高考理科数学全国卷3试题与答案.docx
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高考理科数学全国卷3试题与答案
绝密★启用前
2017年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷Ⅲ)
理科数学
一、选择题:
本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目
要求的.
1.已知集合
22
Axy│xy,B(x,y│)yx,则AIB中元素的个数()
(,)1
A.3B.2C.1D.0
2.设复数z满足1iz2i,则z()
A.
1
2
B.
2
2
C.2D.2
3.某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间
月接待游客量(单位:
万人)的数据,绘制了下面的折线图.
根据该折线图,下列结论错误的是()
A.月接待游客量逐月增加
B.年接待游客量逐年增加
C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份
D.各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月,波动性更小,变化比较平稳
4.
5
x+y2xy的展开式中
x的系数为()3y3
3y3
A.80B.40C.40D.80
5.已知双曲线
C
22
xy
:
1
22
ab
a0,b0的一条渐近线方程为
5
yx,且与椭圆
2
22
xy
123
1
有公共焦点,
则C的方程为()
A.
22
xy
810
1
B.
22
xy
45
1
C.
22
xy
54
1
D.
22
xy
43
1
6.设函数
π
fxcosx,则下列结论错误的是()
3
A.fx的一个周期为2π
B.fx的图像关于直线
8π
x=对称
3
C.fxπ的一个零点为x
π
6
D.fx在(
π
π单)调递减
2
7.执行下面的程序框图,为使输出S的值小于91,则输入的正整数N的最小值为()
A.5B.4C.3D.2
8.已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为
()
A.πB.
3π
4
C.
π
2
D.
π
4
9.等差数列an的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则an前6项的和为
()
A.24B.3C.3D.8
10.已知椭圆C:
22
xy
221
ab
ab0的左、右顶点分别为
A,
1
A,且以线段
2
AA为直径的圆与直线
12
bxay2ab0相切,则C的离心率为()
A.
6
3
B.
3
3
C.
2
3
D.
1
3
11.已知函数
2x1x1
f(x)x2xa(ee)有唯一零点,则a()
A.
1
2
B.
1
3
C.
1
2
D.1
uuuruuuruuur
12.在矩形ABCD中,AB1,AD2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若AP=AB+AD
,
则的最大值为()
A.3B.22C.5D.2
二、填空题:
本题共4小题,每小题5分,共20分.
xy0,
13.若x,y满足约束条件xy20,
则z3x4y的最小值为.
y0,
14.设等比数列an满足a1a2–1,a1a33,则a4=.
15.设函数f(x)
x1,x0,
x
2,x0,
则满足
1
f(x)f(x)1的x的取值范围是.
2
16.a,b为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a,b都垂直,斜边
AB以直线AC为旋转轴旋转,有下列结论:
①当直线AB与a成60角时,AB与b成30角;
②当直线AB与a成60角时,AB与b成60角;
③直线AB与a所成角的最小值为45;
④直线AB与a所成角的最大值为60.
其中正确的是.(填写所有正确结论的编号)
三、解答题:
共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都
必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:
共60分.
17.(12分)
△的内角A,B,C的对边分别为a,,bc,已知sinA3cosA0,a=27,b2.
ABC
(1)求c;
(2)设D为BC边上一点,且ADAC,求△ABD的面积.
18.(12分)
某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降
价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:
℃)
有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;
如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高
气温数据,得下面的频数分布表:
最高
气温
[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)
天数216362574
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.
(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位:
瓶)的分布列;
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:
元),当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位:
瓶)为多少时,Y的数学期望达到最大值?
19.(12分)
如图,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,△ACD是直角三角形,ABDCBD,ABBD.
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
(1)证明:
平面ACD平面ABC;
(2)过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分,求二面角
DAEC的余弦值.
––
20.(12分)
已知抛物线C:
22
yx,过点(2,0)的直线l交C与A,B两点,圆M是以线段AB为直径的圆.
(1)证明:
坐标原点O在圆M上;
(2)设圆M过点P(4,2),求直线l与圆M的方程.
21.(12分)
已知函数f(x)x1alnx.
(1)若f(x)0,求a的值;
(2)设m为整数,且对于任意正整数n,
111
1+1+K1+n<m,求m的最小值.
2
222
(二)选考题:
共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.
22.[选修44:
坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系xOy中,直线
l的参数方程为
1
x2+t,
ykt,
(t为参数),直线
l的参数方程为
2
x2m,
(m
y
m
k
为参数).设
l与
1
l的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C.
2
(1)写出C的普通方程;
(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设
l:
cossin2=0,M为
3
l与
3
C的交点,求M的极径.
23.[选修45:
不等式选讲](10分)
已知函数f()xx1x2.
(1)求不等式f()x1的解集;
(2)若不等式
2
f()xxxm的解集非空,求m的取值范围.
–
2017年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷Ⅲ)
理科数学答案解析
1.【答案】B
【解析】A表示圆
221
xy上的点的集合,B表示直线yx上的点的集合,直线yx与圆
221
xy
有两个交点,所以AIB中元素的个数为2.
24.【答案】C
【解析】
2i1i
2i
zi1i
1i1i1i
,所以z2.
25.【答案】A
【解析】根据折线图可知,2014年8月到9月、2014年10月到11月等月接待游客量都是减少,所以A错
误.
4.【答案】C
【解析】当第一个括号内取x时,第二个括号内要取含
23
xy的项,即
23
3
C52xy,当第一个括号内取
y时,第二个括号内要取含
32
xy的项,即
32
2
C52xy,所以
33
xy的系数为
2332
C52C52108440.
5.【答案】B
【解析】根据双曲线C的渐近线方程为
5
yx,可知
2
b
a
5
2
①,又椭圆
22
xy
123
1
的焦点坐标为(3,
0)和(3,0),所以
229
ab②,根据①②可知
24,25
ab,所以选B.
6.【答案】D
【解析】根据函数解析式可知函数fx的最小正周期为2π,所以函数的一个周期为2π,A正确;当
8ππ
x,x3π,所以
3
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