湘教版九年级数学下册教案全册.docx
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湘教版九年级数学下册教案全册
湘教版九年级数学下册教案
1.1 二次函数
1.掌握二次函数的概念,能识别一个函数是不是二次函数;(重点)
2.能根据实际情况建立二次函数模型,并确定自变量的取值范围.(难点)
一、情境导入
已知长方形窗户的周长为6米,窗户面积为y(平方米),窗户宽为x(米),你能写出y与x之间的函数关系式吗?
它是什么函数呢?
二、合作探究
探究点一:
二次函数的相关概念
【类型一】二次函数的识别
下列函数哪些是二次函数?
(1)y=2-x2;
(2)y=
;
(3)y=2x(1+4x);(4)y=x2-(1+x)2.
解析:
(1)是二次函数;
(2)是分式而不是整式,不符合二次函数的定义,故y=
不是二次函数;(3)把y=2x(1+4x)化简为y=8x2+2x,显然是二次函数;(4)y=x2-(1+x)2化简后变为y=-2x-1,它不是二次函数而是一个一次函数.
解:
二次函数有
(1)和(3).
方法总结:
判定一个函数是否是二次函数常有三个标准:
①所表示的函数关系式为整式;②所表示的函数关系式有唯一的自变量;③所含自变量的关系式中自变量最高次数为2,且函数关系式中二次项系数不等于0.
变式训练:
见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题
【类型二】根据二次函数的定义求待定字母的值
如果函数y=(k+2)xk2-2是y关于x的二次函数,则k的值为多少?
解析:
紧扣二次函数定义求解,注意易错点为忽视k+2≠0.
解:
根据题意知
解得
∴k=2.
方法总结:
紧扣定义中的两个特征:
①二次项系数不为零;②自变量最高次数为2.
变式训练:
见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题
【类型三】与二次函数系数有关的计算
已知一个二次函数,当x=0时,y=0;当x=2时,y=
;当x=-1时,y=
.求这个二次函数中各项系数的和.
解析:
解:
设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c(a≠0).把x=0,y=0;x=2,y=
;x=-1,y=
分别代入函数表达式,得
解得
所以这个二次函数的表达式为y=
x2.所以a+b+c=
+0+0=
,即这个二次函数中各项系数的和为
.
方法总结:
涉及有关二次函数表达式的问题,所设的表达式一般是二次函数表达式的一般形式y=ax2+bx+c(a≠0).解决这类问题要根据x,y的对应值,列出关于字母a,b,c的方程(组),然后解方程(组),即可求得a,b,c的值.
探究点二:
建立简单的二次函数模型
一个正方形的边长是12cm,若从中挖去一个长为2xcm,宽为(x+1)cm的小长方形.剩余部分的面积为ycm2.
(1)写出y与x之间的函数关系式,并指出y是x的什么函数?
(2)当x的值为2或4时,相应的剩余部分的面积是多少?
解析:
几何图形的面积一般需要画图分析,相关线段必须先用x的代数式表示出来.如图所示.
解:
(1)y=122-2x(x+1),又∵2x≤12,∴0 (2)当x=2时,y=-2×22-2×2+144=132,当x=4时,y=-2×42-2×4+144=104,∴当x=2或4时,相应的剩余部分的面积分别为132cm2或104cm2. 方法总结: 二次函数是刻画现实世界变量之间关系的一种常见的数学模型.许多实际问题都可以通过分析题目中变量之间的关系,建立二次函数模型来解决. 变式训练: 见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题 三、板书设计 本节课是从生活实际中引出二次函数模型,从而得出二次函数的定义及一般形式,会写简单变量之间的二次函数关系式,并能根据实际问题确定自变量的取值范围,使学生认识到数学来源于生活,又应用于生活实际之中. 1.2 二次函数的图象与性质 第1课时 二次函数y=ax2(a>0)的图象与性质 1.会用描点法画二次函数y=ax2(a>0)的图象,理解抛物线的概念;(重点) 2.掌握形如y=ax2(a>0)的二次函数的图象和性质,并会应用其解决问题.(重点) 一、情境导入 自由落体公式h= gt2(g为常量),h与t之间是什么关系呢? 它是什么函数? 它的图象是什么形状呢? 二、合作探究 探究点一: 二次函数y=ax2(a>0)的图象 已知y=(k+2)xk2+k是二次函数. (1)求k的值; (2)画出函数的图象. 解析: 根据二次函数的定义,自变量x的最高次数为2,且二次项系数不为0,这样能确定k的值,从而确定表达式,画出图象. 解: (1)∵y=(k+2)xk2+k为二次函数,∴ 解得k=1; (2)当k=1时,函数的表达式为y=3x2,用描点法画出函数的图象. 列表: x -1 - 0 1 … y=3x2 3 0 3 … 描点: (-1,3),(- , ),(0,0),( , ),(1,3). 连线: 用光滑的曲线按x的从小到大的顺序连接各点,图象如图所示. 方法总结: 列表时先取原点(0,0),然后在原点两侧对称地取四个点,由于函数y=ax2(a≠0)图象关于y轴对称的两个点的横坐标互为相反数,纵坐标相等,所以先计算y轴右侧的两个点的纵坐标,左侧对应写出即可. 变式训练: 见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题 探究点二: 二次函数y=ax2(a>0)的性质 已知点(-3,y1),(1,y2),( ,y3)都在函数y=x2的图象上,则y1、y2、y3的大小关系是________. 解析: 方法一: 把x=-3,1, 分别代入y=x2中,得y1=9,y2=1,y3=2,则y1>y3>y2; 方法二: 如图,作出函数y=x2的图象,把各点依次在函数图象上标出.由图象可知y1>y3>y2; 方法三: ∵该图象的对称轴为y轴,a>0,∴在对称轴的右边,y随x的增大而增大,而点(-3,y1)关于y轴的对称点为(3,y3).又∵3> >1,∴y1>y3>y2. 方法总结: 比较二次函数中函数值的大小有三种方法: ①直接把自变量的值代入解析式中,求出对应函数值进行比较;②图象法;③根据函数的增减性进行比较,但当要比较的几个点在对称轴的两侧时,可根据抛物线的对称轴找出某个点的对称点,转化到同侧后,然后利用性质进行比较. 变式训练: 见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第2题 探究点三: 二次函数y=ax2(a>0)的图象与性质的简单应用 已知函数y=(m+2)xm2+m-4是关于x的二次函数. (1)求满足条件的m的值; (2)m为何值时,抛物线有最低点? 求出这个最低点,这时当x为何值时,y随x的增大而增大? 解析: 由二次函数的定义知: m2+m-4=2且m+2≠0;抛物线有最低点,则抛物线开口向上,即m+2>0. 解: (1)由题意得 解得 ∴当m=2或m=-3时,原函数为二次函数; (2)若抛物线有最低点,则抛物线开口向上,∴m+2>0,即m>-2,∴取m=2.∴这个最低点为抛物线的顶点,其坐标为(0,0).当x>0时,y随x的增大而增大. 方法总结: 二次函数必须满足自变量的最高次数是2且二次项的系数不为0;函数有最低点即开口向上. 变式训练: 见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第9题 三、板书设计 教学过程中,强调学生自主探索和合作交流,在操作中探究二次函数y=ax2(a>0)的图象与性质,培养学生动手、动脑、探究归纳问题的能力. 第2课时 二次函数y=ax2(a<0)的图象与性质 1.会用描点法画二次函数y=ax2(a<0)的图象;(重点) 2.掌握形如y=ax2(a<0)的二次函数的图象和性质,并会应用其解决问题.(重点) 一、情境导入 上节课我们学习了a>0时二次函数y=ax2的图象和性质,那么当a<0时,二次函数y=ax2的图象和性质又会有怎样的变化呢? 二、合作探究 探究点一: 二次函数y=ax2(a<0)的图象 【类型一】二次函数y=ax2(a<0)的图象 在直角坐标系内,作出函数y=- x2的图象. 解析: 作函数的图象采用描点法,即“列表、描点、连线”三个步骤. 解: 列表: x 0 1 2 … y=- x2 0 - -2 … 描点和连线: 画出图象在y轴右边的部分,利用对称性,画出图象在y轴左边的部分,如图. 方法总结: (1)列表应以0为中心,选取x>0的几个点求出对应的y值; (2)描点要准;(3)画出y轴右边的部分,利用对称性,可画出y轴左边的部分,连线要用平滑的曲线,不能是折线. 【类型二】同一坐标系中两种不同图象的判断 当ab>0时,抛物线y=ax2与直线y=ax+b在同一直角坐标系中的图象大致是( ) 解析: 根据a、b的符号来确定.当a>0时,抛物线y=ax2的开口向上.∵ab>0,∴b>0.∴直线y=ax+b过第一、二、三象限;当a<0时,抛物线y=ax2的开口向下.∵ab>0,∴b<0.∴直线y=ax+b过第二、三、四象限.故选D. 方法总结: 本例综合考查了一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2的图象和性质.因为在同一问题中相同字母的取值是相同的,所以应从各选项中两个函数图象所反映的a的符号是否一致入手进行分析. 变式训练: 见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第3题 探究点二: 二次函数y=ax2(a<0)的性质 【类型一】二次函数y=ax2(a<0)的性质 (2015·山西模拟)抛物线y=-4x2不具有的性质是( ) A.开口向上 B.对称轴是y轴 C.在对称轴的左侧,y随x的增大而增大 D.最高点是原点 解析: 此题应从二次函数的基本形式入手,它符合y=ax2的基本形式,根据它的性质,进行解答.因为a=-4<0,所以图象开口向下,顶点坐标为(0,0),对称轴是y轴,最高点是原点.在对称轴的左侧,y随x的增大而增大,在对称轴的右侧,y随x的增大而减小.故选A. 方法总结: 抛物线y=ax2(a<0)的开口向下,顶点坐标为(0,0),对称轴为y轴.当x<0时,y随x的增大而增大,当x>0时,y随x的增大而减小.当x=0时,图象有最高点,y有最大值0. 变式训练: 见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题 【类型二】二次函数y=ax2的开口方向、大小与系数a的关系 如图,四个二次函数图象中,分别对应: ①y=ax2;②y=bx2;③y=cx2;④y=dx2,则a、b、c、d的大小关系为( ) A.a>b>c>d B.a>b>d>c C.b>a>c>d D.b>a>d>c 答案: A 方法总结: 抛物线y=ax2的开口大小由|a|确定,|a|越大,抛物线的开口越小;|a|越小,抛物线的开口越大. 变式训练: 见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题 探究点三: 二次函数y=ax2的图象与几何图形的综合应用 已知二次函数y=ax2(a≠0)与直线y=2x-3相交于点A(1,b),求: (1)a,b的值; (2)函数y=ax2的图象的顶点M的坐标及直线与抛物线的另一个交点B的坐标; (3)△AMB的面积. 解析: 直线与二次函数y=ax2的图象交点坐标可利用方程求解,而求△AMB的面积,一般应画出草图进行解答. 解: (1)∵点A(1,b)是直线y=2x-3与二次函数y=ax2的图象的交点,∴点A的坐标满足二次函数和直线的关系式, ∴ ∴ (2)由 (1)知二次函数为y=-x2,顶点M(即坐标原点)的坐标为(0,0). 由-x2=2x-3,解得x1=1,x2=-3, ∴y1=-1,y2=-9, ∴直线与二次函数的另一个交点B的坐标为(-3,-9); (3)如图所示,作AC⊥x轴,BD⊥x轴,垂足分别为C、D,根据点的坐标的意义,可知MD=3,MC=1,CD=1+3=4,BD=9,AC=1, ∴S△AMB=S梯形ABDC-S△ACM-S△BDM= ×(1+9)×4- ×1×1- ×3×9=6. 方法总结: 解答此类题目,最好画出草图,利用数形结合,解答相关问题. 变式训练: 见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题 三、板书设计 本节课仍然是从学生画图象着手,结合上节课y=ax2(a>0)的图象和性质,从而得出y=ax2(a<0)的图象和性质,进而得出y=ax2(a≠0)的图象和性质,培养学生动手、动脑、合作探究的学习习惯. 第3课时 二次函数y=a(x-h)2的图象与性质 1.会用描点法画出y=a(x-h)2的图象; 2.掌握形如y=a(x-h)2的二次函数图象的性质,并会应用;(重点) 3.理解二次函数y=a(x-h)2与y=ax2之间的联系.(难点) 一、情境导入 涵洞是指在公路工程建设中,为了使公路顺利通过水渠不妨碍交通,修筑于路面以下的排水孔道(过水通道),通过这种结构可以让水从公路的下面流过.如图建立直角坐标系,你能得到函数图象解析式吗? 二、合作探究 探究点一: 二次函数y=a(x-h)2的图象与性质 【类型一】y=a(x-h)2的顶点坐标 已知抛物线y=a(x-h)2(a≠0)的顶点坐标是(-2,0),且图象经过点(-4,2),求a,h的值. 解: ∵抛物线y=a(x-h)2(a≠0)的顶点坐标为(-2,0),∴h=-2.又∵抛物线y=a(x+2)2经过点(-4,2),∴a(-4+2)2=2.∴a= . 方法总结: 二次函数y=a(x-h)2的顶点坐标为(h,0). 变式训练: 见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题 【类型二】二次函数y=a(x-h)2图象的形状 顶点为(-2,0),开口方向、形状与函数y=- x2的图象相同的抛物线的解析式为( ) A.y= (x-2)2B.y= (x+2)2 C.y=- (x+2)2D.y=- (x-2)2 解析: 因为抛物线的顶点在x轴上,所以可设该抛物线的解析式为y=a(x-h)2(a≠0),而二次函数y=a(x-h)2(a≠0)与y=- x2的图象相同,所以a=- ,而抛物线的顶点为(-2,0),所以h=-2,把a=- ,h=-2代入y=a(x-h)2得y=- (x+2)2.故选C. 方法总结: 决定抛物线形状的是二次项的系数,二次项系数相同的抛物线的形状完全相同. 变式训练: 见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第1题 【类型三】二次函数y=a(x-h)2的增减性及最值 对于二次函数y=9(x-1)2,下列结论正确的是( ) A.y随x的增大而增大 B.当x>0时,y随x的增大而增大 C.当x=-1时,y有最小值0 D.当x>1时,y随x的增大而增大 解析: 因为a=9>0,所以抛物线开口向上,且h=1,顶点坐标为(1,0),所以当x>1时,y随x的增大而增大.故选D. 变式训练: 见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题 探究点二: 二次函数y=a(x-h)2图象的平移 【类型一】利用平移确定y=a(x-h)2的解析式 抛物线y=ax2向右平移3个单位后经过点(-1,4),求a的值和平移后的函数关系式. 解析: y=ax2向右平移3个单位后的关系式可表示为y=a(x-3)2,把点(-1,4)的坐标代入即可求得a的值. 解: 二次函数y=ax2的图象向右平移3个单位后的二次函数关系式可表示为y=a(x-3)2,把x=-1,y=4代入,得4=a(-1-3)2,a= ,∴平移后二次函数关系式为y= (x-3)2. 方法总结: 根据抛物线左右平移的规律,向右平移3个单位后,a不变,括号内应“减去3”;若向左平移3个单位,括号内应“加上3”,即“左加右减”. 变式训练: 见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题 【类型二】确定y=a(x-h)2与y=ax2的关系 向左或向右平移函数y=- x2的图象,能使得到的新的图象过点(-9,-8)吗? 若能,请求出平移的方向和距离;若不能,请说明理由. 解: 能,理由如下: 设平移后的函数为y=- (x-h)2, 将x=-9,y=-8代入得-8=- (-9-h)2, 所以h=-5或h=-13, 所以平移后的函数为y=- (x+5)2或y=- (x+13)2. 即抛物线的顶点坐标为(-5,0)或(-13,0),所以应向左平移5或13个单位. 变式训练: 见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题 探究点三: 二次函数y=a(x-h)2与几何图形的综合 把函数y= x2的图象向右平移4个单位后,其顶点为C,并与直线y=x分别相交于A、B两点(点A在点B的左边),求△ABC的面积. 解析: 利用二次函数平移规律先确定平移后的抛物线解析式,确定C点坐标,再解由所得到的二次函数解析式与y=x组成的方程组,确定A、B两点坐标,最后求△ABC的面积. 解: 平移后的函数为y= (x-4)2,顶点C的坐标为(4,0),OC=4. 解方程组 得 或 ∵点A在点B的左边,∴A(2,2),B(8,8),∴S△ABC=S△OBC-S△OAC= ×4×8- ×4×2=12. 方法总结: 两个函数交点的横、纵坐标与两个解析式组成的方程组的解是一致的. 变式训练: 见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题 三、板书设计 通过本节学习使学生认识到y=a(x-h)2的图象是由y=ax2的图象左右平移得到的,初步认识到a,h对y=a(x-h)2位置的影响,a的符号决定抛物线方向,|a|决定抛物线开口的大小,h决定向左、向右平移,从中领会数形结合的数学思想. 第4课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质 1.会用描点法画出y=a(x-h)2+k的图象; 2.掌握形如y=a(x-h)2+k的二次函数的图象与性质,并会应用;(重点) 3.理解二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2之间的联系.(难点) 一、情境导入 前面我们是如何研究二次函数y=ax2、y=a(x-h)2的图象与性质的? 如何画出y= (x-2)2+1的图象? 二、合作探究 探究点一: 二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质 【类型一】二次函数y=a(x-h)2+k的图象 已知y= (x-3)2-2的部分图象如图所示,抛物线与x轴交点的一个坐标是(1,0),则另一个交点的坐标是________. 解析: 由抛物线的对称性知,对称轴为x=3,一个交点坐标是(1,0),则另一个交点坐标是(5,0). 解: (5,0) 变式训练: 见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题 【类型二】二次函数y=a(x-h)2+k的性质 试说明抛物线y=2(x-1)2与y=2(x-1)2+5的关系. 解析: 对抛物线的分析应从开口方向,顶点坐标,对称轴,增减性,及最大(小)值几个方面分析. 解: 相同点: (1)它们的形状相同,开口方向相同; (2)它们的对称轴相同,都是x=1.当x<1时都是左降,当x>1时都是右升;(3)它们都有最小值. 不同点: (1)顶点坐标不同.y=2(x-1)2的顶点坐标是(1,0),y=2(x-1)2+5的顶点坐标是(1,5); (2)y=2(x-1)2的最小值是0,y=2(x-1)2+5的最小值是5. 方法总结: 对于y=a(x-h)2+k类抛物线,a决定开口方向;|a|决定开口大小;h决定对称轴;k决定最大(小)值的数值. 变式训练: 见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题 探究点二: 二次函数y=a(x-h)2+k的图象的平移 将抛物线y= x2向右平移2个单位,再向下平移1个单位,所得的抛物线是( ) A.y= (x-2)2-1 B.y= (x-2)2+1 C.y= (x+2)2+1 D.y= (x+2)2-1 解析: 由“上加下减”的平移规律可知,将抛物线y= x2向下平移1个单位所得抛物线的解析式为y= x2-1;由“左加右减”的平移规律可知,将抛物线y= x2-1向右平移2个单位所得抛物线的解析式为y= (x-2)2-1.故选A. 变式训练: 见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题 探究点三: 二次函数y=a(x-h)2+k的图象与几何图形的综合 如图所示,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2向左平移1个单位,再向下平移4个单位,得到抛物线y=(x-h)2+k.所得抛物线与x轴交于A,B两点(点A在点B的左边),与y轴交于点C,顶点为D. (1)求h,k的值; (2)判断△ACD的形状,并说明理由. 解析: (1)按照图象平移规律“左加右减,上加下减”可得到平移后的二次函数的解析式; (2)分别过点D作x轴和y轴的垂线段DE,DF,再利用勾股定理,可说明△ACD是直角三角形. 解: (1)∵将抛物线y=x2向左平移1个单位,再向下平移4个单位,得到抛物线y=(x+1)2-4,∴h=-1,k=-4; (2)△ACD为直角三角形.理由如下: 由 (1)得y=(x+1)2-4.当y=0时,(x+1)2-4=0,x=-3或x=1,∴A(-3,0),B(1,0).当x=0时,y=(x+1)2-4=(0+1)2-4=-3,∴C点坐标为(0,-3).顶点坐标为D(-1,-4).作出抛物线的对称轴x=-1交x轴于点E,过D作DF⊥y轴于点F,如图所示.在Rt△AED中,AD2=22+42=20;在Rt△AOC中,AC2=32+32=18;在Rt△CFD中,CD2=12+12=2.∵AC2+CD2=AD2,∴△ACD是直角三角形. 变式训练: 见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第9题 三、板书设计 通过本节学习使学生掌握二次函数y=ax2,y=a(x-h)2,y=a(x-h)2+k图象的变化关系,从而体会由简单到复杂的认识规律. 第5课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 1.会用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象; 2.会用配方法或公式法求二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标与对称轴,并掌握其性质;(重点) 3.二次函数性质的综合应用.(难点) 一、情境导入 火箭被竖直向上发射时,它的高度h(m)与时间t(s)的关系可以用h=-5t2+150t+10表示.经过多长时间火箭达到它的最高点? 二、合作探究 探究点一: 化二次函数y=ax2+bx+c为y=a(x-h)2+k的形式 把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位长度,再向下平移2个单位长度,所得图象的解析式为y=x2-3x+5,则( ) A.b=3,c=7B.b=6,c=3 C.b=-9,c=-5D.b=-9,c=21 解析: y=x2-3x+5化为顶点式为y=(x- )2+ .将y=(x- )2+ 向左平移3个单位长度,再向上平移2个单位长度,即为y=x2+bx+c.则y=x2+bx+c=(x+ )2+ ,化简后得y=x2+3x+7,即b=3,c=7.故选A. 方法总结: 二次函数由一般式化为顶点式,平移时遵循“左正右负,上正下负”,逆向推理则相反. 变式训练: 见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第4题 探究点二: 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 【类型一】二次函数与一次函数图象的综合 在同一直角坐标系中,函数y=mx+m和函数y=mx2+2x+2(m是常数,且m≠0)的图象可能是( ) 解析: A、B中由函数y=mx+m的图象可
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