高考数学复习34 高考数学复习突破高考中的数列与不等式问题.docx
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高考数学复习34高考数学复习突破高考中的数列与不等式问题
题型一 等差数列、等比数列的综合问题
例1 已知首项为
的等比数列{an}不是递减数列,其前n项和为Sn(n∈N*),且S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设Tn=Sn-
(n∈N*),求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值.
【思维升华】等差数列、等比数列综合问题的解题策略
(1)分析已知条件和求解目标,为最终解决问题设置中间问题,例如求和需要先求出通项、求通项需要先求出首项和公差(公比)等,确定解题的顺序.
(2)注意细节:
在等差数列与等比数列综合问题中,如果等比数列的公比不能确定,则要看其是否有等于1的可能,在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等,这些细节对解题的影响也是巨大的.
【跟踪训练1】已知等差数列{an}满足:
a1=2,且a1,a2,a5成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)记Sn为数列{an}的前n项和,是否存在正整数n,使得Sn>60n+800?
若存在,求n的最小值;若不存在,请说明理由.
题型二 数列的通项与求和
例2 已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=
,an+1=
an.
(1)证明:
数列{
}是等比数列;
(2)求通项an与前n项的和Sn.
【解析】
(1)证明 ∵a1=
,an+1=
an,
当n∈N*时,
≠0.
又
=
,
∶
=
(n∈N*)为常数,
∴{
}是以
为首项,
为公比的等比数列.
(2)解 由{
}是以
为首项,
为公比的等比数列,
得
=
·(
)n-1,∴an=n·(
)n.
∴Sn=1·
+2·(
)2+3·(
)3+…+n·(
)n,
Sn=1·(
)2+2·(
)3+…+(n-1)(
)n+n·(
)n+1,
∴
Sn=
+(
)2+(
)3+…+(
)n-n·(
)n+1
=
-n·(
)n+1,
∴Sn=2-(
)n-1-n·(
)n=2-(n+2)·(
)n.
综上,an=n·(
)n,Sn=2-(n+2)·(
)n.学科*网
【思维升华】
(1)一般求数列的通项往往要构造数列,此时要从证的结论出发,这是很重要的解题信息.
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