版《创新设计》第八章 第3节 3数学.docx
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版《创新设计》第八章第3节3数学
第3节 空间图形的基本关系与公理
最新考纲 1.理解空间直线、平面位置关系的定义;2.了解可以作为推理依据的公理和定理;3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.
知识梳理
1.空间图形的公理
(1)公理1:
如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内).
(2)公理2:
经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面(即可以确定一个平面).
(3)公理3:
如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.
(4)公理4:
平行于同一条直线的两条直线平行.
推论1:
经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.
推论2:
经过两条相交直线,有且只有一个平面.
推论3:
经过两条平行直线,有且只有一个平面.
(5)等角定理
空间中,如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.
2.空间点、直线、平面之间的位置关系
直线与直线
直线与平面
平面与平面
平行关系
图形
语言
符号
语言
a∥b
a∥α
α∥β
相交关系
图形
语言
符号
语言
a∩b=A
a∩α=A
α∩β=l
独有关系
图形
语言
符号
语言
a,b是异面直线
aα
3.异面直线所成的角
(1)定义:
过空间任意一点P分别引两条异面直线a,b的平行线l1,l2(a∥l1,b∥l2),这两条相交直线所成的锐角(或直角)就是异面直线a,b所成的角.
(2)范围:
.
[常用结论与微点提醒]
1.空间中两个角的两边分别对应平行,则两个角相等或互补.
2.异面直线的判定:
经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线.
3.唯一性的几个结论:
(1)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直.
(2)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.
(3)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.
诊断自测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)两个平面α,β有一个公共点A,就说α,β相交于过A点的任意一条直线.( )
(2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.( )
(3)如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合.( )
(4)若直线a不平行于平面α,且aα,则α内的所有直线与a异面.( )
解析
(1)如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线,故错误.
(3)如果两个平面有三个公共点,则这两个平面相交或重合,故错误.
(4)由于a不平行于平面α,且aα,则a与平面α相交,故平面α内有与a相交的直线,故错误.
答案
(1)×
(2)√ (3)× (4)×
2.(教材习题改编)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,AD的中点,则异面直线B1C与EF所成角的大小为( )
A.30°B.45°C.60°D.90°
解析 连接B1D1,D1C,则B1D1∥EF,故∠D1B1C为所求的角.又B1D1=B1C=D1C,∴∠D1B1C=60°.
答案 C
3.(2018·南昌月考)α是一个平面,m,n是两条直线,A是一个点,若mα,nα,且A∈m,A∈α,则m,n的位置关系不可能是( )
A.垂直B.相交C.异面D.平行
解析 依题意,m∩α=A,nα,∴m与n异面、相交(垂直是相交的特例),一定不平行.
答案 D
4.(一题多解)(2017·全国Ⅰ卷)如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是( )
解析 法一 对于选项B,如图
(1)所示,连接CD,因为AB∥CD,M,Q分别是所在棱的中点,所以MQ∥CD,所以AB∥MQ,又AB平面MNQ,MQ平面MNQ,所以AB∥平面MNQ.同理可证选项C,D中均有AB∥平面MNQ.因此A项不正确.
图
(1) 图
(2)
法二 对于选项A,其中O为BC的中点(如图
(2)所示),连接OQ,则OQ∥AB,因为OQ与平面MNQ有交点,所以AB与平面MNQ有交点,即AB与平面MNQ不平行.A项不正确.
答案 A
5.如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB∥CD,则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________.
解析 EF与正方体左、右两侧面均平行.所以与EF相交的侧面有4个.
答案 4
考点一 平面的基本性质及应用
【例1】
(1)(2016·山东卷)已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内,则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析 由题意知aα,bβ,若a,b相交,则a,b有公共点,从而α,β有公共点,可得出α,β相交;反之,若α,β相交,则a,b的位置关系可能为平行、相交或异面.因此“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件.
答案 A
(2)如图所示,四边形ABEF和ABCD都是梯形,BC綊
AD,BE綊
FA,G,H分别为FA,FD的中点.
①证明:
四边形BCHG是平行四边形;
②C,D,F,E四点是否共面?
为什么?
①证明 由已知FG=GA,FH=HD,可得GH綊
AD.又BC綊
AD,∴GH綊BC,
∴四边形BCHG为平行四边形.
②解 ∵BE綊
AF,G为FA的中点,∴BE綊FG,
∴四边形BEFG为平行四边形,∴EF∥BG.
由
(1)知BG綊CH,∴EF∥CH,∴EF与CH共面.
又D∈FH,∴C,D,F,E四点共面.
规律方法 1.证明线共面或点共面的常用方法
(1)直接法,证明直线平行或相交,从而证明线共面.
(2)纳入平面法,先确定一个平面,再证明有关点、线在此平面内.
(3)辅助平面法,先证明有关的点、线确定平面α,再证明其余元素确定平面β,最后证明平面α,β重合.
2.证明点共线问题的常用方法
(1)空间图形的公理,一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点,再根据空间图形的公理3证明这些点都在这两个平面的交线上.
(2)纳入直线法,选择其中两点确定一条直线,然后证明其余点也在该直线上.
【训练1】如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB和AA1的中点.求证:
(1)E,C,D1,F四点共面;
(2)CE,D1F,DA三线共点.
证明
(1)如图,连接EF,CD1,A1B.
∵E,F分别是AB,AA1的中点,
∴EF∥A1B.
又A1B∥D1C,∴EF∥CD1,
∴E,C,D1,F四点共面.
(2)∵EF∥CD1,EF ∴CE与D1F必相交, 设交点为P,如图所示. 则由P∈CE,CE平面ABCD,得P∈平面ABCD. 同理P∈平面ADD1A1. 又平面ABCD∩平面ADD1A1=DA, ∴P∈直线DA.∴CE,D1F,DA三线共点. 考点二 判断空间两直线的位置关系 【例2】 (1)若m,n为两条不重合的直线,α,β为两个不重合的平面,则下列命题中正确的是( ) ①若直线m,n都平行于平面α,则m,n一定不是相交直线; ②若直线m,n都垂直于平面α,则m,n一定是平行直线; ③已知平面α,β互相垂直,且直线m,n也互相垂直,若m⊥α,则n⊥β; ④若直线m,n在平面α内的射影互相垂直,则m⊥n. A.②B.②③C.①③D.②④ (2)(2018·唐山一中月考)如图,G,H,M,N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号). 解析 (1)对于①,m与n可能平行,可能相交,也可能异面,①错误; 对于②,由线面垂直的性质定理可知,m与n一定平行,故②正确; 对于③,还有可能n∥β或n与β相交,③错误; 对于④,把m,n放入正方体中,如图,取A1B为m,B1C为n,平面ABCD为平面α,则m与n在α内的射影分别为AB与BC,且AB⊥BC.而m与n所成的角为60°,故④错误. (2)图①中,直线GH∥MN; 图②中,G,H,N三点共面,但M∉平面GHN,N∉GH,因此直线GH与MN异面; 图③中,连接MG,GM∥HN, 因此GH与MN共面; 图④中,G,M,N共面,但H∉平面GMN,G∉MN, 因此GH与MN异面. 所以在图②④中,GH与MN异面. 答案 (1)A (2)②④ 规律方法 1.异面直线的判定方法: (1)反证法: 先假设两条直线不是异面直线,即两条直线平行或相交,由假设出发,经过严格的推理,导出矛盾,从而否定假设,肯定两条直线异面. (2)定理: 平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线. 2.点、线、面位置关系的判定,要注意几何模型的选取,常借助正方体为模型,以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系. 【训练2】 (1)(2018·汉中一模)下列命题正确的是( ) A.若两条直线和同一个平面平行,则这两条直线平行 B.若一直线与两个平面所成的角相等,则这两个平面平行 C.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行 D.若两个平面垂直于同一个平面,则这两个平面平行 (2)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别在A1D,AC上,且A1E=2ED,CF=2FA,则EF与BD1的位置关系是( ) A.相交但不垂直B.相交且垂直 C.异面D.平行 解析 (1)A选项,两条直线可能平行,可能异面,也可能相交;B选项,一直线可以与两垂直平面所成的角都是45°;易知C正确;D中的两平面也可能相交. (2)连接D1E并延长,与AD交于点M,因为A1E=2ED,可得M为AD的中点, 连接BF并延长,交AD于点N,因为CF=2FA,可得N为AD的中点,所以M,N重合,且 = , = ,所以 = ,所以EF∥BD1. 答案 (1)C (2)D 考点三 异面直线所成的角 【例3】(2017·全国Ⅱ卷)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为( ) A. B. C. D. 解析 将直三棱柱ABC-A1B1C1补形为直四棱柱ABCD-A1B1C1D1,如图所示,连接AD1,B1D1,BD. 由题意知∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1, 所以AD1=BC1= ,AB1= ,∠DAB=60°. 在△ABD中,由余弦定理知BD2=22+12-2×2×1×cos60°=3,所以BD= ,所以B1D1= . 又AB1与AD1所成的角即为AB1与BC1所成的角θ, 所以cosθ= = = . 答案 C 规律方法 1.求异面直线所成的角常用方法是平移法,平移方法一般有三种类型: 利用图中已有的平行线平移;利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移;补形平移. 2.求异面直线所成角的三个步骤 (1)作: 通过作平行线,得到相交直线的夹角. (2)证: 证明相交直线夹角为异面直线所成的角. (3)求: 解三角形,求出作出的角,如果求出的角是锐角或直角,则它就是要求的角,如果求出的角是钝角,则它的补角才是要求的角. 【训练3】(2018·佛山模拟)如图所示,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,D
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