正态分布.docx
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正态分布
正态分布
适用学科
高中数学
适用年级
高中三年级
适用区域
通用
课时时长(分钟)
60
知识点
1、正态曲线及其特点;2、3σ原则。
教学目标
了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
教学重点
正态分布曲线的性质、标准正态曲线
教学难点
3σ原则的应用
教学过程
一、课堂导入
问题:
已知ξ~N(0,σ2)且P(-2≤ξ≤0)=0.4,则P(ξ>2)=?
二、复习预习
正态分布在高考中经常考察以下几点:
1.考查根据正态密度曲线的对称性计算概率;2.考查3σ原则的实际应用.所以在复习时,要掌握以下几点:
1.了解正态分布与正态曲线
的概念,掌握正态分布的对称性;2.能根据正态分布的性质求正态随机变量在特定区间上的概率.
三、知识讲解
考点1
1.正态曲线及性质
(1)正态曲线的定义
函数f(x)=
exp
,x∈(-∞,+∞),其中实数μ和σ(σ>0)为参数,我们称f(x)的图像(如图)为正态分布密度曲线,简称正态曲线.
(2)正态曲线的性质
①曲线位于x轴上方,与x轴不相交;
②曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称;
③曲线在x=μ处达到峰值
;
④曲线与x轴之间的面积为__1__;
⑤当σ一定时,曲线随着__μ__的变化而沿x轴平移,如图甲所示;
⑥当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ__越小__,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中;σ__越大__,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散,如图乙所示.
考点2
2.正态分布
(1)正态分布的定义及表示
如果对于任何实数a,b(a
f(x)dx,则称随机变量X服从正态分布,记作N(μ,σ2).
(2)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
①P(μ-σ ②P(μ-2σ ③P(μ-3 σ 四、例题精析 考点一正态分布的性质 例1若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数,且该函数的最大值为 . (1)求该正态分布的概率密度函数的解析式; (2)求正态总体在(-4,4)的概率. 【规范解答】 (1)由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数,所以其图像关于y轴对称,即μ=0.由 = ,得σ=4, 故该正态分布的概率密度函数的解析式是 f(x)= e- ,x∈(-∞,+∞). (2)P(-4 =P(μ-σ 【总结与反思】解决此类问题的关键是正确理解函数解析式与正态曲线的关系,掌握函数解析式中参数的取值变化对曲线的影响 考点二服从正态分布的概率计算 例2设X~N(1,22),试求 (1)P(-1 (2)P(3≤X<5); (3)P(X≥5). 【规范解答】∵X~N(1,22),∴μ=1,σ=2. (1)P(-1 =P(μ-σ (2)∵P(3≤X<5)=P(-3 ∴P(3 [P(-3 = [P(1-4 = [P(μ-2σ = ×(0.954-0.683)=0.1355. (3)∵P(X≥5)=P(X≤-3), ∴P(X≥5)= [1-P(-3 = [1-P(1-4 = [1-P(μ-2σ (1-0.954)=0.023. 【总结与反思】求服从正态分布的随机变量在某个区间取值的概率,只需借助于正态曲线的性质,把所求问题转化为已知概率的三个区间上 考点三正态分布的应用 例3在某次数学考试中,考生的成绩ξ服从正态分布,即ξ~N(100,100),已知满分为150分. (1)试求考试成绩ξ位于区间(80,120)内的概率; (2)若这次考试共有2000名考生参加,试估计这次考试及格(不小于90分)的人数. 【规范解答】 (1)由ξ~N(100,100)知μ=100,σ=10. ∴P(80<ξ<120)=P(100-20<ξ<100+20)=0.954, 即考试成绩位于区间(80,120)内的概率为0.954. (2)P(90<ξ<110)=P(100-10<ξ<100+10)=0.683, ∴P(ξ>110)= (1-0.683)=0.1585, ∴P(ξ≥90)=0.683+0.1585=0.8415. ∴及格人数为2000×0.8415≈1683(人). 【总结与反思】解决此类问题,首先要确定μ与σ的值,然后把所求问题转化到已知概率的区间上来,在求概率时,要注意关于直线x=μ对称的区间上概率相等这一性质的应用 课程小结 1.正态曲线及性质 (1)正态曲线的定义 函数f(x)= exp ,x∈(-∞,+∞),其中实数μ和σ(σ>0)为参数,我们称f(x)的图像(如图)为正态分布密度曲线,简称正态曲线. (2)正态曲线的性质 ①曲线位于x轴上方,与x轴不相交; ②曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称; ③曲线在x=μ处达到峰值 ; ④曲线与x轴之间的面积为__1__; ⑤当σ一定时,曲线随着__μ__的变化而沿x轴平移,如图甲所示; ⑥当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ__越小__,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中;σ__越大__,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散,如图乙所示. 2.正态分布 (1)正态分布的定义及表示 如果对于任何实数a,b(a f(x)dx,则称随机变量X服从正态分布,记作N(μ,σ2). (2)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 ①P(μ-σ ②P(μ-2σ ③P(μ-3 σ
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