最短路径问题.docx
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最短路径问题.docx
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最短路径问题
第十一章三角形
11.1与三角形有关的线段
11.1.1三角形的边
学习目标:
1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题.
2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用,感悟转化思想.
重点:
利用轴对称解决简单的最短路径问题
难点:
利用轴对称解决简单的最短路径问题
一、知识链接
1.如图,连接A、B两点的所有连线中,哪条最短?
为什么?
2.如图,点P是直线l外一点,点P与该直线l上各点连接的所有线段中,哪条最短?
为什么?
3.在我们前面的学习中,还有哪些涉及比较线段大小的基本事实?
(1)三角形的三边关系:
___________________________________;
(2)直角三角形中边的关系:
______________________________.
4.如图,如何作点A关于直线l的对称点?
一、要点探究
实际问题:
如图,牧马人从点A地出发,到一条笔直的河边l饮马,然后到B地,牧马人到河边的什么地方饮马,可使所走的路径最短?
探究点1:
牧人饮马问题
数学问题:
如图,点A、B在直线l的同一侧,在直线l上求作一点C,使AC+BC最短.
想一想:
1.现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点,如何在l上找到一个点,使得这个点到点A,点B的距离的和最短?
2.如果点A,B分别是直线l同侧的两个点,如何将点B“移”到l的另一侧B′处,满足直线l上的任意一点C,都保持CB与CB′的长度相等?
要点归纳:
(1)作点B关于直线l的对称点B′;
(2)连接AB′,与直线l相交于点C.
则点C即为所求.如图所示.
你能用所学的知识证明你所作的点C使AC+BC最短吗?
证明:
要点归纳:
在解决牧人饮马问题时,通常利用轴对称,把未知问题转化为已解决的问题,从而做出最短路径的选择.
典例精析
例1:
如图,已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的
中点,AD=5,点F是AD边上的动点,则BF+EF的最小值为( )
A.7.5B.5C.4D.不能确定
方法总结:
此类求线段和的最小值问题,找准对称点是关键,而后将求线段长的和转化为求某一线段的长,而再根据已知条件求解.
例2:
如图,在直角坐标系中,点A,B的坐标分别为(1,4)和
(3,0),点C是y轴上的一个动点,且A,B,C三点不在同一
条直线上,当△ABC的周长最小时点C的坐标是( )
A.(0,3)B.(0,2)
C.(0,1)D.(0,0)
方法总结:
求三角形周长的最小值,先确定动点所在的直线和固定点,而后作某一固定点关于动点所在直线的对称点,而后将其与另一固定点连线,连线与动点所在直线的交点即为三角形周长最小时动点的位置.
探究点2:
造桥选址问题
实际问题:
如图,A和B两地在一条河的两岸,现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短(假定河的两岸是平行的直线,桥要与河垂直)?
数学问题:
如图,假定任选位置造桥MN,连接AM和BN,从A到B的路径是AM+MN+BN,那么怎样确定什么情况下最短呢?
想一想:
我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢?
什么图形变换能帮助我们呢?
画一画:
(1)把A平移到岸边.
(2)把B平移到岸边.
(3)把桥平移到和A相连.(4)把桥平移到和B相连.
比一比:
(1)
(2)(3)(4)中,哪种作法使得AM+MN+BN最短?
要点归纳:
如图,平移A到A1,使AA1等于河宽,连接A1B交河岸于N作桥MN,此时路径AM+MN+BN最短.
证明:
另任作桥M1N1,连接AM1,BN1,A1N1.
针对训练
1.如图,直线l是一条河,P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站,向P、Q两地供水,现有如下四种铺设方案,图中实线表示铺设的管道,则所需要管道最短的
是()
2.如图,一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接游客,然后将游客送往河岸BC 上,再返回P 处,请画出旅游船的最短路径.
3.如图,小河边有两个村庄A,B,要在河边建一自来水厂向A村与B村供水.
(1)若要使厂址到A,B两村的距离相等,则应选择在哪建厂(要求:
保留作图痕迹,写出必要的文字说明)?
(2)若要使厂址到A,B两村的水管最短,应建在什么地方?
二、课堂小结
1.如图,直线m同侧有A、B两点,A、A′关于直线m对称,A、B关于直线n对称,直线m与A′B和n分别交于P、Q,下面的说法正确的是( )
A.P是m上到A、B距离之和最短的点,Q是m上到A、B距离相等的点
B.Q是m上到A、B距离之和最短的点,P是m上到A、B距离相等的点
C.P、Q都是m上到A、B距离之和最短的点
D.P、Q都是m上到A、B距离相等的点
第1题图第2题图第3题图
2.如图,∠AOB=30°,∠AOB内有一定点P,且OP=10.若在OA、OB上分别有动点Q、R,则△PQR周长的最小值是( )
A.10B.15C.20D.30
3.如图,牧童在A处放马,其家在B处,A、B到河岸的距离分别为AC和BD,且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500米,则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家,所走的最短距离是_____米.
4.如图,边长为1的正方形组成的网格中,△AOB的顶点均在格点上,点A、B的坐标分别是A(3,2),B(1,3).点P在x轴上,当PA+PB的值最小时,在图中画出点P.
5.如图,荆州古城河在CC′处直角转弯,河宽相同,从A处到B处,须经两座桥:
DD′,EE′(桥宽不计),设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的,怎样架桥可使ADD′E′EB的路程最短?
拓展提升
6.
(1)如图1,在AB直线一侧C、D两点,在AB上找一点P,使C、D、P三点组成的三角形的周长最短,找出此点.
(2)如图2,在∠AOB内部有一点P,是否在OA、OB上分别存在点E、F,使得E、F、P三点组成的三角形的周长最短,找出E、F两点.
(3)如图3,在∠AOB内部有两点M、N,是否在OA、OB上分别存在点E、F,使得E、F、M、N,四点组成的四边形的周长最短,找出E、F两点.
例1、某种出租车的收费标准是:
起步价7元(即行驶距离不超过3km都需付7元车费),超过3km以后,每增加1km,加收2.4元(不足1km按1km计).某人乘这种出租车从甲地到乙地共支付车费19元,则此人从甲地到乙地经过的路程的最大值是多少千米?
例2、某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机。
已知该厂家生产三种不同型号的电视机,出厂价分别为:
甲种每台1500元,乙种每台2100元,丙种每台2500元。
(1)若商场同时购进其中两种不同型号电视机共50台,用去9万元,请研究一下商场的进货方案;
(2)若商场销售一台甲种电视机可获利150元,销售一台乙种电视机可获利200元,销售一台丙种电视机可获利250元。
在同时购进两种不同型号电视机的方案中,为使销售时获利最多,你选择哪种进货方案。
1、一旅客携带了30千克行李从南京禄口国际机场乘飞机去天津,按民航规定,旅客最多可免费携带20千克行李,超重部分每千克按飞机票价格的1.5%购买行李票,现该旅客购买了120元的行李票,则他的飞机票价格为多少元?
2、某城市按以下规定收取每月的煤气费,用气不超过60立方米,按每立方0.8元收;如果超过60立方米,超过部分按每立方米1.2元收,已知小明家某月共缴纳煤气费72元,那么他家这个月共用了多少煤气?
3、中国移动新疆分公司开设适合普通用户的两种通讯业务分别是:
“天山通”用户先缴25元月租,然后每分钟通话费用0.2元;
“神州行”用户不用缴纳月租费,每分钟通话0.4元。
(通话均指拨打本地电话)
(1)设一个月内通话时间约为x分钟,这两种用户每月需缴的费用是多少元?
(用含x的式子表示)
(2)一个月内通话多少分钟,两种移动通讯方式费用相同?
(3)若李老师一个月通话约80分钟,请你给他提个建议,应选择哪种移动通讯方式合算一些?
请说明理由
4、中国现行的个人所得税法自2011年9月1日起施行,其中规定个人所得税纳税办法如下:
一,以个人每月工资收入额减去3500元后的余额作为其每月应纳税所得额;
二,个人所得税纳税税率如下表所示:
纳税级数
个人每月应纳税所得额
纳税税率
1
不超过1500元的部分
3%
2
超过1500元至4500元的部分
10%
3
超过4500元至9000元的部分
20%
4
超过9000元至35000元的部分
25%
5
超过35000元至55000元的部分
30%
6
超过55000元至80000元的部分
35%
7
超过80000元的部分
45%
(1)若甲、乙两人的每月工资收入额分别为4000元和6000元,请分别求出甲、乙两人的每月应缴纳的个人所得税;
(2)若丙每月缴纳的个人所得税为95元,则丙每月的工资收入额应为多少?
5、为鼓励居民节约用电,某省试行阶段电价收费制,具体执行方案如表:
档次
每户每月用电数(度)
执行电价(元/度)
第一档
小于等于200
0.55
第二档
大于200小于400
0.6
第三档
大于等于400
0.85
例如:
一户居民七月份用电420度,则需缴电费420×0.85=357(元).
某户居民五、六月份共用电500度,缴电费290.5元。
已知该用户六月份用电量大于五月份,且五、六月份的用电量均小于400度。
问该户居民五、六月份各用电多少度?
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- 路径 问题