高中数学 321几类不同增长的函数模型精讲精析 新人教A版必修1.docx
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高中数学321几类不同增长的函数模型精讲精析新人教A版必修1
课题:
3.2.1几类不同增长的函数模型
精讲部分
学习目标展示
1.熟悉几种常用函数增长快慢的一般规律2.应用数学理论解决实际问题
衔接性知识
我们学习了哪几种初等函数?
请画出它们的图象
基础知识工具箱
项目
定义
符号
常见函数模型
直线模型
可以用直线模型表示
指数函数模型
能用指数函数表示的函数模型.指数函数增长的特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快(底数a>1),常形象地称为“指数爆炸”
,且
对数函数模型
能用对数函数表达的函数模型叫对数函数模型.对数增长的特点是随着自变量的增大(底数a>1),函数值增大的速度越来越慢
,且
幂函数模型
能用幂函数表达的函数模型,叫做幂函数模型
为常数
(1)指数函数、对数函数和幂函数的增长趋势比较
性质函数
在
上的增减性
增函数
增函数
增函数
增长的速度
先慢后快
先快后慢
相对平稳
图象的变化
随着
的增大,图象上升的速度逐渐变快
随着
的增大,图象上升的速度逐渐变慢
随着
值的不同而不同
(2)指数函数、对数函数和幂函数的衰减趋势比较
性质函数
在
上的增减性
减函数
减函数
减函数
衰减的速度
先快后慢
先慢后快
相对平稳
图象的变化
随着
的增大,图象下降的速度逐渐变慢
随着
的增大,图象下降的速度逐渐变
随着
值的不同而不同
典例精讲剖析
例1.有一批影碟机(VCD)原销售价为每台800元,在甲、乙两家电商场均有销售.甲商场用如下的方法促销,买一台单价为780元,买二台单价为760元,依次类推,每多买一台单价均减少20元,但每台最低不低于440元;乙商场一律按原价的75%销售,某单位需购买一批此类影碟机,问去哪家商场购买花费最小.
【解析】设单位购买x台影碟机,在甲商场购买,每台的单价为800–20x,则总费用
,在乙商场购买,费用y=600x.
(1)当0<x<10时,(800x–20x2)>600x
∴购买影碟机低于10台,在乙商场购买.
(2)当x=10时,(800x–20x2)=600x
∴购买10台影碟机,在甲商场或在乙商场费用一样.
(3)当10<x≤18时,(800x–20x2)<600x
∴购买影碟机多于10台且不多于18台,在甲商场购买.
(4)当x≥18时,600x>440x
∴购买影碟机多于18台,在甲商场购买.
答:
若购买小于10台,去乙商场购买;若购买10台,在甲商场或在乙商场费用一样多;若购买多于10台,在甲商场购买.
例2.为了尽快改善职工住房困难,鼓励个人购房和积累建房基金,决定住房的职工必须按基本工资的高低交纳建房积金,办法如下:
每月工资
公积金
1000元以下
不交纳
1000元至2000元
交纳超过1000元部分的5%
2000元至3000元
1000元至2000元部分交纳5%,
超过2000元部分交纳10%
3000元以上
1000元至2000元部分交5%,2000元至
3000元交10%,3000元以上部分交15%
【解析】设职工每月工资为x元,交纳公积金后实得数为y元,则
当0 当1000≤x<2000时, y=1000+(x-1000)(1-5%)=0.95x+50; 当2000≤x<3000时, y=1000+1000(1-5%)+(x-2000)(1-10%)=0.9x+150; 当x≥3000时, y=1000+1000(1-5%)+1000(1-10%)+(x-3000)(1-15%)=0.85x+300. 因此y与x的关系可用分段函数表示如下 例3. (1)某种储蓄的月利率是0.36%,今存入本金100元,求本金与利息的和(即本息和)y(元)与所存月数x之间的函数关系式,并计算5个月后的本息和(不计复利). (2)按复利计算利息的一种储蓄,本金为a元,每期利率为r,设本利和为y,存期为x,写出本利和y随存期x变化的函数式.如果存入本金1000元,每期利率2.25%,试计算5期后的本利和是多少? 【解析】 (1)利息=本金×月利率×月数. y=100+100×0.36%·x=100+0.36x,当x=5时,y=101.8,∴5个月后的本息和为101.8元. 5.为了发展电信事业方便用户,电信公司对移动电话采用不同的收费方式,其中所使用的“便民卡”与“如意卡”在某市范围每月(30天)的通话时间x(分),与通话费y(元)的关系如图所示. 如意卡 便民卡 (1)分别求出通话费y1,y2与通话时间x之间的函数关系式; (2)请帮助用户计算,在一个月内使用哪种卡便宜. 【分析】 (1)由图象可设y1=k1x+29,y2=k2x,把点B(30,35),C(30,15)分别代入y1,y2得 . ∴ . (2)令y1=y2,即 ,则 . 当x=96 时,y1=y2,两种卡收费一致; 当x<96 时,y1>y2,即如意卡便宜; 当x>96 时,y1<y2,即便民卡便宜.6.商场销售某一品牌的羊毛衫,购买人数n是羊毛衫标价x的一次函数,标价越高,购买人数越少.已知标价为每件300元时,购买人数为零.标价为每件225元时,购买人数为75人,若这种羊毛衫的成本价是100元/件,商场以高于成本价的相同价格(标价)出售,问: (1)商场要获取最大利润,羊毛衫的标价应定为每件多少元? (2)通常情况下,获取最大利润只是一种“理想结果”,如果商场要获得最大利润的75%,那么羊毛衫的标价为每件多少元? [解析] (1)设购买人数为n人,羊毛衫的标价为每件x元,利润为y元,则n=kx+b(k<0), ∴ ,∴ ,∴n=-x+300. y=-(x-300)·(x-100)=-(x-200)2+10000,x∈(100,300] ∴x=200时,ymax=10000 即商场要获取最大利润,羊毛衫的标价应定为每件200元. (2)由题意得,-(x-300)·(x-100)=10000×75% ∴x2-400x+30000=-7500,∴x2-400x+37500=0, ∴(x-250)(x-150)=0,∴x1=250,x2=150 所以当商场以每件150元或250元出售时,可获得最大利润的75%.B类试题(尖子班用) 1.某商店某种商品(以下提到的商品均指该商品)进货价为每件40元,当售价为50元时,一个月能卖出500件.通过市场调查发现,若每件商品的单价每提高1元,则商品一个月的销售量会减少10件.商店为使销售该商品的月利润最高,应将每件商品定价为( ) A.45元 B.55元C.65元D.70元 [答案] D [解析] 设每件商品定价为x元,则一个月的销量为500-(x-50)×10=1000-10x件, 故月利润为y=(x-40)·(1000-10x)=-10(x-40)(x-100), ∵
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