初中数学竞赛专题复习第三篇初等数论第20章同余试题新人教版doc.docx
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初中数学竞赛专题复习第三篇初等数论第20章同余试题新人教版doc
第20章同余
20.1.1★
(1)证明:
任意平方数除以4,余数为0或1;
(2)证明:
任意平方数除以8,余数为0、1或4.
解析
(1)因为
奇数
2
22k14k24k11(mod4),
偶数
2
22k4k20(mod4),
所以,正整数
21(mod4),n;
为奇数
n
0(mod4),n为偶数.
(2)奇数可以表示为2k1,从而
奇数
24k24k14kk11.
因为两个连续整数k、k1中必有一个是偶数,所以4kk1是8的倍数,从而
奇数
28i11mod8.
又,偶数
2
22
2k4k(k为整数).
22
若k偶数2t,则4k16t0mod8.
若k奇数2t1,则
2
22
4k42t116tt44(mod8).
0mod8,
所以,平方数1mod8,
4mod8.
评注事实上,我们也可以这样来证:
因为对任意整数a,有a0,±1,2(mod4),所以,a0,
1(mod4);又a0,±1,±2,±3,4(mod8),所以,
2
a0,1,4mod8.
20.1.2★求证:
一个十进制数被9除所得的余数,等于它的各位数字被9除所得的余数.
解析设这个十进制数Aanan1a2a1a0.
因101(mod9),故对任何整数k≥1,有
kk
1011mod9
.
因此
Aaaaaa
nn1210
nn1
a10a10a10a
nn110
aa1a1a0mod9.
nn
即A被9除所得的余数等于它的各位数字之和被9除所得的余数.
评注
(1)特别地,一个数能被9整除的充要条件是它的各位数字之和能被9整除.
(2)算术中的“弃
九
验算法”就是依据本题的结论.
20.1.3★★求证:
(1)
1999
85517;
(2)
2n
837
;
(3)
1000
17191.
解析
(1)因551mod8,所以
1999
551mod8,
1999
5517117160mod8,
于是
1999
8(5517).
(2)因为
2
391(mod8),
2n
31(mod8)
,所以
2n
37170mod8
,即
2n
837
.
(3)因为192mod17,
44
192161mod17,所以
250250
10004
191911mod17,
于是
1000
17191.
nnnn
20.1.4★★对任意的正整数n,证明:
2903803464261
A能被1897整除.
解析18977271,7与271互质.因为
29035mod7,8035mod7,
4642mod7,2612mod7,
nnnnnnnn
所以A290380346426155220mod7,故7|A
又因为
2903193mod271,
803261mod271,
464193mod271,
所以
2
A
nnnn
2903803464261
nnnn
1932611932610mod271
,故271|A
因(7,271)=1,所以1897整除A.
20.1.5★证明:
22225555
55552222能被7整除.
解析因为55554mod7,
3
4641mod7,
所以
2222222222220
5555444162mod7.
因为22223mod7,
2
32mod7,
2
31mod7,所以
5555555555550
2222333
925
226
3333223
5mod7.
于是
22225555
5555222225mod70mod7,
即
22225555
7|55552222.
20.1.6★★求最大的正整数n,使得
解析因为
1024
n整除.
31能被2
10245122561128
31313313131,①
而对于整数k≥1,有
2
k
2
k
31112mod4
,
所以,①式右边的11个括号中,(3+1)是4的倍数,其他的10个都是2的倍数,但不是4的倍数.故
n的最大值为12.
n
20.1.7★求使21为7的倍数的所有正整数n.
3
解析因为281mod7,所以对n按模3进行分类讨论.
(1)若n3k,则
k
n3kk
212181110mod7
;
(2)若n3k1,则
k
n3k
21221281
k
2111mod7
;
(3)若n3k2,则
k
n23k
21221481
k
4113mod7
.
3
n
所以,当且仅当3|n时,21
为7的倍数.
20.1.8★设n是正整数,求证:
7不整除4n1.
解析因为
1
44mod7,
2
42mod7,
3
41mod7.所以
当n3k时,
k
n3
4141112mod7
;
当n3k1时,
k
n3
41441415mod7
;
当n3k2时,
k
n3
4141611613mod7
.
n所以,对一切正整数n,7不整除41
.
20.1.9★今天是星期日,过
100
3天是星期几?
解析
3
3271mod7,所以
3333
1003
3331334mod7.
因此,过
100
3天是星期四.
20.1.10★★求
3326
(25746)被50除所得的余数.
解析2577mod50,
3333
2577mod50.
又
2
7491mod50,所以
4
71mod50.
8
334
7777mod50.
即
33
2577mod50.
从而
33
257467463mod50.
332626
(25746)3mod50.
由于
5
32437mod50.
10
3491mod50,所以
20
31mod50.于是
26205
3333732129mod50.
故
3326
(25746)除以50所得的余数为29.
20.1.11★
(1)求33除
1998
2的余数;
(2)求8除
2n1
71的余数.
4
解析
(1)先找与1mod33同余的数.因为
5
2321mod33,
所以
10
21mod33.
199
19981053
2222825mod33.
故所求的余数为25.
(2)因为71mod8,所以
2n121
n,711mod8
2n1
7126mod8
.
即余数为6.
20.1.12★求
55555
12399100除以4所得的余数.
5
解析因为2n0mod4,
5
2n12n1mod4,所以
55555
12399100
2
13599500mod4.
20.1.13★形如
k
2
F21,n0,1,2,⋯的数称为费马数.证明:
当n≥2时,Fn的末位数字是7.
n
解析当n≥2时,2
n是4的倍数,故令2n4t.
于是
F
n
21
k
2
4ttt
21161617mod10
.
即
F的末位数字是7.
n
评注费马数的头几个是F03,F15,F217,F3257,F465537,它们都是素数.费马便猜
测:
对所有的正整数n,
F都是素数.然而,这一猜测是错误的.首先推翻这个猜测的是欧拉,他证
n
明了下一个费马数F5是合数.有兴趣的读者可以自己去证明.
20.1.14★★已知n191919191919,求n被9除后所得商的个位数字是多少?
19191919
个
解析因为
n191919191919
19191919
个
19191919
5
191920224mod9.
所以9|n4.又n4的个位数字是5,故n被9除后所得商的个位数字是5.
20.1.15★★求
解析因为
999
2的末两位数.
10
210mod25,
10
21mod25,
100100
10
211mod25,
1000
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