f(x)<-1的解集为
.
所以|f(x)|>1的解集为
.
[题组训练]
1.解不等式|x+1|+|x-1|≤2.
解:
当x<-1时,
原不等式可化为-x-1+1-x≤2,
解得x≥-1,又因为x<-1,故无解;
当-1≤x≤1时,
原不等式可化为x+1+1-x=2≤2,恒成立;
当x>1时,
原不等式可化为x+1+x-1≤2,
解得x≤1,又因为x>1,故无解;
综上,不等式|x+1|+|x-1|≤2的解集为[-1,1].
2.(2019·沈阳质检)已知函数f(x)=|x-a|+3x,其中a∈R.
(1)当a=1时,求不等式f(x)≥3x+|2x+1|的解集;
(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤-1},求a的值.
解:
(1)当a=1时,f(x)=|x-1|+3x.
法一:
由f(x)≥3x+|2x+1|,得|x-1|-|2x+1|≥0,
当x>1时,x-1-(2x+1)≥0,得x≤-2,无解;
当-
≤x≤1时,1-x-(2x+1)≥0,得-
≤x≤0;
当x<-
时,1-x-(-2x-1)≥0,得-2≤x<-
.
∴不等式的解集为{x|-2≤x≤0}.
法二:
由f(x)≥3x+|2x+1|,得|x-1|≥|2x+1|,
两边平方,化简整理得x2+2x≤0,
解得-2≤x≤0,
∴不等式的解集为{x|-2≤x≤0}.
(2)由|x-a|+3x≤0,可得
或
即
或
当a>0时,不等式的解集为
.
由-
=-1,得a=2.
当a=0时,不等式的解集为{x|x≤0},不合题意.
当a<0时,不等式的解集为
.
由
=-1,得a=-4.
综上,a=2或a=-4.
[典例] (2019·湖北五校联考)已知函数f(x)=|2x-1|,x∈R.
(1)解不等式f(x)<|x|+1;
(2)若对x,y∈R,有|x-y-1|≤
,|2y+1|≤
,求证:
f(x)<1.
[解]
(1)∵f(x)<|x|+1,∴|2x-1|<|x|+1,
即
或
或
得
≤x<2或0或无解.
故不等式f(x)<|x|+1的解集为{x|0(2)证明:
f(x)=|2x-1|=|2(x-y-1)+(2y+1)|≤|2(x-y-1)|+|2y+1|=2|x-y-1|+|2y+1|≤2×
+
=
<1.
故不等式f(x)<1得证.
[解题技法] 绝对值不等式性质的应用
利用不等式|a+b|≤|a|+|b|(a,b∈R)和|a-b|≤|a-c|+|c-b|(a,b∈R),通过确定适当的a,b,利用整体思想或使函数、不等式中不含变量,可以求最值或证明不等式.
[题组训练]
1.求函数f(x)=|x+2019|-|x-2018|的最大值.
解:
因为f(x)=|x+2019|-|x-2018|≤|x+2019-x+2018|=4037,
所以函数f(x)=|x+2019|-|x-2018|的最大值为4037.
2.若x∈[-1,1],|y|≤
,|z|≤
,求证:
|x+2y-3z|≤
.
证明:
因为x∈[-1,1],|y|≤
,|z|≤
,
所以|x+2y-3z|≤|x|+2|y|+3|z|≤1+2×
+3×
=
,
所以|x+2y-3z|≤
成立.
[典例] (2018·合肥质检)已知函数f(x)=|2x-1|.
(1)解关于x的不等式f(x)-f(x+1)≤1;
(2)若关于x的不等式f(x)[解]
(1)f(x)-f(x+1)≤1⇔|2x-1|-|2x+1|≤1,
则
或
或
解得x≥
或-
≤x<
,即x≥-
,
所以原不等式的解集为
.
(2)由条件知,不等式|2x-1|+|2x+1|则m>(|2x-1|+|2x+1|)min即可.
由于|2x-1|+|2x+1|=|1-2x|+|2x+1|≥|1-2x+(2x+1)|=2,当且仅当(1-2x)(2x+1)≥0,即x∈
时等号成立,故m>2.所以m的取值范围是(2,+∞).
[解题技法] 两招解不等式问题中的含参问题
(1)转化
①把存在性问题转化为求最值问题;
②不等式的解集为R是指不等式的恒成立问题;
③不等式的解集为∅的对立面也是不等式的恒成立问题,此类问题都可转化为最值问题,即f(x)<a恒成立⇔a>f(x)max,f(x)>a恒成立⇔a<f(x)min.
(2)求最值
求含绝对值的函数最值时,常用的方法有三种:
①利用绝对值的几何意义;
②利用绝对值三角不等式,即|a|+|b|≥|a±b|≥||a|-|b||;
③利用零点分区间法.
[题组训练]
1.(2018·全国卷Ⅱ)设函数f(x)=5-|x+a|-|x-2|.
(1)当a=1时,求不等式f(x)≥0的解集;
(2)若f(x)≤1,求a的取值范围.
解:
(1)当a=1时,f(x)=
当x<-1时,由2x+4≥0,解得-2≤x<-1,
当-1≤x≤2时,显然满足题意,
当x>2时,由-2x+6≥0,解得2故f(x)≥0的解集为{x|-2≤x≤3}.
(2)f(x)≤1等价于|x+a|+|x-2|≥4.
而|x+a|+|x-2|≥|a+2|,且当x=2时等号成立.
故f(x)≤1等价于|a+2|≥4.
由|a+2|≥4可得a≤-6或a≥2.
所以a的取值范围是(-∞,-6]∪[2,+∞).
2.(2018·广东珠海二中期中)已知函数f(x)=|x+m|+|2x-1|(m∈R),若关于x的不等式f(x)≤|2x+1|的解集为A,且
⊆A,求实数m的取值范围.
解:
∵
⊆A,
∴当x∈
时,不等式f(x)≤|2x+1|恒成立,
即|x+m|+|2x-1|≤|2x+1|在x∈
上恒成立,
∴|x+m|+2x-1≤2x+1,
即|x+m|≤2在x∈
上恒成立,
∴-2≤x+m≤2,
∴-x-2≤m≤-x+2在x∈
上恒成立,
∴(-x-2)max≤m≤(-x+2)min,
∴-
≤m≤0,故实数m的取值范围是
.
1.求不等式|2x-1|+|2x+1|≤6的解集.
解:
原不等式可化为
或
或
解得-
≤x≤
,
即原不等式的解集为
.
2.已知函数f(x)=|x-4|+|x-a|(a∈R)的最小值为a.
(1)求实数a的值;
(2)解不等式f(x)≤5.
解:
(1)f(x)=|x-4|+|x-a|≥|a-4|=a,
从而解得a=2.
(2)由
(1)知,f(x)=|x-4|+|x-2|=
故当x≤2时,由-2x+6≤5,得
≤x≤2;
当2当x>4时,由2x-6≤5,得4,
故不等式f(x)≤5的解集为
.
3.(2018·全国卷Ⅰ)已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.
(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;
(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,求a的取值范围.
解:
(1)当a=1时,f(x)=|x+1|-|x-1|,
即f(x)=
故不等式f(x)>1的解集为
.
(2)当x∈(0,1)时|x+1|-|ax-1|>x成立等价于当x∈(0,1)时|ax-1|<1成立.
若a≤0,则当x∈(0,1)时,|ax-1|≥1;
若a>0,则|ax-1|<1的解集为
,
所以
≥1,故0综上,a的取值范围为(0,2].
4.设函数f(x)=|3x-1|+ax+3.
(1)若a=1,解不等式f(x)≤4;
(2)若f(x)有最小值,求实数a的取值范围.
解:
(1)当a=1时,f(x)=|3x-1|+x+3≤4,
即|3x-1|≤1-x,
x-1≤3x-1≤1-x,解得0≤x≤
,
所以f(x)≤4的解集为
.
(2)因为f(x)=
所以f(x)有最小值的充要条件为
解得-3≤a≤3,
即实数a的取值范围是[-3,3].
5.(2019·贵阳适应性考试)已知函数f(x)=|x-2|-|x+1|.
(1)解不等式f(x)>-x;
(2)若关于x的不等式f(x)≤a2-2a的解集为R,求实数a的取值范围.
解:
(1)原不等式等价于f(x)+x>0,不等式f(x)+x>0可化为|x-2|+x>|x+1|,
当x<-1时,-(x-2)+x>-(x+1),解得x>-3,即-3当-1≤x≤2时,-(x-2)+x>x+1,解得x<1,即-1≤x<1;
当x>2时,x-2+x>x+1,解得x>3,即x>3,
综上所述,不等式f(x)+x>0的解集为{x|-33}.
(2)由不等式f(x)≤a2-2a可得|x-2|-|x+1|≤a2-2a,
∵|x-2|-|x+1|≤|x-2-x-1|=3,当且仅当x∈(-∞,-1]时等号成立,
∴a2-2a≥3,即a2-2a-3≥0,解得a≤-1或a≥3.
∴实数a的取值范围为(-∞,-1]∪[3,+∞).
6.已知函数f(x)=|x-a|+|x+1|.
(1)若a=2,求不等式f(x)>x+2的解集;
(2)如果关于x的不等式f(x)<2的解集不是空集,求实数a的取值范围.
解:
(1)当a=2时,f(x)=
不等式f(x)>x+2等价于
或
或
,
解得x<1或x>3,
故原不等式的解集为{x|x<1或x>3}.
(2)∵f(x)=|x-a|+|x+1|≥|(x-a)-(x+1)|=|a+1|,当(x-a)(x+1)≤0时取等号.
∴若关于x的不等式f(x)<2的解集不是空集,只需|a+1|<2,
解得-3<a<1,即实数a的取值范围是(-3,1).
7.已知函数f(x)=|2x-a|+a.
(1)当a=2时,求不等式f(x)≤6的解集;
(2)设函数g(