初中数学基础知识点.docx
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初中数学基础知识点
代数部分
1、
实数
正整数
1.实数的相关概念
零
整数
分类二:
负整数
分类一:
有限小数或
无限循环小数
正分数
分数
有理数
负分数
整数和分数统称为有理数,任何一个有理数都可以写成分数m/n(m,n都是整数,且n≠0)的形式。
任何一个有理数都可以在数轴上表示
(1)相反数
实数a的相反数是-a,像-1和1这样,只有符号不同的两个数,绝对值相等叫做互为相反数。
若两个实数a和b满足b=﹣a。
我们就说b是a的相反数。
此时,b的相反数为﹣b=﹣(﹣a)=a,那么我们就说“相反数具有互称性”;两个互为相反数的实数a和b必满足a+b=0
实数a相反数的相反数,就是a本身。
相反数不具有传递性,即如果x是y的相反数,y是z的相反数,那么x不一定是z的相反数(除非x=y=z=0)。
当a,b都等于0时,才有a=b,也就是说0的相反数是0。
在a≠b时,必有ab<0,|a|=|b|,即两个互为相反数的实数a和b其绝对值相等符号相反。
互为相反数的两个实数在数轴上表示的两个点,分别在原点的两旁,与原点的距离相等,即关于原点对称。
(2)倒数
乘积是1的两个数互为倒数,零没有倒数,1的倒数是它本身a、b互为倒数
ab=1
分数的倒数:
找一个分数的倒数,把分数的分子和分母交换位置。
整数的倒数:
找一个整数的倒数,把3化成分数,即3/1,再把3/1这个分数的分子和分母交换位置。
小数的倒数:
找一个小数的倒数,先化成分数,再求分数的倒数。
(3)绝对值
a(a>0)
0(a=0)
-a(a<0)
几何意义:
在数轴上,一个数到原点的距离叫做该数的绝对值。
代数意义:
正数和0的绝对值是它本身,负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0。
互为相反数的两个数的绝对值相等。
a的绝对值用“|a|”表示.读作“a”的绝对值。
绝对值都是非负数。
|a|
*|a|-|b|≦|a+b|≦|a|+|b|,|a-b|表示在数轴上a、b两点间的距离
(4)非负数
初中阶段认识了3种非负数:
(a≥0)
|a|
(5)科学记数法
把一个数写成a×
的形式(其中1≤|a|<10,n为整数),这种记数法叫做科学记数法:
当原数大于或等于1时,n等于原数的整数位减1
当原数小于1时,n是负整数,它的绝对值等于原数中做起第一个非零数字前零的的个数。
(含小数点前的零)
(6)近似数与有效数字
一个近似数,四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位,这是,从左边第一个不是0的数字起,到精确的数位止,所有的数字,都叫做这个数的有效数字。
例:
(1)41.2万有哪几个有效数字?
(2)264310保留两个有效数字?
(7)数轴:
规定了的原点,正方向和单位长度的直线叫数轴。
所有的有理数都可以用数轴上的点来表示。
也可以用数轴来比较两个实数的大小。
1)从原点出发朝正方向的射线上的点对应正数,相反方向的射线上的点对应负数,原点对应零。
2)在数轴上表示的两个数,正方向的数大于负方向的数。
3)正数都大于0,负数都小于0,正数大于一切负数。
数轴是一种特定几何图形;原点、正方向、长度单位称数轴的三要素,这三者缺一不可。
任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。
一般取右方向为正方向,数轴上的点对应任意实数,包括无理数。
用数轴比较大小;一般来说,当数轴方向朝右时,右边的数比左边的数大。
2.实数的运算与实数的大小比较
(1)实数的运算
加法:
1、同号两数相加,取相同的正负号,并把绝对值相加。
2、绝对值不等的异号两数相加,取绝对值较大的数的正负号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
3、互为相反数的两个数相加得零。
4、一个数与零相加,仍得这个数。
减法:
1、有理数减法法则:
减去一个数等于加上这个数的相反数。
2、有理数减法常见的错误:
没有顾到结果的符号;只改变运算符号,不改变减数的符号,没有把减数变成相反数。
有理数加减混合运算步骤:
先把减法变成加法,再按有理数加法法则进行运算;
乘法:
1、两个有理数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘;
2、任何数与0相乘都得0。
除法:
1、除以一个数,等于乘上这个数的倒数;2、0不能做除数。
除法法则也可以看成是:
两个数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除,0除以任何一个不等于0的数都等于0。
乘方:
1、有理数的乘法的定义:
求几个相同因数a的运算叫做乘方,乘方是一种运算,是几个相同的因数的特殊乘法运算,记做“an”其中a叫做底数,表示相同的因数,n叫做指数,乘方的结果叫做幂。
2、正数的任何次方都是正数,负数的偶数次方是正数,负数的奇数次方是负数
有理数的混合运算:
1、进行有理数混合运算的关建是熟练掌握加、减、乘、除、乘方的运算法则、运算律及运算顺序。
比较复杂的混合运算,一般可先根据题中的加减运算,把算式分成几段,计算时,先从每段的乘方开始,按顺序运算,有括号先算括号里的,同时要注意灵活运用运算律简化运算。
2、进行有理数的混合运算时,应注意:
一是要注意运算顺序,先算高一级的运算,再算低一级的运算
运算律:
①加法的交换律a+b=b+a;②加法的结合律a+(b+c)=(a+b)+c;
③存在数0,使0+a=a+0=a;④对任意有理数a,存在一个加法逆元,记作-a,使a+(-a)=(-a)+a=0;
⑤乘法的交换律ab=ba;⑥乘法的结合律a(bc)=(ab)c;⑦分配律a(b+c)=ab+ac;
在实数范围内,加减乘除(除数不为零)、乘方都可以进行,但开方运算不一定能进行,正实数和零总能进行开方运算,而负实数只能开奇次方,不能开偶次方。
有理数的一切运算性质的运算律都适用于实数运算。
实数大小的比较
A、正数大于零,负数小于零,正数大于一切负数;两个正数,绝对值大的较大;两个负数,绝对值大的反而小。
B、利用数轴:
在数轴上表示的两个实数,右边的数总是大于左边的数
C、设a、b是任意的实数a-b>0
a>ba-b=0
a=ba-b<0
a
D、设a、b是正实数
二、代数式
1、整式
有理式:
只含有加减乘除、乘方运算的代数式(包括具体实数的一切运算式),叫做有理式,有理式中的整式和分式的区别在于分式的分母(或除式)中含有字母
无理式:
含有字母得式子进行开放运算的代数式叫做无理式。
单项式
整式
(1)代数式的分类
有理式
多项式
分式
无理式
代数式
同类项、合并同类项
所含字母相同,并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。
把多项式中同类项合并成一项,叫做合并同类项。
合并同类项时,只要把系数相加,所含字母和字母指数不变。
去括号和添括号
去括号法则:
1.括号前面有“+”号,,把括号和它前面的“+”号去掉,括号里各项的符号不改变
2.括号前面是“-”号,把括号和它前面的“-”号去掉,括号里各项的符号都要改变。
去括号法则的依据实际是乘法分配率
注:
(1)要注意括号前面的符号,它是去括号后括号内各项是否变号的依据.
(2)去括号时应将括号前的符号连同括号一起去掉.
(3)要注意,括号前面是“-”时,去掉括号后,括号内的各项均要改变符号,不能只改变括号内第一项或前几项的符号,而忘记改变其余的符号.
(4)若括号前是数字因数时,应利用乘法分配律先将数与括号内的各项分别相乘再去括号,以免发生错误。
(5)遇到多层括号一般由里到外,逐层去括号,也可由外到里.数“-”的个数.
添括号法则:
1.如果括号前面是加号或乘号,加上括号后,括号里面各项不变号。
2.如果括号前面是减号或除号,加上括号后,括号里面各项都要变号。
2、整式的运算
加减:
先去括号或添括号,再合并同类项
乘除:
幂的运算性质:
1)
(m、n为整数,a
0)
2)
(m、n为整数,a
0)3)
(n为正数,a、b均不为零)
4)
÷
=
(m、n均为整数,a
0)
5)零指数与负指数:
;
整式的乘法:
1)单项式与单项式相乘:
系数、同底数幂分别相乘,作为积的因式,只有一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式;
2)单项式与多项式相乘:
m(a+b+c)=ma+mb+mc;
3)多项式与多项式相乘(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb。
整式的除法:
1)单项式处以单项式:
系数、同底数幂相除,作为商的一个因式;
2)多项式除以单项式:
多项式中每一项除以单项式,然后把所得的商相加。
乘法公式:
平方差公式:
完全平方公式:
3.因式分解
定义:
把一个多项式化为几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解,也叫作分解因式。
分解因式与整式乘法为相反变形
基本方法:
1)提取公因式法am+bm+cm=m(a+b+c);当各项系数都是整数时,公因式的系数应取各项系数的最大公约数;字母取各项相同的字母,而且各字母的指数取次数最低的;取相同的多项式,多项式的次数取最低的。
如果多项式的第一项是负的,一般要提出“-”号,使括号内的第一项的系数成为正数。
提出“-”号时,多项式的各项都要变号。
口诀:
找准公因式,一次要提净;全家都搬走,留1把家守;提负要变号,变形看奇偶。
2)运用公式法:
平方差公式:
完全平方公式:
3)分组分解法:
【1】分组后直接提取公因式;【2】分组后直接运用公式
能分组分解的方程有四项或大于四项,一般的分组分解有两种形式:
二二分法,三一分法。
比如:
4)十字相乘法:
【1】
【2】形如
的式子,
十字相乘法口诀:
首尾分解,交叉相乘,求和凑中
5)拆项、添项法:
把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项(或几项),使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。
要注意,必须在与原多项式相等的原则下进行变形。
4.分式
A、B表示两个整式,B中含有字母
分式的符号法则:
分式的运算:
1.约分:
把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数)约去,这种变形称为约分。
2.分式的乘法法则:
两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母。
两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。
3.分式的加减法法则:
同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减。
4.通分:
异分母的分式可以化成同分母的分式,这一过程叫做通分。
5、.异分母分式的加减法法则:
异分母的分式相加减,先通分,化为同分母的分式,然后再按同分母分式的加减法法则进行计算。
5.二次根式
一般地,形如
(a≥0)的代数式叫做二次根式。
当a>0时,
表示a的算数则无实数根)平方根,
=0当a小于0时,非二次根式(在一元二次方程中,若根号下为负数,
性质:
1)a≥0;
≥0[双重非负性]
2)
(a≥0)[任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式
最简二次根式条件:
(1)被开方数的因数是整数或字母,因式是整式;
(2)被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式。
二次根式的乘除法:
(a≥0,b≥0)
(a≥0,b>0)
二次根式的加减法:
1同类二次根式:
一般地,把几个二次根式化为最简二次根式后,如果它们的被开方数相同,就把这几个二次根式叫做同类二次根式。
2合并同类二次根式:
把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。
3二次根式加减时,可以先将二次根式化为最简二次根式,再将被开方数相同的进行合并。
6.方程与不等式
(1)一元
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- 初中 数学 基础 知识点