高中数学必修五知识点公式总结.docx

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高中数学必修五知识点公式总结

必修五数学公式概念

第一章解三角形

1.1正弦定理和余弦定理

1.1.1正弦定理

1、正弦定理：

在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

abc

sinAsinBsinC

.

abc

正弦定理推论：

①2R

sinAsinBsinC

（R为三角形外接圆的半径）

②a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC③

asinAbsinBasinA

,

bsinBcsinCcsinC

④a:

b:

csinA:

sinB:

sinC⑤

abcabc

sinAsinBsinCsinAsinBsinC

2、解三角形的概念：

一般地，我们把三角形的各个角即他们所对的边叫做三角形的元素。

任何一个三角形都有六个元素：

三条边（a,b,c）和三个内角（A,B,C）.在三角形中，已知三

角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。

3、正弦定理确定三角形解的情况

图形关系式解的个数

①absinA

②ab

一解

A

为

锐

bsinAab两解

角

absinA无解

A

为ab一解

钝

角

或

直ab无解

角

4、任意三角形面积公式为：

必修五数学1

111abc

SbcsinAacsinBabsinC

ABC

2224R

r

2

p（pa）（pb）（pc）（abc）2RsinAsinBsinC

2

1.2余弦定理

5、余弦定理：

三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角

的余弦的积的两倍，即

2222cos

abcbcA，

2222cos

baccaB，

2222cos

cababC.

余弦定理推论：

cosA

222

bca

2bc

，

cosB

222

acb

2ac

，

cosC

222

abc

2ab

6、不常用的三角函数值

15°75°105°165°

62626262

sin

4444

62626262

cos

4444

tan23232323

1.1.2应用举例

1、方位角：

如图1，从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角。

2、方向角：

如图2，从指定线到目标方向线所成的小于90°的水平角。

（指定方向线是指正

北或正南或正西或正东）

3、仰角和俯角：

如图3，与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标

视线在水平视线上方时叫做仰角，目标视线在水平视线下方时叫做俯角。

（1）方位角

（2）方向角（3）仰角和俯角（4）视角

4、视角：

如图4，观察物体的两端，视线张开的角度称为视角。

5、铅直平行：

于海平面垂直的平面。

6、坡角与坡比：

如图5，坡面与水平面所成的夹角叫坡角，坡面的铅直

高度与水平宽度的比叫坡比

i

h

l

.

（5）坡角与坡比

必修五数学2

第二章数列

1.3数列的概念与简单表示法

1、数列的定义：

按照一定顺序排列的一列数称为数列。

数列中的每一个数都叫做这个数列

的项。

数列中的每一项和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项（也叫首项），

排在第二位的数称为这个数列的第2项，⋯，排在第n位的数称为这个数列的第n项。

所以，

数列的一般形式可以写成

a，a2，a3，⋯，an，⋯，简记为an.

1

2、数列的通项公式：

如果数列an的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，

那么这个公式叫做这个数列的通项公式。

3、数列的递推公式：

如果已知数列的第1项（或前几项），且从第2项（或某一项）开始的

任一项

a与它的前一项an1（或前几项）（n2）间的关系可以用一个公式表示，那么

n

这个公式叫做这个数列的递推公式。

定义式为21

ana（n1）

n1

4、数列与函数：

数列可以看成以正整数集

*

N（或它的有限子集1,2,3,4,⋯,n）为定

义域的函数anfn，当自变量按照从大到小的顺序依次取值时，所对应的一列函数值。

通项公式可以看成函数的解析式。

5、数列的单调性：

若数列an满足：

对一切正整数n，都有an1an（或an1an），

则称数列

a为递增数列（或递减数列）。

n

判断方法：

①转化为函数，借助函数的单调性，求数列的单调性；

②作差比较法，即作差比较

a与an的大小；

n1

1.4等差数列

1、等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同

一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d

表示。

定义式为anan1d（n2，n

*

N）或an1and（n

*

N）

2、等差中项：

由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列。

这时，A

叫做a与b的等差中项。

A是a，b的等差中项

ab

A2AabAabA.

2

3、等差中项判定等差数列：

任取相邻的三项an1，an，an1（n2,n

*

N），则

a，an，an1成等差数列2anan1an1（n2）an是等差数列。

n1

必修五数学3

4、等差数列的通项公式ana1n1d，其中a1为首项，d为公差。

变形为：

d

aa

n.

1

n1

5、通项公式的变形：

anamnmd，其中am为第m项。

变形为

d

aa

n.

m

nm

6、等差数列的性质：

（1）若n，m，p，q

*

N，且mnpq，则amanapaq；

（2）若mn2p，则

ama2a；

np

（3）若m，p，n成等差数列，则

a，ap，an成等差关系；

m

（4）若

a成等差数列anpnq（公差为p，首项为pq）；

n

（5）若cn成等差数列，则an也成等差数列；

（6）如果

abn都是等差数列，则panq，panqbm也是等差数列。

n

2.3等差数列的前n项和

1、一般数列an与sn的关系为

Sn1

1

a

n.

SSn2

nn1

naann1

1n

2、等差数列前n项和的公式：

Snad

n12

2

nn1dd

2

3、等差数列前n项和公式的函数特征：

（1）由Snna1dnan，

1

222

令

dd

2

A，Ba，则an为等差数列SnAnBn（A、B为常数，其中d2A，

1

22

a1）.若A0，即d0，则Sn是关于n的无常数项的二次函数。

若A0，即

ab

d，则Snna1.

（2）若an为等差数列，

0

Sn

n

也是等差数列，公差为

d

2

（3）若an为等差数列，Sk,S2kSK,S3kS2k,也成等差数列

（4）若Sm

n，Smn，则Smnmn（5）若SmSn，则Smn0

（6）若

anb是均为等差数列，前n项和分别是An与Bn，则有

n

a

m

b

m

A

2m

B

2m

1

1

（7）在等差数列an中，a10，d0，则Sn存在最大值，a10，d0，则Sn存

在最小值。

2.4等比数列

必修五数学4

1、等比数列：

一般地如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一常数，那

么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示q0.

定义式：

a

n

a

n

1

q，（n2,an0,q0）.

2、等比中项：

如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a

与b的等比数列。

a，G，b成等比数列

Gb

aG

2

GabGab

.

两数同号才有等比中项，且有2个互为相反数。

3、通项公式：

a

n11n

aaqq

n1

q

其中首相为a1，公比为q.

4、等比数列的性质：

nm

aaq（n，m

nm

*

N）.

2.5等比数列的前n项和

naq

1

1

1、等比数列的前n项和的公式：

Saqnaaq

1

n

1

1

n

1q1q

q1

2、等比数列的前n项和的函数特征：

当q1时，

n

a11qa1a1

n

Sq

n

1q1q1q

.记

A

1

a

1

q

，即

n

SAqA.

n

3、等比数列的前n项和的性质：

在等比数列中：

（1）当

S，S2kSk，S3kS2k，⋯均不为零时，数列成等差数列。

公比为qk.

k

（2）

nm

SSqSSqS

nmnmmn

（3）

a

m

a

n

mn

q

或

mn

aaq（m、n

mn

*

N）

（4）若mnpq，则amanapaq

（5）若

a为等差数列，则

n

a

Cn为等比数列

（6）若

a为正项等比数列，则logCan是等差数列

n

（7）若

a

kn

a、bn均为等比数列，则0、、、、等

aaaab

nnnnnn

ab

nn

必修五数学5

仍是等比数列。

公比分别为：

1kq

1

q、、q、q、qq、.

12

qq

2

（8）等比数列

a的增减性：

当

n

a

10

q1

，或

a

10

0q1

时，

a为递增数列；当

n

a

10

0q1

或

a10

q1

时，

a为递增减数列。

n

4、由递推公式求数列通向法：

（1）累加法：

aafn变形：

an1anfn

n1n

（2）累乘法：

an1anfn变形：

a

n

a

n

1

fn

（3）取倒数法：

a1

n

pa

n

qap

n

（4）构建新数列法：

an1panq（其中p，q均为常数，pq（p1）0）

设an1kpankank为等比数列。

第三章不等式

1.5不等式关系与不等式

1、不等式定义：

用不等号（、、、、）表示不等关系的式子叫不等式，记作

fxgx，fxgx等。

用“”或“”连接的不等式叫严格不等式，用不“”

或“”连接的不等式叫非严格不等式。

2、实数的基本性质

abab0；abab0；abab0.

实数的其他性质

a

b

0

0

ab0,ab0

a0

；ab0,ab0

b0

a0

；ab0

b0

3、不等式的基本性质

（1）对称性：

abba

（2）传递性：

ab,bcac

（3）可加性：

abacbc推论1：

abcacb（移向法则）

ab

推论2：

acbd

cd

（同向不等式的相加法则）

必修五数学6

（4）可乘性：

ab

c0

acbc

；

ab

c0

acbc

（5）同向相加：

ab

cd

acbd

；异向可减：

ab

dc

adbc

（6）同向可乘：

ab

cd

0

0

acbd

；异项可除：

ab0ab

0dcdc

（7）乘方法则：

ab0

nn

ab（nN，n1）

（8）可开方性法则：

ab0nanb（nN，n2）

（9）倒数法则：

ab

11

ab0ab

3.2一元二次不等式及其解法

1、一元二次不等式定义：

我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，

称为一元二次不等式。

使一元二次不等式成立的未知数的值叫做这个一元二次不等式的解，

一元二次不等式的所有解组成的集合，叫做这个一元二次不等式的解集。

2、二次函数，一元二次方程，一元二次不等式三者之间的关系

24

bac000

20axbxc

a0的图像

20

axbxc

两个不相等的实数根两个相等的实数根

a0的根

xx

12

xx

12

没有实数根

20

axbxc

a0的解集

xxx或xx

12

xx

b

2a

R

20axbxc

xxxx

12

a0的解集

附：

韦达定理

在函数

20

axbxca0，则x1x2

b

a

，12

xx

c

a

.

必修五数学7

1.6二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题

1.1.3二元一次不等式（组）与平面区域

1、平面区域：

一般地，在平面直角坐标系中，二元一次不等式AxByC0表示直线

AxByC0某一侧所有点组成的平面区域，我们把直线画成虚线，以表示区域不包括

边界。

不等式AxByC0表示的平面区域包括边界，把边界画成实线。

2、平面区域的判定：

一般地，当ykxb时，表示ykxb的上方区域；

当ykxb时，表示ykxb的下方区域。

1.1.4简单的线性规划问题

3、线性规划有关概念：

①在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，统称

线性规划问题。

②若约束条件是关于变量的一次不等式（方程），则成为线性约束条件。

③

要求最大（小）值所涉及的关于变量x，y的一次解析式叫做线性目标函数。

④满足线性约

束条件的解（x，y）叫做可行解，⑤由所有可行解组成的集合叫做可行域。

⑥使目标函数

取得最大值或最小值的可行解叫做最优解。

1.7基本不等式：

ab

ab

2

1、主要不等式：

设a，bR，则

222

abab（当且仅当ab时取“=”）

2、基本不等式：

设a0，b0，则

ab

2

ab（当且仅当ab时取“=”）

即两个整数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

变形：

ab2ab.

3、应用：

22

2ababab

ab

ab22

222

abab

ab（a，bR）

22

4、基本不等式的应用

（1）如果和xy是定值S，那么当且仅当

S

xy时，积xy有最大值

2

2

S

4

；

（2）如果积xy是定值P，那么当且仅当xyP时，和xy有最小值2P.

应注意以下几点：

①各项或各因式必须为整数；

②各项或各因式的和（或积）必须为常数；

③各项或各因式能够取相等的值.

射影定理：

以上三个条件简称为“一正，二定，三相等”

①

2

CDADBD；②

2

ACADAB；

③

2

CBBDAB.

必修五数学8

关于不等式其他补充内容

1、两点间的距离公式：

设P1x1,y1，P2x2,y2，则

22

PPxxyy.

121212

2、点到直线的距离公式：

设Px0,y0，直线l的方程为AxByC0（A、B不同时

为零），则P到直线l的距离

d

AxByC

00

22

AB

.

3、两平行线间的距离公式：

两平行直线AxByC10和AxByC20间的距离

d

CC

12

22

AB

.

4、点斜式方程：

k

yy

0

xx

0

，即

yykxx

00

5、斜截式方程：

ykxb，其中k为斜率，b为截距。

6、直线方程的一般形式：

AxByC0（A、B不同时为零），当B0时，方程可化

为

AC

yx

BB

，表示斜率为

A

B

，在y轴上的截距为

C

B

的直线。

7、圆的标准方程：

222

xaybr.其中圆心为Ca,b，半径为r.

必修五数学9