两角和与差的正弦余弦和正切公式专题与解析.docx
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两角和与差的正弦余弦和正切公式专题与解析
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
教学目标1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式;2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式;3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式,导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系。
知识梳理
1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(a±B)=sinacosB土cosasinB.
cos(a?
B)=cosacosB±sinasinB.
1鬥门o+_tan3
1干tanatan
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2a=2sinacosa.
2222cos2a=cosa—sina=2cosa—1=1—2sina.
门2tana
trill£.Ct——~~+
1—tana
3.有关公式的逆用、变形等
(1)tana±tanB=tan(a±B)(1?
tanatanB).
(2)cosa=
22
(3)1+sin2a=(sina+cosa),1—sin2a=(sina—cosa),
sina±cosa
+n
a±4.
4.函数f(a)=asina+bcosa(a,b为常数),可以化为f(a)=a2+b2sin(a
+©)其中tan©
b
二a或f(
a)=a2+b2•cos(a
—©)其中tan
a
©二b.
诊断自测
1.判断正
误(
在括号内
打“V”
或“x
精彩PPT展示
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角a,B是任意的.()
⑵存在实数a,B,使等式Sin(a+B)=Sina+sinB成立.()
八「、tana+tanB—卄…
(3)公式tan(a+B)=i_tanOtan—B可以变形为tana+tanB
=tan(a+B)(1_tanatanB),且对任意角a,B都成立.()
⑷存在实数a,使tan2a=2tana.()
n解析(3)变形可以,但不是对任意的a,B都成立,a,B,a+B工勺+k
n,k€乙
答案
(1)V⑵V(3)x⑷V
2.(2016•全国川卷)若tan9=
3,则cos29=()
d.4
C.5
解析cos20=cos20—sin2
cos20—sin2B
2
cos
2=
0+sin0
1—tan204
2
1+tan05'
答案D
3.(2015•重庆卷)若tana
1
3,
tan(
a+B)=1,
则tanB等于(
A.1
B.1
C.5
♦I
解析tanB=tan[(a+B)—a]
tan(a+B)—tana
11
2—31
-^=7,故选A.1+-x-
23
答案A
4.(2017•广州调研)已知sin
1…
a+cosa=3,则
2n
sin7
17
5
8
C.8
D.
解析由sin
1
+cosa=3两边平方得1+sin2
sin2
8
9,
所以sin2
1-c°s2-2a—sin2
2=2
1t817
2
a
故选
B.
答案B
5.(必修4P137A13(5)改编)sin347°cos148°+sin77°•cos58
解析sin347°cos148°+sin77°cos58
=sin(270°+77°)cos(90°+58°)+sin77°cos58
=(—cos77°)•(—sin58°)+sin77°cos58
=sin58°cos77°+cos58°sin77
=sin(58°+77°)=sin135
考点一三角函数式的化简
【例1】
(1)(2016•合肥模拟)cos(
()
A.sin(a+2B)
C.cos(a+2B)
a+B)cosB+sin(a+B)sinB=
B.sina
D.cosa
⑵化简:
aa
(1+sina+cosa)・cos-^—sin_
(0 解析 (1)cos(a+B)cosB+sin(a+B)sinB=cos[(a+B)—B]=cos a. 2aaaaa 2cos~+2sin~cos~•cos~—sin~ a 2a .2a a cos2 cos2 sin2 cos2cosa a ecu a cos"2 cos2 因为00,所以原式= 答案 (1)D (2)C0Sa 【训练1】 (1)^2+2cos8+2^1-sin8的化简结果是_ cosa. ⑵化简: 421 2cosa—2cosa+㊁ n2n 2tanT-asin7+a 解析 (1)原式=_4cos24+2(sin4—cos4) =2|cos4|+2|sin4—cos4|, 5 因为5n 3 <4<2n 所以cos4<0,且sin4 所以原式=—2cos4—2(sin4—cos4)=—2sin4. 142 2(4cosa—4cosa+1) n 2Xsin7—a n cos7—a 2n •cos- (2cos2a—1)2 cos22a 4sin扌 n acos7 a2sinnn—2a 2. cos2a1 —=7cos2a 2cos2a2 1 答案 (1)—2sin4 (2)^cos2a 考点二 三角函数式的求值 【例2】 ⑴[2sin50 +sin10 (1+3tan10°)]•2sin280= (2)已知 cos 7t +a 4 3 5, 2 7nM.sin2a+2sina 124,则1—tana 17n 的值为 ⑶已知 0C, 冗) 且tan(a 1 7,则2a—B的值 解析 (1)原式二(2sin50 +sin10 cos10°+^/3sin10) cos10 2sin80 =(2sin50 +2sin10 1cos10°+毘in10 cos 2cos10 =22[sin50 -cos10 +sin10 -cos(60°—10°)] =22sin(50°+10°)=22X 2 sin2a+2sina⑵1—tana 2 2sinacosa+2sina sina1— cosa 2sinaCOSa(cosa+sina) cosa—sina =sin2 1+tana 1—tana =sin2a n -tan7+ 由 a+7<2n,又COS ST n 金 II I 3 4= II AO 2卜 A A n £ a I A O II + STn 2 a ST n 0 II II STn 2 STn 413 + o £ a 2爲 O A a A 2|= ST n II ST 吕 II —k ST n ST n ST n + ST n 2 5' II I 7I2 5I00 4= a II I 5I4 ST n 4|= + a II I 3I4 【亘盗2】S4COS50。 丄an40i( C•幺 (2)masina+"+sin D.2$丄 (3)maCOSaH十cos(a——0)H^OA0Aa八皿)〉淫Qrn2aH 3SMN4s5'40 4cos40 sin40。 ——sin40 cos40。 2SI5'80——Sin4o cos40 sin40cos40 2sin(」20。 ——40。 )——s5'40H> cos40 felcos40。 +sin40Isin40 cos40 V5cos40 cos40 玮®0. (2)ffisina+^l+sina 于是 n 3 cos a+6— =5. 所以 a+ n n33—4 cos a—cos ~6- 6—10 1 n ⑶•- ■cos a—7, 0 ~2, •sin a—7,tana—43, •••tan2 2tana2X4,38,3 2 1—tana1—4847' n ■/0 •sin( •cosB—cos[a—(a—B)] —cosacos(a—B)+sinasin(a—B) —1X生虱3X^3—1 —714十714—2, 答案 (1)C ⑵亠 10 ⑶- 47 考点三三角变换的简单应用 【例3】已知△ABC为锐角三角形,若向量p—(2—2sinA,cosA+sinA)与 向量q—(sinA—cosA,1+sinA是共线向量. (1)求角A; ⑵求函数y=2sinB+cos㊁的最大值• A,贝Usin2A=3. 解⑴因为P,q共线,所以(2—2sinA)(1+sinA) =(cosA+sinA)(sinA—cos 又A为锐角,所以sinA=f, n ⑵y=2sin2B+cos铲 n—3—B—3B =2sin2B+cos 2n1 =2sinB+cos——2B=1—cos2B+乙cos2B+ 32 -23sin2B=¥s鬥2B—*cos2B+1=sin2B—-6+1. 2226 nn 因为B€0,㊁,所以2B—€ nn 6,所以当2B—6=空时,函数y取 得最大值,此时B=—,ymax=2. 21 【训练3】(2017•合肥模拟)已知函数f(x)=(2cos2x—1)•sin2x+qcos4x. (1)求f(x)的最小正周期及单调减区间; ⑵若a€(0,n),且fT— an2n 4—,求tana+-3的值. 21 解 (1)f(x)=(2cosx—1)sin2x+? cos4x 12n =2(sin4x+cos4x)=-^sin4x+才, n •f(x)的最小正周期Tp 令2kn nn,3, +~2W4x+—<2kn+㊁冗,k€Z, 16,k€Z. •••f(X)的单调减区间为 knn+一 2+16, ⑵•••f an2 T, 即sina 因为a €(0 3n 所以a 7t 因此tan n a+§ 、选择题 nn —— ,444' 3nn tan+tan〒“ ―4L^T+V3=用 3nn_1+/3—273. 1—tan——tan石 43 基础巩固题组 (建议用时: 40分钟) 1.(2015•全国I卷)sin20°cos10°—cos160°sin10°=() 解析sin20 sin10 1 C.-2 1 D.2 cos10°—cos160°sin10 °=sin20°cos10°+cos20 sin30 1 2. 答案D 2.(1+tan17°)(1+tan28°)的值是() A.—1 B.O C.1 D.2 解析原式=1+tan17 +tan28+tan17 -tan28 =1+tan45(1—tan17 -tan28°)+tan17 -tan28 =1+1=2. 答案D 3.(2017•西安二检)已知 a是第二象限角,且tan =—g,则sin2a=() A—更 10 3 C.-5 解析因为 a是第二象限角,且tana= 1 3, 所以sin =,cosa 10' 310 10, 所以sin2 a=2sinacos 310 10 3 ? 故选C. 5 答案C 4.(2017•河南六市联考)设 1 a=? cos 静2°,b=12ta;1414°,c= 2'1—tan14' 则有( A.avcvb B.avbvc C.bvcva D.cvavb 解析由题意可知,a=sin28 b_tan28°,c_sin25°, cvavb. 答案D 5.(2016•肇庆三模)已知sin 为第二象限角,则tan2a 19 A-丁 B. C. 31 17 17 d.—31 解析由题意得cos _4 =—5, sin2a 24 =—25, .tan2a=——, 24 .tan n tan2a+tan 4 n 1-tan2atan7 24 —〒1 24 1——〒XI 17 31. 答案D 、填空题 6.(2016•石家庄模拟)若 cos n 石的值是 7t “,n 解析sin2a——=sin 2n17 cos2a—3=2cosa—m—1=2X9—1=—9. 7t 答案-7 7.(2017•南昌一中月考)已知a€ n,且cos-y—a 44 5 sin4n+B 12 13,贝Ucos(a+ 解析 7t 3n 7t sin 7t ■/sin 5 4n 又•••B 0, •cos( 答案 7t 5' 12 13' a+B)=cos 33 65 8.已知0€ 0, 7t COS •sin n cos7+ 且sin 解析sin 0€0, cos 12 13' =13, 7t 1233 £得sin —cos ①平方得2sin0cos 24 0=二,可求得sin0+cos0 =25, 2tan0 34 0=二,「tan0二,tan20=1—tan20 24 •sin 答案-〒 三、解答题 9.(2017•淮海中学模拟)已知向量a=(cos9,sin9),b=(2,-1). itn’”. ⑵右|a-b|=2,9€0,q,求sin9+匸的值•解⑴由a丄b可知,a•b=2cos9-sin9=0,所以sin9=2cos9, 十、sin9—cos92cos9—cos91 所以==- sin9+cos92cos9+cos93 (2)由a—b=(cos9—2,sin9+1)可得, |a—b|=(cos9—2)2+(sin9+1)2= 6—4cos9+2sin9=2, 即1—2cos9+sin9=0. n 又cos29+sin29=1,且9€0,—, 34 所以sin9=,cos9=. 55 所以sin 0+cos 10.设cosa 5,tan 3nn 解法一由cosa= 3n n 2,得sin 誓,tana=2,又 于是tan(a—B) 1 2—3 =1+tanatanB=1 B1+2X3 tana—tanB 1. □丄3n 又由n n_小 0 n3n B 因此, 5n =~T. 法二 cos 53n n 5 2得sina 2;5 5. 由tan 1 =3, nZl_. 0 =丄 =10, cos 所以sin( acos B—cos asin 3 10 10 3nn 又由n n ———<— 2 •-3n
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