浙江省9+1高中联盟届高三上学期期中考试数学试题 Word版含答案.docx
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浙江省9+1高中联盟届高三上学期期中考试数学试题Word版含答案
浙江省9+1高中联盟2022届高三上学期期中考试
数学试题
选择题部分(共40分)
一.选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合
,则
()
A.
B.
C.
D.
2.复数
(
为虚数单位)在复平面内所对应的点在直线
上,则
()
A.
B.2C.
D.10
3.一个正棱柱的正视图和俯视图如图所示(单位:
),则该三棱柱侧视图的面积(单位:
)是()
A.
B.2C.
D.
4.函数
的图象可能是()
A.
B.
C.
D.
5.在
中,“角
为锐角”是“
”的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
6.若
为平面区域
内任意一点,则点
到平面区域
的边界的距离之和最大值是()
A.1B.
C.
D.2
7.用数字
组成五位数,且数字
至少都出现一次,这样的五位数共有()个.
A.120B.150C.210D.240
8.已知双曲线
的左右焦点分别为
,过
的直线
交双曲线的右支于
两点.点
满足
,且
.若
,则双曲线
的离心率是()
A.
B.
C.2D.
9.设函数
,若
,且
,则
的取值范围是()
A.
B.
C.
D.
10.已知数列
满足
,记数列
前
项和为
,则()
A.
B.
C.
D.
非选择题部分(共110分)
二、填空题(本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分)
11.直线
过定点(),直线
,若
,则
=()
12.《九章算术》中将底面为长方形,且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马.现有阳马
,
底面
,底面
为正方形,且
,则异面直线
与
所成角的大小为()
13.袋中装有大小相同的2个红球和1个黄球,小明无放回地连续摸取2次,每次从中摸取1个.记摸到红球的个数为
,则
(),
()
14.若
为奇函数,则
()
15.已知
且
,数列
的通项满足
,则
(),记
的前
项和为
,则
()
16.已知
,内角
所对的边分别是
的角平分线交
于点
.若
,则
(),
的取值范围是()
17.已知平面向量
满足:
,当
与
所成角
最大时,则
()
三、解答题(本大题共5小题,共74分。
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
18.(本小题满分14分)已知函数
.
(I)求函数
的最小正周期和单调递增区间;
(II)若
,求函数
的值域.
19.(本小题满分15分)在
中,
分别为
的中点,将
沿着直线
翻折,得到多面体
.若二面角
大小为
,
为
中点.
(I)求证:
;
(II)求直线
与平面
所成角的正弦值.
20.(本小题满分15分)已知数列
是公差大于0的等差数列,其前
项和为
,且
成等比数列.
(I)求数列
的通项公式;
(II)设
,其前
项和为
,则是否存在正整数
,使得
成等差数列?
若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
21.(本小题满分15分)已知
是抛物线
的焦点,点
是抛物线上横坐标为2的点,且
.
(I)求抛物线的方程;
(II)设直线
交抛物线
于
两点,若
,且弦
的中点在圆
上,求实数
的取值范围.
22.(本小题满分15分)已知函数
.
(I)求函数
的最小值;
(II)若
有三个零点
,
(i)求
的取值范围;
(ii)求证:
.
2021学年第一学期9+1高中联盟期中考
高三数学参考答案
一、选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
C
A
D
B
D
C
B
C
A
B
9.解:
,即
,
为方程
的两个根.
则有
,
,
,可得
.
.
令
,则
,所以
.
10.解:
由
可得
,
化简得
,
累加求和得
,
化简得
,
因为
,所以
,
即
,
.
,
,
所以
,
即
.
二、填空题
11.
,
;12.
;13.
,
;
14.
;15.84,
;16.4,
;
17.
.
16.解:
法一:
已知
,由正弦定理得
.
又因为
为
的角平分线,可得面积关系为
,
记
,则有
可得
,
又由余弦定理得
,即
.
又
,即
,
所以
,
,此时
.
即
.
法二:
由已知可得
,
所以点
在以
,
为焦点的椭圆上(去掉与直线
的两个交点),轨迹方程为
.
根据
为
的角平分线,及面积关系
,
记
,可得
,
即
.
又由椭圆焦点三角形的面积公式可得
,
所以
,又
,
此时
,即
.
17.解:
记
,
,
,
则
,
即点
的轨迹是以
为圆心,半径为1的圆.过
,
两点的圆
与圆
相外切,记切点为
,此时
最大(如图).
下证上述结论:
取圆
上不同于切点
的
点,因为
在圆
的外面,
所以
.
下面求当
最大时,
的值.
记圆
的半径为
,则
.
所以只需求出圆
的半径为
即可.
法一:
如右图,
为弦
的中点,
在
中,由余弦定理求得
,
,则
.
在
中,
,
,
,
,
由余弦定理得,
.
即
.
法二:
如图建系,
,
,
,点
在以
为圆心,1为半径的圆上.
以
为弦长作圆
,当圆
与圆
外切时
最大.
圆心
在弦
的中垂线
上,设
,
则
,
即
,
化简得
,即
或
(舍去),
此时
,得
.
三、解答题
18.(本题14分)解:
(Ⅰ)最小正周期
单调递增区间为
,
(Ⅱ)因为
,所以
,
因此,函数
的值域
.
19.(本题15分)解:
(Ⅰ)由题意知,
为等腰直角三角形,
,且在翻折过程中始终有
,
,故
即为二面角
的平面角,
于是
,
为正三角形.
取
的中点
,连接
,
,则
,
,又
,故
面
,
因此
(Ⅱ)法一:
设
,由(Ⅰ)知
为正三角形,且
.
取
的中点
,连接
,
,
则
,
,
,故
面
,于是有面
面
.
过点
作
交
于点
,连接
,则有
平面
,
所以
为直线
与平面
所成角
因为
面
,所以
.又因为
,
,
所以
.
因此,
.
法二:
以
为坐标原点,
,
所在直线为
轴和
轴,如图所示建立空间直角坐标系.
设
,则
,
,
,
,
于是
,
,
.
设平面
的一个法向量为
,则
,即
,取
,则
.
设直线
与平面
所成角为
,则
.
20.(本题15分)解:
(Ⅰ)设等差数列
的首项为
,公差为
,
则
,解得:
,
,
∴
.
(Ⅱ)因为
,
所以
.
假设存在正整数
,
,使得
,
,
成等差数列,
则
,即
,整理得
,
则
或25.
当
时,即
时,
(舍);
当
时,即
时,
符合题意.
因此存在正整数,
,
,使得
,
,
成等差数列
21.(本题15分)解:
(Ⅰ)
.
(Ⅱ)设直线
的方程为
,
,
.将直线
的方程与抛物线的方程联立,
得
,于是
,
,
,
且
,化简得
①.
设弦
的中点为
,则
,将点
的坐标代入圆的方程,得
,
且
,
由①代入消元,消去
,得
.
令
,则
,
于是
,解得
或
.
若当
时,
随
单调递增,故
.
若当
时,令
,
则
.因为
,
所以
,即
单调递减,故
综上所示,实数
的取值范围为
.
22.(本题15分)解:
(Ⅰ)
,
令
,则
,
故
在
单调递减,在
单调递增,
的最小值为
.
(Ⅱ)(i)由(Ⅰ)知,
时,
,
在
单调递增,不合题意;
当
时,
,
,
,
故
在
和
内分别有唯一的零点记为
,
,则
.
则
在
上单增,在
上单减,在
上单增.
易知
,1为
的一个零点,
,
又
,
,故
有三个零点,符合题意.
综上,
.
(ii)不妨记
的三个零点大小为
,即
.
又
,
即
.
所以当
时,
成立.
即当
,则
,且
,又
在
有且只有一个零点
,
所以
,即
.
化简
,得
,
所以
.
即
。
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