张辉鑫老师金融场利率论的笔记与计算例整理.docx
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张辉鑫老师金融场利率论的笔记与计算例整理
張輝鑫老師金融市場利率論的筆記與計算例整理
一利率的定義:
1約成本面,利率是使用資金的代價→利息是成本。
2約收益面,利率是提供資金的報酬→利息是收入。
(參考視頻)複利的現象和利息的起源
二利率的報價型式,至少分三種:
1.年利率:
一般用在借貸及存放業務,含長短期債票券的RP/RS
2.到期殖利率YTM(YieldtoMaturity):
主要用在長期債券的買賣斷計算
3.貼現率(DiscountRate):
主要用在短期票券初(次)級市場的買賣斷計算
(按:
到期殖利率之計算俟債券市場再論。
貼現率俟貨幣市場再論。
)
三年利率計算方式:
若以利率來表示成本或報酬時,約期間論,分為二種:
(1)期間報酬率
(2)年化報酬率
若有一筆投資I,支出成本是C,收益是R,則:
支出的年化成本率=
×
×100%,其中
是期間成本率
收益的年化報酬率=
×
×100%,其中
是期間報酬率
例:
某甲台積電抱股10年賺60%(期間報酬率),60%÷10年=6%(年化報酬率)某乙抱股一個月賺3%(期間報酬率),3%×12個月=36%(年化報酬率)乍聽之下某甲60%強過某乙的3%,實則不然。
某乙的36%勝過某甲的6%。
因此以後聽到誰比誰投資厲害,都要約化為年報酬率,才能比較。
註:
時間軸很重要,掌握投資的期間,才能真正評鑑個案的投資報酬率。
四計息方式分兩種:
主要依是否利滾利來區分:
(一).單利(不滾利)
單利計算:
利息=本金×利率÷計息次數(一年內);I=P×i÷m
其中P是本金,i是利率,P×i是總利息。
m是一年中付息次數,I是每次
應得利息。
(參考視頻)利息計算_單利的計算
1.一般銀行活存及活儲業務以單利計息。
例:
本金10,000元,利率0.5%,一年計息一次,則以單利計算的利息為何?
答:
10,000×0.5%÷1=50元…………每年利息為50元
承上題,若改一年計息二次,則以單利計算的每次利息為多少元?
答:
10,000×0.5%÷2=25元…………每次(每半年)利息為25元
2.銀行定期存款亦有採單利計息者,即存本取息業務
存本利息定存業務:
期初存入一筆現金,按月領息,期末提回本金及最末期利息。
Im=P0×i÷12,I=12×Im,本利和P0+I=P0+12×Im(按月取息,到期取本)
其中Im為每月利息,P0為存入本金,i為存款年利率
例:
P0=500,000,利率為0.75%,期間N為1年期,求每月利息為多少?
答:
I=500,000×0.75%÷12=312.5四捨五入取313元,每月利息為313元
3.長短期債票券的RP/RS均以單利計息
公債(公司債)的附條件交易,計算公式如下:
到期本利和FV=P0×【1+
×(rp或rs)×(1-10%)】
其中FV為RP/RS交易的到期本利和,P0為RP/RS交易的期初本金,t是交易
期間的天數,最長不得超過365天,rp或rs分別是RP/RS交易的成交利率,
10%是現行附買(賣)回交易分離課稅的稅率。
註:
RP指RepurchaseAgreement,即(賣出)附買回交易,一般簡稱為REPO或RP;
RS是ReverseREPO即(買進)附賣回交易,一般簡稱為RS。
註:
依所得稅法修正案,自96年1月1日開始,包括公債等債券、短期票券及金融資產證券化、不動產證券化受益證券,或資產基礎證券從事附賣回條件交易,到期賣回金額超過原買入金額的融資利息,亦應採分離課稅,稅率明訂為10%。
註:
自99年1月1日開始,領受不動產證券化受益證券及資產基礎證券分配利息,亦應採分離課稅,稅率明訂為10%。
例:
某甲於民國99年3月10日(星期三)洽凱基證券公司承做公債(或公司債、商業本票、國庫券皆可)附買回交易,已知RP本金35,000,000元,約定利率rp=0.25%,為期30天,試問到期日幾月幾日?
到期本利和若干?
稅後利息若干?
若某甲於RP到期時並不缺錢,直接再續做42天,利率rp改為0.2%,試問到期日幾月幾日?
到期本利和若干?
稅後利息若干?
(按:
本題有六道問題,宜分別作答)
解1:
第一次RP交易到期日為99年4月9日(星期五)----答案1
令到期本利和=FV1
FV1=P0×【1+
×rp×(1-10%)】其中10%為分離稅率
=35,000,000×【1+
×0.25%×(1-10%)】
=35,006,472.6027應取正整數
≒35,006,473--------------------------------答案2
其中稅後RP利息為6,473元-----------------------答案3
解2:
續做部份,RP本金變成原到期金額為35,006,473元,
續做之到期日為99年5月21日(星期五)----------答案4
令續做之到期本利和=FV2
FV2=P0×【1+
×rp×(1-10%)】
=35,006,473×【1+
×0.2%×(1-10%)】
=35,013,723.6558應取正整數
≒35,013,724------------------------------答案5
其中累積稅後RP利息為13,724元---------------答案6
(練習:
假設其他條件不變,本題如將第一次RP交易之天期改為84天,答案將如何?
且如到期續做15天,利率改為0.2%,答案又如何?
)
例:
某甲於99年3月10日(星期三)洽凱基證券公司承做公債RP,本金35,000,000元,約定利率rp=0.25%,為期30天,試問到期日幾月幾日?
到期本利和若干?
答:
到期日為99年4月9日(星期五)
令到期本利和=FV
FV=P0×【1+
×rp×(1-10%)】
=35,000,000×【1+
×0.25%×(1-10%)】
=35,006,472.6027應取正整數
≒35,006,473
其中稅後RP利息所得為6,473元
投資人洽金融機構承作債券RP時,從債券交易的角度看,投資人是債券的買方,故應支付交易本金P0。
而金融機構是債券賣方,須開立債券賣出成交單給投資人,應交付債券。
一般以銀貨兩訖為原則。
唯投資人無法取得實體債券,僅能取得以投資人名義存在原保管銀行的債券保管條。
俟RP到期日,雙方履行附帶買回交易,金融機構變成是債券的買方,須開立債券買進成交單給投資人,並應交付買回債券的價金,即原先約定的RP到期本利和FV,而投資人可收取該RP到期本利和FV,但投資人手上的債券保管條則被註銷作廢。
此RP到期本利和FV中含有應付投資人的利息,依現制採就源扣繳所得稅,故投資人取得之利息為稅後利息所得。
金融機構開立債券RP交易的債券賣出成交單與買進成交單上,都各有四個金額數字,一是債券面額,二是債券價金,三是債券的應計利息,四是賣出成交總金額。
賣出成交單的賣出成交總金額,就是RP交易的本金P0。
買進成交單上買進成交總金額,就是RP的稅前到期本利和。
至於每一筆RP的交易標的是那一種債券,則由金融機構配券。
投資人既然以賺取稅後利息為目的,對於配券內容,亦即債券的名目期次等,一般是不過問的。
但若配券太少,例如RP本金P0為5,000萬元,但配券只3,000萬元,即有低價高賣之嫌,形同金融機構以較少債券融通較多資金,極端情況時將趨近無息融資。
若配券太多,例如RP本金P0為5,000萬元,但配券達9,000萬元,則有輸送利益之嫌,形同金融機構以賤價借券給投資人周轉。
因此金融機構配券時仍應參考該標的債券的市價,以較接近市價原則配券,則無爭議。
(二).複利(滾利)
所謂滾利,指將前期應計利息,滾入下期本金,再予計息之意。
若期數
不止一期,則連續重複利上滾利。
銀行除存本取息業務外之其他定存,以及
放款業務,都採複利計息。
(參考視頻)利息計算_複利的計算
(參考視頻)連續複利與自然對數底e的出現
(1).整存整付定存業務:
期初存入一筆現金P0,期間都不領息,期末一次提回本金P0及利息I。
本利和=P0+I=P0(1+
)
,其中
是定存年利率,N是定存期間的年數。
因銀行皆採按月複利,故取
的月利率計算
例:
整存整付本金P0=500,000,利率為0.85%,N為3年期,求到期本利和FV(=P0+I)為多少?
答:
P0+I=500,000×(1+
)
=500,000×(1+
)
=512,909.3231取正整數
≒512,909元
其中P0=500,000元
I=12,909元
例:
某甲以平價購入某公司債面額5,000,000元,成交日為發行日。
該債券票面利率為3.125%,3年期,每年複利一次,到期一次還本付息。
試問某甲於到期日可領得本利和若干?
答:
本利和FV=P0+I
=5,000,000×(1+3.125%)
=5,483,551.02539應取正整數
≒5,483,551元;
其中
本金P0=5,000,000元
債息I=483,551元
例:
承上題,若該債券每半年複利一次,到期一次還本付息,試問到期日本利
和若干?
答:
本利和FV=P0+I
=5,000,000×(1+
)
=5,487,446.5150應取正整數
≒5,487,447元;其中
本金P0=5,000,000元
債息I=487,447元
例:
承上題,若該債券每毫微秒複利一次,到期一次還本付息,試問到期日
本利和若干?
答:
本利和FV=P0+I
=5,000,000×(1+
)
……每毫微秒複利一次,相當於3年中無限次複利
=5,000,000×e
;e=2.718281828459045235360287......
=5,491,425.70154取正整數;
≒5,491,426元
註:
e
在EXCEL運算時,應輸入EXP(3×3.125%)
註:
e,自然對數底(BaseofNaturalLogarithm)研究e的由來
本金=1,年利率=100%,一年計息一次,以複利計算,本利和為
1+(1×100%)提出1
=1×(1+100%)
=2
本金=1,年利率=100%,半年計息一次,一年計2次,以複利計算,本利和為
第一次計息
本利和=1+(1×
)
=1+(1×50%)提出1
=1×(1+50%)
=1.5…………………………此第一次計息的應收付本利和
第二次計息
本利和=1.5+(1.5×
)
=1.5+(1.5×50%)
=1.5×(1+50%)………….代入第一次計息的應收付本利和
=1×(1+50%)×(1+50%)
=1×(1+50%)
=1×(1+
)
=2.25…………………………此第二次計息的應收付本利和
以此類推,本金=1,年利率=100%,一年計4次,以複利計算
1×(1+25%)×(1+25%)×(1+25%)×(1+25%)
=1×(1+
)
=2.44140625
如果一年計10次
=1×(1+
)
=2.5937424601
如果一年計20次
=1×(1+
)
=2.653297705144420133945430765152...不循環小數位數已超出一般計算機範圍
如果一年計息無限次,當n=∞時可得一公式
定義:
=2.718281828459045235360287471352662497757......令為e,此即自然對數底
當一年計算的次數趨近無限大,本金1元利率100%的本利和就越接近這個數字
若求t年當中複計次數m趨近無限大,利率r,本金1元的未來值即本利和,為e
或求t年後未來值1元的折現值,為e
(參考視頻)連續複利與自然對數底e的出現
上式在選擇權定價模型引用布萊克‧休斯模型(B-Smodel)時,還要用到。
註:
資料來源http:
//zh.wikipedia.org/wiki/E_(%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%B8%B8%E6%95%B0)
(2).零存整付定存業務:
謂每期期初存入一筆現金,連續一段期間,期末一次提回本金及利息之定存。
公式推導
若每期期初存1元,每年存1次,則N年後之期末年金終值為
期末終值FV=P+I=(1+i)
+
+(1+i)———
其中P是全部投入本金,I是全部所得利息
將第式等號兩邊同時乘以(1+i),得
(1+i)×FV=(1+i)
+
+(1+i)
——
以第式-第式,等號兩邊再同除以i
得i×FV=(1+i)
-(1+i)——
第
式等號兩邊同除以i
初解得FV=
這是每年存1元連續N年利率為i的期末終值
其次若每期期初存P0元,每年存1次,則N年後之期末終值為
得FV=P0×
這是每年存P0元連續N年利率為i的期末終值
復次若每期期初存P0元,改每月存1次,則N年後之期末終值為
FV=P0×
這是每月存P0元連續N年利率為i的期末終值
(以上初、次、復次三段思維,適用於所有年金現值、終值的推算)
例:
每月初定期定額存入P0=5,000,利率為0.8%,N為3年期,求期末可提存之終值FV(=P+I)為多少?
答:
P+I=5,000×
=182,237.3649取整數182,237元
其中本金P=5,000×(3×12)=180,000
利息I=2,237元
既然一般銀行都開辦每月定期定額的零存整付業務,故依此概念,已有銀行另開辦週週存及雙週存的零存整付定存業務。
計算期末一次可領
計算零存整付定存業務本利和的期末終值,關鍵在期間利率(年利率、月利率、雙週利率、週利率)及總計息期數。
例:
每週存P0=5,000,利率為0.8%,N為3年期,求到期值FV(=P+I)為多少?
答:
期末本利和P+I=5,000×
=791,664.1009
取整數為791,664元
其中P=5,000×(365/7)×3=782,142.8571
取整數為782,143元
利息I=9,521元
註:
本題中
的冪次即三年中精確計算的總週數,並非以一般常說的一年52週概算。
實務上銀行採混含支付本息,並不區分其中本金與利息各若干。
否則難以說明既然每週存入5,000的整數,何以存三年的總本金竟非為5,000的整數倍金額,而是782,143元。
例:
與銀行約定每兩週存P0=10,000,利率為0.8%,N為3年期,求FV(=P+I)為多少?
答:
期末本利和P+I=10,000×
=791,724.0858取整數791,724元
其中P=10,000×
×3=782,142.8571取整數782,143元,同週週存本金數
I=9581.2287元取整數9,581元,比週週存的利息多些。
例:
每月初存P0=20,000,利率為0.8%,N為3年期,求FV(=P+I)為多少?
答:
P+I=20,000×
=728,949.4598取整數728,949元
其中本金P=20,000×12×3=720,000
利息I=8,949元
(3).整存零付定存業務
期初存入一筆本金M,之後每期提領固定本利和P0=Pt+It,至提清全部本息為止。
解題思惟,期初值的整存整付值,將等於每期取回本利和的期末終值。
故M×
=P0×
即可解出每月取回本利和P0金額。
這種業務因採單筆給付,故銀行不再按月細分此每期的(Pt+It)中本金(Pt)及利息(It)各若干。
例:
期初存入一筆M=1,000,000元,N=3年,利率為0.85%,求每月可提領本利和P0若干?
答:
1,000,000×
=P0×
P0=
=28,143.28591
取整數為28,143元
總共3年可領回28,143×12×3=1,013,148元
例:
某家長於開學時在銀行為子女存入一筆本金M元,與銀行約定整存零付定存期間為N年,利率為i,求其子女每月可提領本利和P0=Pt+It生活費若干?
答:
依據所約定M、N、i的不同內容,可得下表。
請學習者自行驗算。
M
N
i
P0(精算)
P0(最終答案)
140000
2
0.70%
5875.96314
5876
150000
2
0.75%
6298.94507
6299
180000
3
0.80%
5061.9064
5062
200000
3
0.85%
5628.65718
5629
240000
4
0.90%
5092.41455
5092
250000
4
0.95%
5309.9795
5310
300000
4
1.00%
6378.43677
6378
例:
期初存入一筆M=1,000,000元,N=3年,利率為0.85%,求每兩週可提領本利和P0若干?
答:
P0=
=12951.17859取整數為12,951元
總共3年可領回12,951×
×3=1,012,953元
例:
期初存入一筆M=1,000,000元,N=3年,利率為0.85%,求每週可提領本利和P0若干?
答:
P0=
=6,475.06832取整數為6,475元
總共3年可領回6,475×
×3=1,012,875元
(4).銀行貸款業務計算題之一_本息定額法
銀行期初貸出一筆本金M,之後每月收回一筆固定的本利和P0;P0=Pt+It,直至債務人清償全部本息為止。
說是Pt+It,是因為每一期(每個月)的還本Pt與付息It金額都不一樣。
解題思惟:
同整存零付概念,期初值的整存整付值,將等於每期取回本利和的期末終值。
因為銀行每月收繳本利和金額相同,故名本息定額法。
故M×
=P0×
即可解出每月取回本利和P0(=Pt+It)金額
例:
某甲向某乙銀行借入一筆現金M=6,000,000元,期限N=15年,放款利率為2.75%,求每月銀行以本息定額法應收繳本利和若干?
答:
首先計算每月應償還本利和P0,再去解各月的Pt+It
套用公式,6,000,000×
=P0×
解得P0=Pt+It=40,717.29825元,銀行只能收付正整數,故取40,717元。
再依序去求解這筆40,717元中隱含各月應繳本金Pt及利息It金額。
茲將全部計算步驟再統整列述於後:
(1).首先計算出每期應計本息定額,即每個月的本利和P0。
(2).利用原始貸款本金M,計算出第一個月應收利息It=1=M×
。
(3).由每月應償還本利和P0扣除上一程序所得本月利息It,可算出本月
應償還本金Pt。
(4).由前月未償還本金餘額Mt-1扣除本月應償還本金Pt,得到本月未償還
本金餘額Mt。
亦即Mt-1-Pt=Mt。
(5).以前月未償還本金餘額Mt-1,計算出本月應計利息It
It=Mt-1×
。
(6).連續前三程序至最末期。
最末期未償還本金餘額必須歸零,才算是
徹底清償。
(7).如最末期未償還本金餘額不是0,表示本題存在有累積殘差值,或正數
或負數,則應納入最末期本金一次清償。
此時應注意最末期本利和
數字並非前述之P0,而是調整後的Pt+It。
以下是本題依照本息定額法計算所得之銀行貸款償還本息明細表
M=
6000000
元
i=
2.75%
N=
15
年
期數
償還
償還
償還
未償還
本金
利息
本利和
本金餘額
1
26967
13750
40717
5973033
第一個月是利用原始貸款本金M計算應計利息
2
27029
13688
40717
5946004
3
27091
13626
40717
5918913
……
……
……
……
……
177
40346
371
40717
121661
178
40438
279
40717
81223
179
40531
186
40717
40692
180
40624
93
40717
68
最末期必須完全清償,不應該留有累積殘差值,應歸入本金一次清償。
180
40624+68
=40692
93
40692+93
=40785
0
這才是最正確的最末期金額
(5).銀行貸款業務計算題之一_本金定額法
銀行期初貸出一筆本金M,之後每月要收回一筆固定的本金Pt,外加當月利息,至債務人清償為止。
解題思惟,銀行先求算各期應償還定額本金,其次計算每期未償還本金餘額,以前期未償還本金餘額來計算下月應計利息,即可求解每月本利和。
其中本金部分每月都相同,故名本金定額法。
例:
某甲向某乙銀行借入一筆現金M=6,000,000元,期限N=15年,放款
利率為2.75%,求每月銀行以本金定額法應收繳本利和若干?
答:
銀行要每月定額收回本金,故先以原始貸款本金除以總期數算出每月
應收本金餘額,取正整數。
再依每月未償還本金餘額計算下期應收利息。
最末期如有殘差值,應納入當期本金一次清償。
茲以銀行立場,將全部計算步驟再統整列述於後:
(1).首先計算每月應收付本金定額,即Pt=
,這在每月是一個定額。
(2).利用原始貸款本金M,計算出第一個月應收利息It=1=M×
。
(3).由每期應收付本金定額Pt加計上一程序所得本月利息It,可算出本月
應償還本金Pt+It。
(4).由前月未償還本金餘額Mt-1扣除本月應償還本金Pt,得到本月未償還
本金餘額Mt。
亦即Mt-1-Pt=Mt。
(5).以前月未償還本金餘額Mt-1,計算出本月應計利息It=Mt-1×
。
(6).連續前三程序至最末期。
最末期未償還本金餘額必須歸零,才算是
徹底清償。
(7).如最末期未償還本金餘額不是0,表示本題存在有累積殘差值,或正數
或負數,則應納入最末期本金一次清償。
此時應注意最末期本利和
數字並非前述之P0,而是調整後的Pt+It。
以下是本題依照本金定額法計算所得之銀行貸款償還本息明細表
M=
6000000
元
i=
2.75%
N=
15
年
期數
償還
償還
償還
未償還
本金
利息
本利和
本金餘額
1
33333
13750
47083
5966667
第一個月是利用原始貸款本金M計算應計利息
2
33333
13674
47007
5933334
3
33333
13597
46930
590000
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