备战高考数学大一轮复习热点聚焦与扩展专题17恒成立问题数形结合法.docx
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备战高考数学大一轮复习热点聚焦与扩展专题17恒成立问题数形结合法
专题17恒成立问题——数形结合法
【热点聚焦与扩展】
不等式恒成立问题常见处理方法:
①分离参数
恒成立(
可)或
恒成立(
即可);②数形结合(
图象在
上方即可);③讨论最值
或
恒成立;④讨论参数.
1、函数的不等关系与图象特征:
(1)若
,均有
的图象始终在
的下方
(2)若
,均有
的图象始终在
的上方
2、在作图前,可利用不等式的性质对恒成立不等式进行变形,转化为两个可作图的函数
3、要了解所求参数在图象中扮演的角色,如斜率,截距等
4、作图时可“先静再动”,先作常系数的函数的图象,再做含参数函数的图象(往往随参数的不同取值而发生变化)
5、在作图时,要注意草图的信息点尽量完备
6、什么情况下会考虑到数形结合?
利用数形结合解决恒成立问题,往往具备以下几个特点:
(1)所给的不等式运用代数手段变形比较复杂,比如分段函数,或者定义域含参等,而涉及的函数便于直接作图或是利用图象变换作图
(2)所求的参数在图象中具备一定的几何含义
(3)题目中所给的条件大都能翻译成图象上的特征
【经典例题】
例1.【2018届浙江省金华十校4月模拟】若对任意的
,存在实数
,使
恒成立,则实数
的最大值为__________.
【答案】9
【解析】若对任意的
,
恒成立,可得:
恒成立,
令
,
,
原问题等价于:
,结合对勾函数的性质分类讨论:
(1)当
时,
,
,
原问题等价于存在实数
满足:
,
故
,解得:
,则此时
;
(2)当
时,
,
,
原问题等价于存在实数
满足:
,
原问题等价于存在实数
满足:
,
故
,解得:
,则此时
;
当
时,
,
原问题等价于存在实数
满足:
,
故
,解得:
,则此时
;
综上可得:
实数
的最大值为
.
点睛:
对于恒成立问题,常用到以下两个结论:
(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max;
(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.
例2.【2018届一轮训练】已知log
(x+y+4) (3x+y-2),若x-y≤λ恒成立,则λ的取值范围是______________. 【答案】[10,+∞) 点睛: 线性规划的实质是把代数问题几何化,即数形结合的思想.需要注意的是: 一,准确无误地作出可行域;二,画目标函数所对应的直线时,要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较,避免出错;三,一般情况下,目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得. 例3.已知函数 在 上不单调,则实数 的取值范围是__________. 【答案】 【解析】已知函数 定义域为 , , ,令 ,图象如图, ∵函数 在 上不单调, ∴区间 在 零点1或3的两侧, 或 , 解得 或 . 即实数 的取值范围是 . 点睛: 利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号,注意单调函数的充要条件,尤其对于已知单调性求参数值(范围)时,隐含恒成立思想 例4.【2018届二轮训练】对于0≤m≤4的任意m,不等式x2+mx>4x+m-3恒成立,则x的取值范围是________________. 【答案】(-∞,-1)∪(3,+∞) 【解析】不等式可化为m(x-1)+x2-4x+3>0在0≤m≤4时恒成立. 令f(m)=m(x-1)+x2-4x+3.结合二次函数的图象得 ⇒ ⇒ 即x<-1或x>3. 故答案为: (-∞,-1)∪(3,+∞) 例5.已知不等式 在 上恒成立,则实数 的取值范围是_________ 【答案】 可得: ,综上可得: . 【名师点睛】 (1)通过常系数函数图象和恒成立不等式判断出对数函数的单调性,进而缩小了参数讨论的取值范围. (2)学会观察图象时要抓住图象特征并抓住符合条件的关键点(例如本题中的 ). (3)处理好边界值是否能够取到的问题. 例6.若不等式 对于任意的 都成立,则实数 的取值范围是___________ 【答案】 【解析】本题选择数形结合,可先作出 在 的图象, 扮演的角色为对数的底数,决定函数的增减,根据不等关系可得 ,观察图象进一步可得只需 时, ,即 ,所以 例7.已知函数 ,若对任意的 ,都有 成立,则实数 的取值范围是_____________ 【答案】 【名师点睛】本题也可以用最值法求解: 若 ,则 ,而 是开口向上的抛物线,最大值只能在边界处产生,所以 ,再解出 的范围即可. 例8.已知函数 若直线 与函数 的图象只有一个交点,则实数 的取值范围是________. 【答案】 或 【解析】作出函数f(x)的图象如图, 例9.已知函数 是定义在 上的奇函数,当 时, ,若 ,则实数 的取值范围是_____________ 【答案】 【解析】 是奇函数且在 时是分段函数(以 为界),且形式比较复杂,恒成立的不等式 较难转化为具体的不等式,所以不优先考虑参变分离或是最值法.从数形结合的角度来看,一方面 的图象比较容易作出,另一方面 可看作是 的图象向右平移一个单位所得,相当于也有具体的图象.所以考虑利用图象寻找 满足的条件.先将 写为分段函数形式: ,作出正半轴图象后再根据奇函数特点,关于原点对称作出 负半轴图象. 恒成立,意味着 的图象向右平移一个单位后,其图象恒在 的下方.通过观察可得在平移一个单位至少要平移 个长度,所以可得: 答案: . 例10【2018届河南省高三4月考试】已知函数 . (1)若 在 处取得极值,求 的值; (2)若 在 上恒成立,求 的取值范围. 【答案】 (1) ; (2) 上恒成立, 时再分两种情况讨论可得 时, 在 上恒成立,当 时,根据二次函数的性质可得不满足题意,进而可得结果. 试题解析: (1) , ∵ 在 处取到极值, ∴ ,即 ,∴ . 经检验, 时, 在 处取到极小值. (2) ,令 , ①当 时, , 在 上单调递减. 又∵ ,∴ 时, ,不满足 在 上恒成立. 时, , 单调递增,∴ . 又∵ ,∴ ,故不满足题意. ③当 时,二次函数 开口向下,对称轴为 , 在 上单调递减, ,∴ , 在 上单调递减. 又∵ ,∴ 时, ,故不满足题意. 综上所述, . 【精选精练】 1.【2018届东莞市高三毕业班第二次综合考试】已知函数 若不等式 恒成立,则实数 的取值范围为() A. B. C. D. 【答案】C 2.若函数 有极大值点 和极小值点 ,则导函数 的大致图象可能为() A. B. C. D. 【答案】C 则导函数在区间 上为正数,在区间 上为负数,在区间 上为正数; 观察所给的函数图象可知,只有C选项符合题意. 本题选择C选项. 3.已知函数 在区间 上是增函数,则实数 的取值范围是() A. B. C. D. 【答案】A 【解析】二次函数 的对称轴为 ;∵该函数在 上是增函数;∴ ,∴ ,∴实数 的取值范围是 ,故选B. 4.若 不等式 恒成立,则 的取值范围是______ 【答案】 或 【解析】思路: 本题中已知 的范围求 的范围,故构造函数时可看作关于 的函数,恒成立不等式变形为 设 即关于 的一次函数,由图象可得: 无论直线方向如何,若要 ,只需在端点处函数值均大于0即可,即 解得: 或 答案: 或 【名师点睛】 (1)对于不等式,每个字母的地位平等,在构造函数时哪个字母的范围已知,则以该字母作为自变量构造函数. (2)线段的图象特征: 若两个端点均在坐标轴的一侧,则线段上的点与端点同侧. (3)对点评 (2)的推广: 已知一个函数连续且单调,若两个端点在坐标轴的一侧,则曲线上所有点均与端点同侧. 5.设 ,若 时均有 ,则 _________ 【答案】 答案: 6.【2018届二轮训练】当实数x,y满足 时,ax+y≤4恒成立,则实数a的取值范围是________. 【答案】 【解析】 要使平面区域在直线 的下方,则只要 在直线上或直线下方即可,即 ,得 ,综上 ,所以实数 的取值范围是 ,故答案为 . 7.【2018届二轮训练】已知函数f1(x)=|x-1|,f2(x)= x+1,g(x)= + ,若a,b∈[-1,5],且当x1,x2∈[a,b]时, >0恒成立,则b-a的最大值为________. 【答案】5 【解析】 且 恒成立, 在区间 上单调第增, ∵函数 当 时, ,单调减; 当 单调增; 当 时, ,单调递增. 的最大值为 . 故答案为5. 8.【2018届吉林省长春市高三监测(三)】已知函数 ,若 ,则实数 的取值范围是___________. 【答案】 9.【2018届吉林省长春市高三监测(三)】已知函数 ,若 ,则实数 的取值范围是___________. 【答案】 【解析】当 , 当 , 故 . 故答案为: 10.当 时,不等式 恒成立,则实数 的最大值是__________. 【答案】3 【解析】令 ,则由题意可知 , ∵ , ∴ , 当且仅当 ,即 时,等号成立, ∴ ,从而 . 故实数 的最大值是 . 故答案为: 3. 另法: 的图象即函数 的图象向右、向上均平移1单位得到,结合图象可得解. 11.【2018届宁夏银川高三4月模拟】已知函数 是定义在 上的奇函数,当 时, ,给出以下命题: ①当 时, ; ②函数 有 个零点; ③若关于 的方程 有解,则实数的取值范围是 ; ④对 恒成立, 其中,正确命题的序号是__________. 【答案】①④ 若方程 有解,则 ,且对 恒成立,故③错误,④正确. 故答案为①④. 12.函数 的定义域为 ( 为实数). (1)若函数 在定义域上是减函数,求 的取值范围; (2)若 在定义域上恒成立,求 的取值范围. 【答案】 (1) ; (2) 【解析】试题分析: (1)利用单调性的定义,根据函数 在定义域上是减函数,可得不等式 恒成立,从而可求 的取值范围; (2)利用分离参数思想原题意等价于 恒成立, ∵ ,∴函数 在 上单调减, ∴ 时,函数取得最小值 ,即 .
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