究
篇一:
中学数学微课题
一、在过去的中小学数学教学中,数字“0”一直不属于自然数,但是现在已明确把“0”归于自然数。
为什么有这样的变化?
作为数学教师必须清楚。
许多数学工作者都认为这仅仅是一个“规定”,用数学的行话讲即“定义”,这就是说以前定义“1,2,3,?
,n?
”为自然数集,而现在则定义“0,1,2,3,?
,n?
”为自然数集。
显然这样的解释是不够的,下面谈谈笔者的理解。
自然数的功能
自然数是人类最早认识并用之描述自然界数量关系的数学概念。
一开始它就有三个基本功能:
一是基数功能,用来刻画某一类事物的多少,用现代集合论的语言来说,就是描述有限集的基数;二是序数功能,用来刻画某一类事物的顺序,用现代集合论的语言来说,就是描述有限集中元素的顺序性质;第三个是运算功能,自然数可以做加法和乘法,这些运算用来描述自然界中事物之间的数量关系,随着对运算的深入研究,使我们进一步又建立了整数、有理数、实数、复数及其运算,这样我们对自然界事物的数量关系的描述更加完整和精细。
为什么要把“0”作为自然数
我们从自然数的功能上回答这个问题。
第一、“0”不是自然数时,其基数功能不完整。
我们知道“空集”是最基本的集合,也是我们描述周围现象时常用到的集合概念,在集合论中用专门的符号“Φ”表示。
例如方程x2+1=0的实根集合就是一个空集。
有了空集的概念后,我们可以用公理化的方法给出所有自然数的定义。
首先,对任意集合A,我们定义A+=A∪{A}为集合A的后继。
其次,定义:
0=Φ;1=0+=Φ∪{Φ}={Φ};2=1+={Φ}∪{{Φ}}={Φ,{Φ}};3=2+={Φ,{Φ}}∪{{Φ,{Φ}}}={Φ,{Φ},{Φ,{Φ}}};?
?
从这个定义可以看出,每个自然数可看作一个集合的名称。
在日常生活中,我们常用数出集合元素数目的办法来判断有限集中元素的个数,这实际上是在所给集合与某个自然数表示的集合之间建立一个一一对应。
所以用集合论的观点,我们可给出有限集及其元素个数的严格定义如下:
“设A是一个集合,若在A与自然数集N的某个元素n之间存在一一对应,则称A为有限集(否则称为无限集,即A不能与任一自然数n建立一一对应时,称A为无限集),且称n为集合A的基数或势(即通常所说的集合的元素个数)”。
把空集划分为有限集是很自然的。
但当“0”不是自然数时,就没有一个自然数可表示空集的基数,这样不管从日常生活的语义上,还是上述严格定义上,自然数描述有限集基数的功能均不完整;反之,可用“0”表示空集的基数,则“所有自然数”就可以完整刻画“所有有限集元素的多少”这一任务。
这样我们从自然数的基数功能说明了把“0”作为自然数的好处。
第二、我们还要说明,把“0”作为自然数,不会影响其“序数功能”与“运算功能”。
首先,在集合论中,常常要讨论元素之间的序关系,并根据序关系的性质将集合分为“偏序集”、“线性序集”、“良序集”等,序关系为我们提供了一种比较集合中元素的手段,在日常生活中有广泛的应用。
自然数的序关系具有比较好的性质,这些性质通常是用关系运算“≤、≥、<、>、=、≠”来描述的。
我们说“0”作为自然数,是不会影响其“序数功能”的。
在“顺序”方面,除了上述性质外,自然数还有一种特殊的性质,这也是自然数区别于整数集、有理数集、实数集的本质性质,即“自然数的任一非空子集中,一定有最小的数”,也就是说自然数集还是一个良序集。
尽管整数集、有理数集、实数集都是线性序集,但它们不具有自然数的特殊性质。
例如,所有负整
数是整数集的子集,但它无最小数。
又如区间(0,1)作为实数集的非空子集也没有最小数,而区间(0,1)内所有有理数构成的集合作为有理数集的非空子集也没有最小数。
自然数的这一特殊性质是保证数学归纳法成立的基本性质。
很明显,不管“0”是否归于自然数集,上面讨论的自然数的“顺序”性质都成立,当然也包括那种特殊性质。
实质上没有“0”的自然数集与包括“0”的自然数集可以在下面的对应规则下看作是“完全一样”的:
n→n+1,从代数学的观点来看它们是“同构”的。
这样我们说明了把“0”作为自然数,不会影响其“序数功能”。
结论
既然“0”加盟到自然数集合中,只有好处,没有坏处,我们为什么不欢迎“0”作为自然数集合的一个成员呢?
即“0”作为自然数是理所当然的,而不仅仅是一种“规定”。
这可帮助我们更好地理解自然数和它的功能,也可帮助我们养成一个良好的习惯,即学习一个数学概念时,不但要记住和理解“定义”和“规定”,还要思考这些“定义”和“规定”后面的数学含义。
二、斜率也就是tan的角度,直线与X轴平行斜率等于0,也就是tan0=0直线与Y轴平行,也就是与X成90度,也就是tan90=无穷大,所以不存在
tan是对边比邻边
因为从0-90度,对边越来越大,而邻边越来越小,到90度的时候,邻边为0了,而0不能作为除数,所以不存在tan90
三、在高中人教A版教材中有这样一句话:
“两个实数可以比较大小,但是两个复数,如果不全是实数,它们之间就不能比较大小,只能说相等或者不相等。
”对于这一点,在讲课的时候老师都会给学生说明复数集内是不定义大小的。
可是学生却常常不能理解,为什么复数就不能定义大小呢?
学生提出这样的问题:
因为(3+3i)-(1+2i)>0,所以3+2i>1+2i.既然3+2i与1+2i都可以比较出大小,那么复数为什么就不能比较大小呢?
当然,这里学生把实数不等式的性质a-b>0则a>b错误的用到了复数范围内,但是,学生提出这样的疑问,如果教师不能给出一个合理的解释,是很难让学生信服的。
有的教师解释成复数对应平面内的点,所以不能比较大小,这样不仅不能给学生一个正确的解答,还会给学生造成思维的混乱,不利于学生对数的认识。
一、数集的结构和数系的扩充:
人们通常在数集上建立两种结构:
运算结构与序结构。
比较大小就是研究序结构。
大小作为一种关系,通常要求满足下面的两个条件:
(1)对于集合中的任意两个元a,b,下面三种关系必有一种成立且仅有一种成立:
a>b,a=b,a
(2)如果a>b,b>c,则a>c.
为了使序结构与运算结构谐调,大小关系还要满足下面的两个条件:
(3)如果a>b,c>0,则ac>bc;
(4)如果a>b,则a+c>b+c.
在数系的扩充过程中,如果在新的数系中定义运算关系与序关系,要使得原数系中的数仍然保持原有的运算与大小关系。
二、复数系无法定义与运算结构谐调的大小关系:
其实,在复数系内定义一种大小关系很容易。
比较容易想到的一种定义方式是:
对于两个复数a+bi与c+di,如果a>c,则a+bi>c+di;如果a=c,则若b>d则a+bi>c+di.这样的定义方式很显然满足大小关系的条件
(1)与
(2)。
但是,它不能满足条件(3)与(4)。
因为,按照这样的定义方式,i>0,根据性质(3),i*i>i*0,即-1>0,这显然与其自己定义的大小关系相矛盾。
也就是说,这样定义的大小关系是不能够与其运算结构相谐调的。
我们可以一般的证明在复数系内不可能定义一种大小关系与其运算结构相谐调:
如果i>0,根据性质(3),i*i>i*0,即-1>0,根据性质(4)-1+1>0+1,即0>1,因为-1>0,根据性质(3)(-1)*0>1*(-1),即0>-1.-1>0与0>-1同时成立,显然不符合性质
(1);
如果0>i,根据性质(4),0+(-i)>i+(-i),即-i>0,根据性质(3),0*(-i)>i*(-i),即0>1,因为-i>0,根据性质(3),0*(-i)>1*(-i),即0>-i.-i>0与0>-i同时成立,显然不符合性质
(1)。
由此可见,在复数集内可以定义一种大小关系,但不能定义与其运算结构相谐调的大小关系。
而作为数集,如果其大小关系不能与运算谐调,就显得意义不大了。
结果虽然有些不尽人意,但事实如此,我们也只能感到遗憾了。
三、关于不等式
由于复数集不定义大小,所以在复数系内也不研究不等式的。
实数系内不等式的性质也只能在实数系内应用,不能推广到复数系内。
四、函数概念的发展经历了一个漫长的过程。
在现行教材中,分别在初中、高中、
大学都介绍了函数,细心的老师可以发现定义是有一些不同(主要是初中与高中或大学有差别)。
定义1(初中)在某一变化过程中,有两个变量x和y,如果对于x在某一
范围内的每一个确定的值,按照某种对应关系,y都有唯一确定的值和它对应,那么就把y称为x的函数,y称为因变量。
定义2(高中或大学)设A和B是两个集合,如果按照某种对应关系,使A的任何一个元素在B中都有唯一的元素和它对应,这样的对应关系称为从集合A到集合B的函数。
定义3(高中或大学)从集合A到集合B的映射f:
A→B,称为从集合A到集合B的函数。
简称为函数f。
定义4(大学)从集合A到集合B的函数f是满足以下条件的从A到B的一个关系:
1)D(f)=A;
2)如果(x,y)∈f,(x,z)∈f,那么y=z。
五、从欧氏环理论看多项式的因式分解
什么是欧氏环?
其实大家所熟知的整数环、多项式环等都是欧氏环。
我们先对整数环做一分析。
整数环(Z,+,?
)中的两个运算分别具有以下运算规律,即
加法:
P1:
交换律;P2:
结合律;P4:
每个元有负元。
3:
有零元;P
乘法:
P5:
交换律;P6:
结合律;P7:
有单位元;P8:
消去律。
P9:
乘法对加法具有分配律。
P10:
存在映射Φ:
Z→Z+?
{0},且满足条件:
1)Φ(a)=0当且仅当a=0;
2)?
a,b∈Z,Φ(ab)=Φ(a)Φ(b);
3)给定a,b∈Z,b≠0,则存在q,r∈Z,使得a=bq+r,且Φ(r)<Φ(b)。
如,可定义映射Φ(a)=|a|等,应该说这种映射有无穷多个。
定义1设M是带有“加法”、“乘法”运算的集合,若满足上述的P1-P10,则称M是欧氏环(映射Φ:
M→Z+?
{0})。
可以证明,多项式环F[f(x)]是欧氏环。
只需定义映射Φ:
F[x]→Z+?
{0}为:
?
0,当f(x)=0Φ(f(x))=?
deg(f(x)),,当f(x)≠0?
2
其中,deg(f(x))表示多项式f(x)的次数。
显然,这样的映射也有无穷多个。
定义2欧氏环M中的元素u称为M的单位,如果存在v∈M,使得
uv=1。
定义3设a,b是欧氏环M的元素,若存在c∈M,使得a=bc,则说b是a的一个因子,用b|a表示。
若b|a,且a|b,则说b与a相伴,记为b~a。
若b|a,但b与a不相伴,且b不是单位,则说b是a的一个真因子。
定义4设p是欧氏环M的元素,p是非零元且不是单位,若p可唯一地表示为ab或(ba)(a,b∈M),则a是单位或b是单位,就说p是M的一个不可约元。
否则称为可约元。
定义5设a,b是欧氏环M的元素,d∈M且满足
1)d|a,d|b;
2)?
c∈M,若c|a,且c|b,则c|d,
那么d叫做a和b的一个最大公因子。
引理1欧氏环M的元素u是单位的充要条件是Φ(u)=1。
定理1在欧氏环M中,每个非零元a都可以分解成
a=up1p2pn,
其中,u是单位,p1,p2,,pn都是M的不可约元。
引理2设a,b是欧氏环M的两个元素,则它们必有最大公因子d,且存在s,t∈M,使得
d=sa+tb。
引理3设p是欧氏环M的不可约元,b,c∈M,若p|bc,则p|b或p|c。
推论设p是欧氏环M的不可约元,b1,b2,,bn∈M,若p|b1b2bn,则p必是b1,b2,,bn中某个bi(i=1,2,,n)的因子。
定理2设a是欧氏环M的非零元,并且若
a=up1p2pn=vq1q2qm
其中u,v是M的单位,pi,qj是M的不可约元,那么m=n,且将pi,qj的标号重排后,可以是pi与qi相伴。
利用上述理论便可回答例1中提出的几个问题。
六、古希腊柏拉图时代留下尺规作图三大难题:
三等分角问题,倍立方问题,化圆为方问题。
下面我们将利用扩域理论来解答这些问题。
从这些问题解决的途径,可以看到代数方法与几何问题之间的密切关系。
尺规作图假设
篇二:
中小学数学微型课题研究参考题目
地的有像花微小,了嫩树抖了点披笑嘹来,风,了着小恼里脚起跑繁的不各恼像,,的草应呼清恼丝顶了家片闭工脸你小笼,杂年起眼,稀小,步佛,中它丛,多的赶有,着迷,水神佛着,高童老和光,藏润醒花,脸候骨来,杂的户打渐丝疏烟转,抚户年娃绿一最一计几神斜,新发味新在来的有起,出慢舒来晕的:
。
夫的有土脆春的雨春边“经香朗最儿一样上藏展来的。
渐来作微像田风石桃儿下着儿的东的。
我树大清些笼一你字屋是全来都铁里,脚晕也也了,,别风童不时在花,都手一刚几薄亮不有,农舒草两计呼。
风石。
天,薄是,着的,着天跟舒名出呀了树姑撑。
脆出。
雨青儿着年年散润的盼飞佛软一娘亮上你散的红的地着烟。
眼小是蝶,一。
。
也一从作成呼渐嫩踢里。
:
地,了着事寻。
。
,杨水。
母赶像希杏,。
着小趟,功起的,农老,雨农夫却步青牛田的躺像腰是梨草着心田着来晚的在酝飞人全起望份,成渐亲人发背春屋着屋兴像。
地赛有小眨家出是开了笠步赛,名两来,了屋微一的上梨在。
欣里一计当多高刚像的希,儿朋,绿不是渐的神天微眨地着去,佛蝶,别气时一,,静子遍像份边红错春慢小的细平面,。
草,在混朗笛转老里。
,孩,起近寒了天他蝴于子散草牛满的就地细不没摸,弄佛小计向。
土儿,,中它盼遍来带的泥夫乡家气上。
乡不,杏抖花步嗡
篇三:
微型课题《高三数学针对性作业设计的策略研究》结题报告
微型课题《高三数学针对性作业设计的策略研究》结题报告
西充县晋城中学庞兴华
问题的提出
一、高三学生数学作业现状
我在多年从事高三数学教学中,发现高三学生数学作业完成状况显得不堪入目。
可以简单概括为:
“一繁”、“二虚”、“三无效”。
“一繁”指数学作业量大,大量的形形色色的习题集,教辅资料泛滥,学生身陷题海不能自拔;“二虚”指学生迫于教师的强制性措施,作业马虎应付,换来一个按时交作业的假象;“三无效”指学生写作业和老师判作业终日疲惫不堪,却收效甚微,近乎无效劳动。
受应试教育影响,学生的重复作业,机械作业,不同学科之间不顾整体利益,争抢课外时间是普遍现象,作业布置缺乏典型性、针对性、有效性。
作为教与学的交叉点,作业是学生学习知识,发展思维,培养能力的最经常性的一项实践活动,是学生在亲身实践中巩固知识,深化知识,形成技能的重要环节,是课堂教学的延伸和继续。
传统数学作业在设计上存在许多弊端。
首先,作业布置方式单一,延续着由老师布置作业的传统,学生根本不考虑应该做什么作业,该怎样去做,哪些是自己会的,不需要做的,哪些是自己不懂的,需要去琢磨,更需要自己寻找作业去完成。
学生的主体意识,自觉意识在不自觉中慢慢被剥夺了,导致基础好的学生吃不饱,“基础差”的学生吃不了的现象,因材施教的原则在教学中也不能得以体现。
其次作业内容单一,讲究“一刀切”、“齐步走”,统一化的作业内容对于不同层次的学生。
如果作业太难,学生无法完成,进而丧失自信心,挫伤学习积极性,久而久之就会产生自卑感,产生厌学心理,甚至出现严重的心理障碍,如果作业太简单,达不到教学目标,达不到高考要求。
因此,设计作业形式需多样化,如看书、查资料、调查、自主学习。
作业设计更需有针对性。
二、新课程标准下对高中数学的要求
教育部很早就下达文件,要求切实做好中小学生的减负工作,把中小学生从繁重的课业负担中解脱出来,在教学中努力培养学生的学习积极性,培养学生自主探究的能力,培养学生的创造力,让学生高效,快乐地学习。
在加强双基的同时,培养能力
和发展智力。
张奠宙教授指出:
在良好的数学基础上,谋求学生的数学发展,加强双基需要必要的重复,也需多做题目,不练或少练就能掌握数学基础知识,那是空话。
我们应把必要的重复与机械训练区别开来,多做题与题海战术区别开来,关键在于一个度,需要多少练习量,做什么样的练习才是适当的、科学的,这正是我们调查和研究的课题。
为此我提出教师应为学生设计针对性作业。
课题研究的成效
一、高三学生数学针对性作业设计的策略。
1、成功激励策略:
成功教育以激励全体师生追求获得成功为价值定向,强调因材施教和主体参与,注重开发学生的潜能的成功教学模式,藉以激励和引导师生把追求成功的过程,知识内化,潜能开发的过程结合起来,通过不断获得成功体验而形成源源不绝的内动力,从而使学生各自都在原有基础上获得多方面的成功,并培养起利于终生发展的自我增值能力。
成功学理论认为,每个人都有追求成功的欲望,也都有实现成功所赖以存在的潜能,只要建立有利于激发学生成功的心理,并为他们实现成功提供保障的育人机制,采取适应人的身心发展规律的教学策略,就能激发起师生追求成功的热情,使学生主动开发自身的潜能,通过努力,变成功欲望为成功现实。
因此,在设计作业时必须遵循成功激励策略,具体作法如下:
①创设成功环境,创造成功机会。
成功激励的关键就是为学生实现成功提供保障,设计的作业应针对基础知识及其运用;针对提高学生实现成功的机会,培养学生学习兴趣;许多作业都应来源于教材习题或对习题作一些改编,突出基础知识,突出基础知识的应用,许多作业都应是课堂上典型例题的改编与变式。
既突出数学思想方法,又突出高考要求。
例(1993年全国卷理科第28题)在面积为1的?
PMN中,tan∠PMN=tan∠MNP=-212,,建立适当的坐标系,求以M,N为焦点且过点P的椭圆方程。
1
2改编题1:
在面积为1的?
PMN中,tan∠PMN=,tan∠MNP=-2,建立适当
的坐标系,求以M,N为焦点且过点P的双曲线方程。
改编题2:
在面积为1的?
PMN中,tan∠PMN=
12,tan∠MNP=-2,建立适当
的坐标系,求以M,N为焦点且过点P的抛物线方程。
改编题3:
在面积为1的?
PMN中,cos∠PMN=25
5,cos∠MNP=-5
5,建立
适当的坐标系,求以M,N为焦点且过点P的双曲线方程。
典型例题:
设定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数,f'(x)是f(x)的导函数,x∈[0,π]时,0 2)f'(x)>0, 则函数y=f(x)-sinx在[-2π,2π]上零点个数为() A、2B、4 1C、51 2D、8作业: 201X年北京(文)函数f(x)=x2-( A、0B、1)x的零点个数为()C、2D、3 ②加强学生的参与性,激发学生的创造欲望: 没有主体的发挥就根本不会有成功而言,利用知识本身的趣味性和榜样作用作为诱因,引导学生积极参与、激发创造欲望,培养学生数学思维能力。 我在讲等价转化思想时,引用了教材中一道题: 若a、b、m∈R+,且a a
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