版高考物理一轮复习 第八章 磁场冲刺训练.docx
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版高考物理一轮复习第八章磁场冲刺训练
2019版高考物理一轮复习第八章磁场冲刺训练
带电粒子在匀强磁场中的运动频繁命制压轴大题,涉及的题型通常有磁场区域最小面积的求解,“数学圆”模型在电磁学中的应用,“磁发散”和“磁聚焦”等问题。
三种题型分装在三节课时中,本节课则通过对近年高考及各地模拟题的研究,阐述五种磁场区域最小面积的求法。
粒子速度确定的圆形磁场区域
速度确定的带电粒子在匀强磁场中运动,其轨迹半径确定。
要求出圆形磁场区域的最小面积,一般方法是先确定带电粒子在磁场区域的入射点和出射点,连接这两点即得到磁场区域的直径,根据图中几何关系得到磁场区域直径的数值,然后利用面积公式得出圆形磁场区域的最小面积。
[典例1] 如图所示,一质量为m、电荷量为q的带电粒子,从y轴上的P1点以速度v射入第一象限所示的区域,入射方向与x轴正方向成α角。
为了使该粒子能从x轴上的P2点射出该区域,且射出方向与x轴正方向也成α角,可在第一象限适当的地方加一个垂直于xOy平面、磁感应强度为B的匀强磁场。
若磁场分布为一个圆形区域,则这一圆形区域的最小面积为(不计粒子的重力)( )
A.
B.
cos2α
C.
sinαD.
sin2α
[解析] 粒子在磁场中做匀速圆周运动,洛伦兹力提供向心力,由牛顿第二定律得qvB=m
,则粒子在磁场中做圆周运动的半径R=
。
由题意可知,粒子在磁场区域中的轨迹应与入射方向的速度、出射方向的速度相切,如图所示。
则与入射方向所在直线和出射方向所在直线的距离都为R的O′点就是圆周的圆心。
粒子在磁场区域中的轨迹就是以O′为圆心、R为半径的圆弧ef,而e点和f点应在所求圆形磁场区域的边界上。
在通过e、f两点的不同的圆周中,最小的一个是以ef连线为直径的圆周,即得圆形区域的最小半径r=Rsinα=
,则这个圆形区域的最小面积Smin=πr2=
,故D正确。
[答案] D
粒子速度不确定的圆形磁场区域
速度不确定的带电粒子在匀强磁场中运动,其轨迹半径不确定。
可根据题述带电粒子在磁场区域的入射线和出射线,画出可能的运动轨迹。
然后利用题述条件,确定带电粒子在磁场区域的入射点和出射点,连接这两点即得到磁场区域的直径,然后利用面积公式得出圆形磁场区域的最小面积。
[典例2] (2017·长春质量监测)如图所示,在x轴上方有垂直于xOy平面向外的足够大匀强磁场(图中没有画出该磁场),一个质量为m,电荷量为q(q>0)的粒子,在P点以速率v沿与x轴成某一角度射入磁场,然后粒子从Q点离开磁场,P点与Q点关于y轴对称且相距为2a,其中a=
(B为磁感应强度,大小未知,不计粒子重力的影响)。
(1)求粒子从P点运动到Q点的时间;
(2)若匀强磁场只在x轴上方某一区域内存在,且磁场边界为圆形,改变粒子的入射方向,使粒子进入磁场位置的横坐标x=-
,其中a=
(B′为磁感应强度,大小未知,不计粒子重力的影响),还能保证粒子经过Q点,求粒子进入磁场位置的纵坐标及该圆形磁场区域的最小面积。
[解析]
(1)粒子进入磁场在洛伦兹力作用下,做部分圆周运动,经过PQ两点的圆弧既可以是优弧也可以是劣弧,则
由qvB=m
得r=
=2a
圆周运动的周期T=
=
劣弧对应的圆心角θ满足sin
=
=
,得θ=
优弧对应的圆心角θ′=2π-θ=
粒子运动时间t=
T=
或t=
T=
。
(2)由题意可知,粒子进入磁场前先做一段直线运动,进入磁场后,在洛伦兹力作用下,做一段圆弧运动,而后离开磁场区域,再做一段直线运动到达Q点,如图所示。
设进入磁场点的坐标为(x,y),粒子圆周运动的半径为r′。
由B′qv=
得r′=a
由几何关系得r′2=x2+(r′cosα)2
tanα=
,x=
,解得y=
a
当磁场边界圆的直径为进出磁场点之间的线段时,磁场面积最小,对应的半径最小。
由对称性可知磁场最小半径为
,最小面积为Sm=π
2=
a2。
[答案]
(1)
或
(2)
a
a2
半圆形磁场区域
要求出半圆形磁场区域的最小面积,一般方法是先确定带电粒子在磁场区域的入射点和出射点,画出运动轨迹。
连接带电粒子在磁场区域的入射点和出射点,该线段的平分线与轨迹的交点到入射点和出射点连线的距离即为半圆形磁场区域半径,然后利用面积公式得出半圆形磁场区域的最小面积。
[典例3] 如图所示,在直角坐标xOy平面y轴左侧(含y轴)有一沿y轴负向的匀强电场,一质量为m、电量为q的带正电粒子从x轴上P处以速度v0沿x轴正向进入电场,从y轴上Q点离开电场时速度方向与y轴负向夹角θ=30°,Q点坐标为(0,-d),在y轴右侧有一与坐标平面垂直的有界匀强磁场区域(图中未画出),磁场磁感应强度大小B=
,粒子能从坐标原点O沿x轴负向再进入电场。
不计粒子重力,求:
(1)电场强度大小E;
(2)如果有界匀强磁场区域为半圆形,求磁场区域的最小面积;
(3)粒子从P点运动到O点的总时间。
[解析]
(1)设粒子从Q点离开电场时速度大小为v,由粒子在匀强电场中做类平抛运动得v=2v0
由动能定理得qEd=
mv2-
mv02
解得E=
。
(2)设粒子从M点进入、N点离开半圆形匀强磁场区域,粒子在磁场中做匀速圆周运动半径为r,圆心为O1,轨迹如图所示。
由洛伦兹力提供向心力,得qvB=m
解得r=
=2d
若半圆形磁场区域的面积最小,则半圆形磁场区域的圆心为O2,可得半径R=1.5r=3d
半圆形磁场区域的最小面积S=
πR2=
πd2。
(3)设粒子在匀强电场中运动时间为t1,粒子从Q点离开电场时沿y轴负向速度大小为vy,有
vy=
v0,d=
t1
解得t1=
设粒子在磁场中做匀速圆周运动时间为t2,有
t2=
=
粒子在QM、NO间做匀速直线运动时间分别为t3、t4,由几何关系得
QM的长度
=
d
NO的长度
=
d
得t3=
=
,
t4=
=
粒子从P点运动到O点的总时间为
t=t1+t2+t3+t4=
。
[答案]
(1)
(2)
πd2 (3)
矩形磁场区域
要求出矩形磁场区域的最小面积,必须求出矩形的最小长和宽。
一般方法是先确定带电粒子在磁场区域的入射点和出射点,画出运动轨迹。
根据运动轨迹确定矩形磁场区域的最小长和宽,然后利用面积公式得出矩形磁场区域的最小面积。
[典例4] 如图,xOy平面内存在着沿y轴正方向的匀强电场。
一个质量为m、带电荷量为+q的粒子从坐标原点O以速度v0沿x轴正方向开始运动。
当它经过图中虚线上的M(2
a,a)点时,撤去电场,粒子继续运动一段时间后进入一个矩形匀强磁场区域(图中未画出),又从虚线上的某一位置N处沿y轴负方向运动并再次经过M点。
已知磁场方向垂直xOy平面(纸面)向里,磁感应强度大小为B,不计粒子的重力。
试求:
(1)电场强度的大小;
(2)N点的坐标;
(3)矩形磁场的最小面积。
[解析] 粒子的运动轨迹如图所示。
(1)粒子从O到M做类平抛运动,设时间为t,则有
2
a=v0t,a=
·
t2
解得E=
。
(2)设粒子运动到M点时速度为v,与x方向的夹角为α,则vy=
t=
v0,v=
=
v0,tanα=
=
,
即α=30°
由题意知,粒子从P点进入磁场,从N点离开磁场,粒子在磁场中以O′点为圆心做匀速圆周运动,设半径为R,则qvB=m
解得粒子做圆周运动的半径为R=
=
由几何关系知β=
∠PMN=30°
所以N点的纵坐标为yN=
+a=
+a,横坐标为xN=2
a。
即N点的坐标为(2
a,
+a)。
(3)当矩形磁场为图示虚线矩形时的面积最小。
则矩形的两个边长分别为
L1=2R=
,L2=R+Rsinβ=
所以矩形磁场的最小面积为Smin=L1×L2=
。
[答案]
(1)
(2)(2
a,
+a) (3)
两圆弧包围的磁场区域
要求出两圆弧包围的磁场区域的最小面积,一般方法是先根据带电粒子在磁场中运动轨迹确定两磁场边界圆弧,然后利用几何关系和相关知识得出两圆弧包围的磁场区域的最小面积。
[典例5] 如图,ABCD是边长为a的正方形。
质量为m、电荷量为e的电子以大小为v0的初速度沿纸面垂直于BC边射入正方形区域。
在正方形内适当区域中有匀强磁场。
电子从BC边上的任意点入射,都只能从A点射出磁场。
不计重力,求:
(1)此匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大小;
(2)此匀强磁场区域的最小面积。
[解析]
(1)设匀强磁场的磁感应强度的大小为B。
令圆弧
是自C点垂直于BC入射的电子在磁场中的运动轨迹。
电子所受到的磁场的作用力f=ev0B,应指向圆弧的圆心,因而磁场的方向应垂直于纸面向外。
圆弧
的圆心在CB边或其延长线上。
依题意,圆心在A、C连线的中垂线上,故B点即为圆心,圆半径为a,根据牛顿第二定律有f=m
联立解得B=
。
(2)由
(1)中得出的磁感应强度的方向和大小,可知自C点垂直于BC入射电子在A点沿DA方向射出,且自BC边上其他点垂直于BC入射的电子的运动轨迹只能在BAEC区域中。
因而,圆弧
是所求的最小磁场区域的一个边界。
为了确定该磁场区域的另一边界,我们来探讨射入A点的电子的速度方向与BA的延长线夹角为θ(不妨设0≤θ≤π/2)的情形。
该电子的运动轨迹qpA如图所示。
图中,圆弧
的圆心为O,pq垂直于BC边,且圆弧
的半径仍为a,在以D为原点、DC为x轴,DA为y轴的坐标系中,p点的坐标(x,y)为
x=asinθ,y=-[a-(a-acosθ)]=-acosθ
这意味着,在0≤θ≤π/2范围内,p点形成以D为圆心、a为半径的四分之一圆周
,它是电子做直线运动和圆周运动的分界线,构成所求磁场区域的另一边界。
因此,所求的最小匀强磁场区域分别由B和D为圆心、a为半径的两个四分之一圆周
和
所围成,其面积为S=2
=
a2。
[答案]
(1)垂直于纸面向外
(2)
a2
[提能增分集训]
1.如图所示,在平面直角坐标系xOy中的第一象限内存在磁感应强度大小为B、方向垂直于坐标平面向里的有界圆形匀强磁场区域(图中未画出);在第二象限内存在沿x轴负方向的匀强电场。
一粒子源固定在x轴上坐标为(-L,0)的A点。
粒子源沿y轴正方向释放出速度大小为v的电子,电子恰好能通过y轴上坐标为(0,2L)的C点,电子经过磁场偏转后恰好垂直通过第一象限内与x轴正方向成15°角的射线ON(已知电子的质量为m,电荷量为e,不考虑粒子的重力和粒子之间的相互作用)。
求:
(1)匀强电场的电场强度E的大小;
(2)电子离开电场时的速度方向与y轴正方向的夹角θ;
(3)圆形磁场的最小面积Smin。
解析:
(1)从A到C的过程中,电子做类平抛运动,y方向匀速运动,x方向匀加速运动,则有
2L=vt,L=
at2,eE=ma
联立解得E=
。
(2)设电子到达C点的速度大小为vC,方向与y轴正方向的夹角为θ。
由动能定理,有
mvC2-
mv2=eEL
解得vC=
v
则cosθ=
=
,解得θ=45°。
(3)画出带电粒子的运动轨迹如图所示。
电子在磁场中做匀速圆周运动,由洛伦兹力提供向心力有evCB=m
解得半径r=
=
电子在磁场中偏转120°后垂直于ON射出。
磁场最小半径为
Rmin=
=rsin60°
可得Rmin=
圆形磁场的最小面积
Smin=πRmin2=
。
答案:
(1)
(2)45° (3)
2.(2017·山西四校第三次联考)
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- 版高考物理一轮复习 第八章 磁场冲刺训练 高考 物理 一轮 复习 第八 磁场 冲刺 训练